为红绿灯计时恰到好处

让我们给变量命名，这样单位转换就不会变得麻烦。定义：
\开始{align}
x_\text{light}&=\text{红绿灯位置（2公里）}\\
x_\text{end}&=\text{终点线位置（4km）}\\
v_\text{max}&=\text{限速（100 km/h）}\\
a_\text{max}&=\text{最大加速度（2米/秒}^2\text{）}\\
\tauy&=\text{黄灯持续时间（5秒）}\\
\taur&=\text{红灯持续时间（20秒）}
\结束{对齐}

在这个问题中，我们隐含地假设我们永远不会闯红灯。所以即使我们不知道什么时候灯会变黄，我们也不能冒险；我们必须确保，即使是最不可能出现的最不合时宜的黄灯也不会导致我们闯红灯。

解决这个问题有很多不同的方法，但由于我目前正在教一门关于优化建模，我想我会走那条路。建模方法背后的想法是想象汽车的位置、速度和加速度是必须满足几个约束的决策变量。

基本变量和约束

让我们离散化时间间隔，并假设我们每$\Delta t$秒进行一次决策。因此，如果$\Delta t=1$，我们每秒都会做出决定。然后，定义以下决策变量：
\开始{align}
x_t&\ge 0&&\text{时间位置}t\\
0\le v_t&\le v_\text{max}&&\text{速度\\
-a_\text{max}\lea_t&\lea_\text{max}&&\text{时间加速度}t
\结束{align}其中时间指数范围超过$t=0,1，\dots，t$，其中$t$足够大。当然，我们不能任意选择位置和速度；它们必须是一致的。通过将加速度近似为每个$\Delta t$步的常数，我们可以得出：
\开始{align}
v_{t+1}&=v_t+a_t\增量t&&\text{（以恒定加速度改变速度）}\\
x_{t+1}&=x_t+v_t\增量t+\tfrac{1}{2} a _ t\Delta t^2&&\text{（位置随加速度变化）}
\结束{对齐}我们还具有位置和速度的初始条件：
\[
x_0=0\qquad\text{和}\qquad v_0=v_\text{max}
\]注意，我们将速度限制为非负。事实证明，这无关紧要，允许向后运动也无济于事。不管怎样，我们都得到了相同的答案！

应急计划

既然我们永远不能冒闯红灯的风险，我们必须确保在每一刻，必须发生两件事中的一件。要么：

1. 我们可以在$\tau_y$秒内到达$x_\text{light}$。（我们运行黄色）或：
2. 我们从不在$\tau_y+\tau_r$sec内传递$x_\text{light}$（我们可以避免运行红色）。

这些约束可以用代数编码。对于每个$t$，我们将定义一组新的位置、速度和加速度，持续时间为$\tau_y+\tau_r$秒。这些是应急变量，使我们能够确保在$t$时间灯变黄时不会出现任何问题。因此，我们定义了变量：
\开始{align}
\帽子x{t，k}&\ge0&&\text{（应急位置）}\\
0\le\hat v_{t，k}&\lev_\text{max}&&\text{（偶然速度）}\\
-a_\text{max}\le\hat a{t，k}&\lea_\text{max}&&\text{（偶然加速度）}
\结束{align}这些新的应急变量定义在$0\le t$和$0\ler k\le tau_y+\tau_r$上。就像普通的位置和速度一样，它们必须满足偶然性约束：
\开始{align}
\hatv{t，k+1}&=\hatv}t，k}+\hata{t，k}\Deltat&&\text{（速度随恒定加速度变化）}\\
\hat x{t，k+1}&=\hat x_{t，k}+\hat v{t，k-}\增量t+\tfrac{1}{2}\hat a{t，k.}\增量t ^2&&\text{（用常数加速度改变位置）}
\结束{对齐}我们还具有位置和速度的初始条件：
\[
\hatx{t，0}=x_t\qquad\text{和}\qqua2\hatv{t，0}=v_t
\]现在我们已经设置了偶然轨迹，我们必须对二进制约束进行编码。要么我们可以运行黄色，要么我们可以安全运行红色。让我们定义二进制变量：
\开始{align}
z^y_t\in\{0,1\}&\qquad\text{（如果灯在}t\text{变黄，我们可以运行黄色吗？）}\\
z^r_t\in\{0,1\}&\qquad\text{（如果灯在}t\text{变黄，我们可以安全运行红色吗？）}
\结束{align}我们可以运行黄色而不运行红色的约束是：
\开始{align}
\帽子x{t，tau_y}&\gex_\text{light}z^y_t&\quad\text{for-all}t\text{，和}\\
\帽子x{t，tau_y+tau_r}&lex_\text{light}+（1-z^r_t）x_\text{end}&&quad\text{代表所有}t\text{。}
\结束｛对齐｝在一起对于所有$t$，使用逻辑约束$z^y_t+z^r_t\ge 1$，这确保我们可以运行黄色的OR，我们可以安全地运行红色的OR。就这样！

目标函数

上述工作描述了一组可行的位置、速度和加速度曲线，这些曲线保证我们永远不会违反定律。在这些配置文件中，我们应该选择一个能让我们以平均最快的速度到达终点的配置文件。我努力寻找一个简单的目标函数来精确地捕捉这个概念。作为一种妥协，我只是尽量缩短了旅行的时间假设灯永远不会变红。这应该是与真实解决方案的适当近似，因为黄灯相对较少。大多数时候，当光线变黄时，它实际上并不影响我们；当我们靠近它时，如果灯变黄，这只是一个问题，这种情况不会经常发生。

为了描述完成时间，我定义了二进制变量：
\[
z^e_t\in\{0,1\}\qquad\text{（我们在时间}t\text{完成了吗？）}
\]连同约束：
\[
x_t\gex_\text{end}z^e_t\qquad\text{forall}t。
\]现在，只要我们越过终点线，我们的二进制变量就会是$1$。因此，通过最大化$\sum_{t=0}^Tz^e_t$，我们可以尽快到达末尾。

解决方案

从建模的角度来看，我们所有的约束都是线性的，这很好。我们确实有一些二进制变量，这使得混合整数线性规划（MILP）。然而，使用标准求解器相对容易解决该问题。对于这个问题，我将模型编码为朱莉娅连同JuMP公司包和古罗比求解器。一些细节：

• 用$\Delta t=1$求解。预解后，问题有：3492个约束、6216个连续变量和108个二进制变量。在笔记本电脑上解决问题大约需要0.3秒。
• 用$\Delta t=0.5$求解。预解后，问题有：15499个约束、29602个连续变量和216个二进制变量。在笔记本电脑上求解大约需要1.3秒。
• 用$\增量t=0.25$求解。预解后，问题有：63925个约束、125250个连续变量和436个二进制变量。在笔记本电脑上求解大约需要12秒钟。

无论时间离散化如何，所有解看起来都是一样的。这里是$\Delta t=0.25$的解决方案图，放大到汽车靠近红绿灯的点附近。

该绘图在此范围之外看起来是恒定的。因此，最佳做法是保持100 km/h的速度65秒，然后尽可能大幅度减速2.5秒，再尽可能大力度加速2.5秒，然后继续保持100 km/h。速度下降的原因是，如果灯变黄，我们将无法及时停车，因此，我们必须规避风险。67.5秒后，我们可以安全地加速，因为我们知道如果灯变黄，我们将在接下来的5秒内到达。

如果您有兴趣查看我的代码的全部细节，可以查看/下载我的笔记本在这里.