七个小矮人今晚睡在哪里？

我们将全面解决这个问题，假设$n$是矮人（矮人？）的总数。让我们首先对矮人及其对应的床$1,2，\点，n$进行编号，其中矮人$1$是第一个上床的，矮人$n$是最后一个上床的。我们还要定义：
\开始{align}
矮人在床上睡觉的事件\\
\negk&=\text{侏儒}k\text}不在自己的床上睡觉的事件。}\\
&=\text{当侏儒}k\text{上床睡觉时，床}k\text}被占用的事件。}
\结束{align}注释$\negk$的两个等价定义，因为矮人总是喜欢睡在自己的床上。侏儒不会在睡前床上有人时就睡在自己的床上。

如果除了第一个侏儒之外，还有任何侏儒没有睡在自己的床上，那一定是另一个侏儒者已经睡在那里了。因此，我们有：
\开始{align*}
\mathbb{P}（\negk）&=\mathbb}（1到k\text{或}2到k\text或}到dots\text{或{k-1到k）\\
&=\sum_{i=1}^{k-1}\mathbb{P}（i\to k）\qquad\text{表示}k=2，\点，n
\end{align*}概率简单地相加在一起，因为它们表示互斥事件；两个小矮人不可能都睡在同一张床上。接下来，观察：
\开始{align*}
\mathbb{P}（a\to b）&=\mathbb}\\
&=\frac{1}{n-a+1}\mathbb{P}（\nega）\qquad\text{表示}a=2，\dots，b-1
\end{align*}这是因为当侏儒不睡在自己的床上时，总是因为他们的床被占用了。条件概率计算为$\frac{1}{n-a+1}$，因为当侏儒$a$上床睡觉时，床上已经有$a-1$侏儒，所以只剩下$n-a+1$张床可供选择。

仍需设置初始条件。根据问题陈述，第一个侏儒总是睡错床。因此，对于$b=2，\dots，n$，$\mathbb{P}（\neg1）=1$和$\mathbb{P{（1\to b）=\frac{1}{n-1}$。代入上述内容，我们可以为递归及其初始条件编写一个干净的表达式：
\开始{align}
\mathbb{P}（\neg 1）&=1\\
\mathbb{P}（\neg k）&=\frac{1}{n-1}+\sum_{i=2}^{k-1}\frac{1}{n-i+1}\mathbb}（-neg i）\qquad\text{for}k=2，\dots，n
\结束{align}此不错，但我们可以做得更好！通过第二个差异，我们可以构造一个等价的递归，它不需要对所有项求和。为了方便起见，让我们定义$p（k）=\mathbb{p}（\negk）$。将上述方程代入$p（k+1）-p（k）$并进行简化，我们得到：
\开始{align}
p（1）&=1，四p（2）=\tfrac{1}{n-1}\\
p（k+1）&=\左（1+\tfrac{1}{n-k+1}\右）p（k）\qquad\text{for}k=2，\点，n
\结束{align}递归是一个可伸缩的乘积，我们可以显式地求解：
\开始{align}
p（1）&=1\\
p（k）&=\frac｛n｝｛（n-1）（n-k+2）｝\qquad\text｛for｝k=2，\dots，n
\结束｛align｝现在我们有一个$p（k）$的封闭表达式，我们可以回答关于矮人及其睡眠状况的任何问题。

问题1

回到问题上来！第一个问题是找出最老的侏儒睡在自己床上的可能性。这只是$1-p（n）$。因此，最老的侏儒睡在自己床上的概率是$\frac{n-2}{2（n-1）}$，或者在$n=7$的情况下，$\frac{5}{12}大约是41.67\%$。

如果我们看看$n$的其他值，这会很有趣。当$n=1$时，数量未正确定义。当$n=2$时，概率为零。这很有道理，因为只有两个矮人，第一个矮人总是睡在最老矮人的床上，所以最老的矮人从未睡在自己的床上。作为$n\to\infty$，概率趋向于$\frac{1}{2}$。再加上一点代数，我们可以推断出，对于大量的矮星，$（n-p）^\text{th}$矮星睡在自己的床上，概率为$\frac{p+1}{p+2}$。即第二大的睡在他自己的床上，概率为$\frac｛2｝｛3｝$，第三大的睡在他自己的床上，概率为$\frac｛3｝｛4｝$，依此类推。

问题2

第二个问题是询问不睡在自己床上的侏儒的预期数量。让我们把这个数量称为$E_n$。定义
\[
Y_k=\开始{案例}1&\text{if}\negk\\0&\text}否则}\end{cases}
\]换句话说，$Y_k$计算$k^\text{th}$dwarf是否睡在自己的床上。不睡在自己床上的矮人总数为$Y_1+\dots+Y_n$。因此，通过期望线性，我们有：
\开始{align}
E_n&=\mathbb{E}（Y_1+\点+Y_n）\\
&=\sum_{k=1}^n\mathbb{E}（Y_k）\\
&=\sum_{k=1}^n\mathbb{P}（\neg k）\\
&=1+\sum_{k=2}^n\frac{n}{（n-1）（n-k+2）}\\
&=1+\frac{n}{n-1}\左（\frac{1}{2}+\frac}{3}+\dots+\frac{1}}{n}\右）
\结束{align}因此当$n=7$时，不睡在自己床上的矮人的预期数量是$E_7=frac{343}{120}大约2.8583$。

再次查看极值，当$n=2$时，我们得到$E_2=2$。这很有道理，因为有两个小矮人总是睡错了床，所以不睡自己床的侏儒数量总是正好是2美元。作为$n\to\infty$，我们可以通过使用对数近似谐波级数：
\[
\tfrac{n}{n-1}\log（n+1）-\tfrac{1}{n-1}<E_n<\tfrac}{n-1\log（n）+1\]因此，$E_n$像$\log（n）$一样增长为$n\to\infty$。如果我们想要一个渐近紧近似，我们可以写：\[E_n\近似\log（n）+\gamma\]其中$\gamma\approx 0.5772$是Euler–马斯切罗尼常数。