本周的Riddler经典是一个计数问题。山羊能进塔里吗？
一座塔有10层，每层可以容纳一只山羊。十只山羊走近塔楼，每只山羊都有自己（随机）喜欢的地板。多只山羊可以选择同一个地板。每只山羊一只接一只地走上塔楼，来到自己喜欢的房间。如果地板是空的，山羊会很自在。但如果地板已经被另一只山羊占据，那么它会继续向上爬，直到找到下一个它将占据的空地板。但如果它找不到任何空地板，山羊就会被困在塔顶上。所有10只山羊都有自己的地板的概率是多少，这意味着没有山羊被困在塔顶上？
我的解决方案：
[显示解决方案]
假设有$n$只山羊，而这座建筑有$n$floors。假设$a_i$是山羊$i$的地板偏好，其中$i=1，\dots，n$。如果一个楼层偏好向量$v=（a_1，a_2，\dots，a_n）$在每层正好指向一只山羊，那么它就是“拥挤的”。
设$f（n）$为拥挤楼层偏好的数量。由于总共有$n^n$个可能的偏好向量（每个$n$只山羊都可以选择$n$个不同的楼层），所以每个山羊找到楼层的概率是$f（n）/n^n$。因此，解决这个问题等于找到$f（n$）$。
以下优雅的计数论据出自波拉克（1974）。我们首先考虑问题的修改版本：
- 增加一层（屋顶）。山羊可以选择这个$（n+1）^\text{st}$楼层作为它们的首选楼层。
- 就像其他楼层一样，屋顶最多只能容纳一只山羊。
- 如果一只山羊停在屋顶上，没有地方放它，山羊就会“绕”过去；它把电梯带回一楼，继续寻找一个开放的楼层。
在我们对这个问题的修改版本中，每只山羊最终都会占据一层楼（可能是屋顶），而只有一层空的。如果空空的楼层是屋顶，那么就没有山羊把屋顶作为它的首选楼层，也没有山羊去过屋顶，也没有羊不得不乘电梯下来。因此，根据我们最初的定义，楼层偏好向量非常拥挤。相反，如果其他楼层中有一个楼层是空的，那么一只山羊最终会出现在屋顶上，这意味着最初的楼层偏好向量要么无效（其中一只山羊选择了屋顶），要么偏好是有效的，但还是有一只山羊溢到了屋顶上。
因此，$f（n）$不仅等于原始问题中拥挤的偏好向量的数量，也等于修改后的问题中导致屋顶空置的偏好向量数量。
这个论点的最后一点是要认识到，对于$k=1，\dots，n+1$，必须有相等数量的偏好向量导致$k^\text{th}$楼层为空。这是因为问题的修改版本中的对称性。具体来说，如果一个特定的偏好向量$（a_1，\dots，a_n）$导致楼层$k$为空，那么$（a_1+j，\dotes，a_n+j）$将楼层$k+j$为空（我们将所有数字都括起来，使它们在$1$和$n+1$之间的范围内）。
由于修改后的问题有$（n+1）^n$个可能的总偏好向量（每个$n$只山羊可以选择$n+1$个不同的楼层），并且有$n+1$s个可能的空楼层，因此我们得到
\[
f（n）=frac{（n+1）^n}{n+1}=（n+1
\]将这个数字转换为解决方案开头所解释的概率，我们发现$n$山羊拥有一组密集偏好的概率为
$\显示样式
p（n）=\压裂{（n+1）^{n-1}}{n^n}=\压裂}{n+1}\左（1+\压裂{1}{n}\右）^n
$
对于$n=10$的情况，我们可以计算：
\[
p（10）=压裂{11^9}{10^{10}}=压裂{2{，}357{，{947{
\]
由于$\lim_｛n\to\infty｝\left（1+\frac｛1｝｛n｝\right）^n=e$，因此在大$n$的渐近极限中，我们有$p（n）\sim\frac｛e｝｛n+1｝$。这里有一个图，将真实概率与这个渐近近似值进行比较。
关于这个问题的历史
这种计数问题，从一个偏好开始，然后移动到下一个可用的空位，也被称为停车问题因为它最初的设计是关于汽车试图在单行道上停车，然后进入下一个可用的空地。还有许多其他等效的计数问题，您可以在条目中找到更多相关信息A000272号在整数序列在线百科全书中。有关停车问题和其他相关计数问题的精彩解释，请看理查德·斯坦利关于这个主题的幻灯片。我在上面的帖子中的解决方案是基于理查德幻灯片中的论点，这是由于波拉克（1974）提出的。
