雪是什么时候开始下的？

我们假设下雪开始于$t=0$小时。因此，在$t$小时后，地面上的积雪深度与$t$成正比。由于犁的速度$v$与地面上的雪量成反比，因此我们得到$v=\tfrac{c}{t}$，其中$c>0$是一个比例常数。我们假设常数是以英里为单位的，所以$v$是以英里每小时为单位的。

假设犁在$t=x$小时开始。在第一个小时内，犁行驶2英里。因为距离是速度对时间的积分，所以我们有：
\[
2\text{miles}=\int_{x}^{x+1}v\，\mathrm{d} 吨=\int_x^{x+1}\frac{c}{t}\，\mathrm{d} 吨=c\，\log\left（\frac{x+1}{x}\right）
\]在第二个小时，犁行驶1英里。所以我们还有：
\[
1\text{mile}=\int_{x+1}^{x+2}v\，\mathrm{d} 吨=\int_{x+1}^{x+1}\frac{c}{t}\，\mathrm{d} 吨=c\，\log\左（\frac{x+2}{x+1}\右）
\]将第一个方程除以第二个方程，比例的单位和常数相消。简化后，我们得到：
\[
2\，\log\left（\frac{x+2}{x+1}\right）=\log\ left（\frac{x+1}{x}\rift）
\]对双方进行指数化以抵消日志，
\[
\左（\frac{x+2}{x+1}\right）^2=\frac{x+1}{x}
\]最后，通过清除分数和简化，我们得到：
\[
x^2+x-1=0
\]因为我们必须有$x\gt 0$，所以我们可以放弃这个方程的负解，而只保留正解。这使我们能够：
\[
x=\frac｛\sqrt{5}-1}{2} \约0.618034
\]顺便说一句，这是黄金比例虽然这是一个巧合，而不是任何有意义的事情……如果犁是在中午开始的，那么雪是在中午前$x$小时开始的，即上午11:22.55（11小时22分55秒）。