可视化顶点

由于这两点可以在任何地方，让我们定义坐标系，使原点位于两点之间的中点。这样，通过对称性，我们可以说这两个点位于$A（-u，-v）$和$B（u，v）具有垂直对称轴且顶点位于$（x，y）$的抛物线满足形式为$v-y=A（u-x）^2$的方程。考虑到这样一条抛物线穿过$a$和$B$，当我们替换$a$与$B$的坐标时，必须满足方程：
\开始{align}
-v-y&=a（-u-x）^2\\
v-y&=a（u-x）^2
\结束{align}消除从这对方程中，我们只剩下一个方程，它将顶点$（x，y）$的坐标与确定$a$和$B$位置的坐标$u$和$v$联系起来。
\[
y=\frac{v}{2u}\左（x+\frac{u^2}{x}\右）
\]点集$（x，y）$是双曲线以原点（$A$和$B$的中点）为中心，其渐近线为直线$x=0$和$y=\tfrac{v}{2u}x$. 这是一个图，显示了点和对应于顶点可能位置轨迹的双曲线。

几何可视化

可视化可能的抛物线顶点位置轨迹的一种方法是使用抛物线的几何定义：抛物线是一组与点$F$（焦点）和线（准线）等距的点。下面是一张图表，显示了此施工的实际情况：

当$P'$沿着准线滑动时，抛物线是与准线和点$F$等距的点$P$的集合。

在最初的问题中，我们考虑的是具有垂直对称轴的抛物线，因此准线必须是水平的。我们可以通过绘制以$A$和$B$为中心且与准线相切的圆来找到焦点的位置，并且焦点必须位于圆的交点。最后，抛物线的顶点是焦点和准线之间的中点。当我们为准线选择不同的位置时，我们会扫出顶点的所有可能位置。

在上图中，两个可能的焦点位于$F_1$和$F_2$，分别具有相应的顶点$P_1$和$P_2$。相关抛物线以紫色显示。当我们垂直上下平移准线时，点$P_1$和$P_2$会绘制出绿色双曲线。如果您想亲自查看，这里有一个交互式Geogebra可视化（您可以移动准线或点$B$）。注意：您可能需要缩放/平移才能看到图形。

如果上述小程序不起作用，请尝试这个链接.