车辆故障

为了完整地描述流体的状态，我们需要跟踪$k=0,1，\dots.$时$k$月龄的流体量。一旦一包液体达到12个月大，我们可以简单地认为它是“老的”，我们可以停止数月。所以我们总共需要13个数字来完成这项工作。假设$x_t\in\mathbb{R}^{13}$是$t$月份的流体状态。最初，所有12夸脱的液体都是旧的，因此我们可以写下：
\[
x_0=\开始{bmatrix}0\\0\\vdots\\0\\12\end{bmatrix}
\]在这个月的过程中，流体会老化，所以我们将矢量的所有分量都向下移动一个。我们可以将其表示为矩阵乘法：
\[
x_｛t｝^｛\text｛shift｝｝＝｛\brace｝开始{bmatrix}0&0&0&\cdots&0&0\\
1&0&0&\cdots&0&0\\
0&1&0&\cdots&0&0&0\\
\vdots&\ddots&\ ddots＆\ ddots&\ vdots＆\vdots&\vdots\\[-3mm]
0&0&\ddots&\ddotes&0&0\\[-3mm]
0&0&0\\ddots&1&0&0\\
0&0&0＆\cdots&0&1&1\end{bmatrix}}_S x_t。
\]在下个月初，我们取出一夸脱液体，并添加一夸脱新液体。这里的关键是，因为当我们去掉一夸脱时，液体是均匀混合的，所以我们去掉同样的夸脱比例每种不同类型的流体。换句话说，我们损失了所有流体类型的$\tfrac{11}{12}$。然后，我们添加一夸脱液体，所有这些都是新的。我们可以将其表示为线性组合：
\[
x{t+1}=\frac{11}{12}x_t^{\text{shift}}+\下大括号{\begin{bmatrix}1\\0\\vdots\\0结束{bmatrix}}_{e_0}
\]最后，通过提取最后一个分量（同样可通过矩阵乘法表示），并将其除以12（流体总量），得出时间$t$时的旧流体分数：
\[
y_t=\下大括号{\开始{bmatrix}0&0&\cdots&0&1\end{bmatrix}}_{e_{12}^\textsf{T}}x_T
\]将所有这些事实放在一起并删除$x_t^\text{shift}$，我们得到以下结果(状态空间)动力学表示：
\开始{align}
x{t+1}&=\tfrac{11}{12} S公司x_t+e_0\\
y_t&=\tfrac{1}{12} e（电子）_{12} ^\textsf｛T｝x_T
\结束{对齐}到找到稳态分布（作为$t\to\infty$），我们可以通过设置$xt=x{t+1}$来求解不动点$x\star$。由此得出以下方程式：
\开始{align}
x_\star&=\tfrac{11}{12} S公司x_\星+e_0\\
y_star&=\tfrac{1}{12} 电子_{12} ^\textsf{T}x_\star
\结束{align}消除$x_\star$将带来：

$\显示样式
y_star=\tfrac{1}{12} e（电子）_{12} ^\textsf{T}\左（I-\tfrac{11}{12} S公司\右）^{-1}e_0
=\压裂{3138428376721}{8916100448256}\约0.352
$

因此，几个月过去后，大约35.2%的液体将变旧。我们也可以通过$x\star=left（I-\tfrac{11}）直接计算稳态分布$x_star${12} S公司\right）^{-1}e_0$，我们得到以下分布：

正如预期的那样，应该始终有一夸脱的新液体。在我们到达旧液体之前，每个后续容器中的液体量都会减少，旧液体占液体总量的35.2%（约4.22夸脱）。

使用终值定理

有很多方法可以解决这个问题(马尔可夫链回想起来）。由于这是一个关于动力系统稳态响应的问题，我想我会用控制理论的语言来解释这个问题。

我们可以写传递函数这个系统的结果是：
\[
Y（z）=\tfrac{1}{12} e（电子）_{12} ^\textsf{T}\左（zI-\tfrac{11}{12} S公司\右）^｛-1｝e_0=
\裂缝{3138428376721}{8916100448256z^{12}（12z-11）}
\]我们被问及恒定输入1的稳态输出是多少。这相当于要求对单位步长做出稳态响应。为此，我们可以应用终值定理，它告诉我们答案必须是：
\[
\lim_{t\to\infty}\，y（t）=\lim__{z\to1}\，（z-1）\cdot\frac{1}{z-1}\cdotY（z）=y（1）=\frac}{3138428376721}{89161004256}
\]这与使用另一种方法得到的答案相同。

但等等，还有更多…

这个问题表现出一种特别有趣的行为。与大多数达到稳态的线性系统不同渐近地，此系统在有限时间! 具体来说，我们在整整12个月后达到稳定状态。没有必要再等了！

要了解为什么会出现这种情况，请返回动力学：
\开始{align}
x_\star&=\tfrac{11}{12} S公司x_\星+e_0\\
y_star&=\tfrac{1}{12} e（电子）_{12} ^\textsf{T}x_\star
\结束{对齐}我们现在对$S$进行观察：
\[
S^{12}=\开始{bmatrix}0&0&\cdots&0&0\\
0&0&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots＆\cdots&\ vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&0&0\\
1&1&\cdots&1&1\end{bmatrix}=e_{12}1^\mathsf{T}
\]这很有道理；12个月后，所有液体都变老了。事实上，对于所有$k\geq12$，$S^k=e_{12}1^\mathsf{T}$。现在考虑一下错误，这是与稳态$x\star$的偏差。误差动态为：
\[
（x{t+1}-x\\star）=\tfrac{11}{12} S公司（x_0-x_\星）
\]经过$k$步，其中$k\geq 12$，因此错误为：
\开始{align}
x_k-x_\star&=\左（\tfrac{11}{12} S公司\右）^k（x_0-x_\星）\\
&=\左（\tfrac{11}{12}\right）^ke_{12}\下大括号{1^{\textsf{T}}（x_0-x_\star）}_{=0}
\结束{align}最后一个学期取消的原因是因为所有年龄段的液体总量总是12。因此$x_0$的组件之和等于$x{\star}$的组件总和。因此，流体实际上在确切地12个月！我们可以使用以下Matlab代码进行验证：

S=诊断（个（12,1），-1）；S（13,13）=1；e0=[1；零（12,1）]；e12=[零（12,1）；1]；Y=更改时间单位（ss（11/12*S，e0，e12'，0，-1），'月'）；lsim（Y，个（16,1），0:15，12*e12）伊拉贝尔（“旧液体（夸脱）”）xticks（0:2:15）yticks（0:12）栅格

这将生成以下绘图：

正如我们所看到的，在第12次补充之后，我们已经精确地达到了稳定状态，并且从那时起，旧液体的量保持不变。