在我开始之前，我要感谢评论员Guy Moore和Jason Weisman分享了他们自己的解决方案，并指出了解释这个问题的不同方式。“随机球”变体是由盖·摩尔设计的。好的，我们开始吧…
无论如何，解决方案是什么？
这个问题涉及“最佳策略”，因此值得讨论这意味着什么，所以我们都站在同一个立场上。最佳策略是纳什均衡这是一组针对每个玩家的策略，如果任何一个玩家改变了他们的策略（而其他玩家保持其策略不变），那么对该玩家来说，结果会更糟糕。因此，没有一个玩家有任何改变策略的动机。
A类策略是一条根据你观察到的情况告诉你该做什么的规则。在这个游戏中，策略的一个例子是“总是以最准确的命中剩余的玩家为目标”。这是一个示例纯净的策略，因为每个玩家无论观察到什么都总是以相同的方式行事。并不是每个游戏都保证有一个由纯策略组成的纳什均衡。在某些游戏中，例如猜拳，最好使用混合战略也就是说，一种概率策略，例如“以相同的概率随机挑选岩纸或剪刀”。如果你在剪纸游戏中使用纯粹的策略，你的对手会与你对抗，你每次都会输！
事实证明，每个有限博弈都至少有一个混合纳什均衡。因此，我们不必担心没有最佳解决方案的情况。也就是说，存在许多纳什均衡是完全可能的！因此，如果事实果真如此，我们不应感到惊讶…
谋杀球vs硬币翻转球vs随机球
至少有三种方法可以解释这个问题。在第一种解释中，如果两名球员互相瞄准并击中对方，那么两名球员都将被淘汰。我将此变体称为“谋杀球”。在谋杀舞会上，没人可能赢！第二种解释是，每当两名球员相互碰撞时，我们应该掷硬币，掷硬币的失败者将被淘汰。我们还掷了一枚三元硬币，以处理三名玩家同时被淘汰的情况。我把这个叫做“硬币翻转球”。最后，我们可以将游戏解释为为玩家随机选择射击顺序。我将此变体称为“随机球”。在随机球中，如果A打B，B打C，但顺序是A先射门，则B在射门C之前被淘汰，C幸存。所有这些变体都有不同的解决方案！
两名球员
让我们从考虑只有两个玩家$P$和$Q$的情况开始；决斗！在这种情况下，没有任何决定要做。球员们总是互相瞄准。假设两个玩家分别有$p$和$q$的概率相互碰撞，我们想计算出其中一个玩家赢得决斗的概率。在谋杀球中，球员$P$只有在命中$Q$且$Q$未命中$P$时才能获胜。发生这种情况的概率为$p（1-q）$。但如果两名玩家都未命中（概率$（1-p）（1-q）$），则游戏会重复。因此，$P$成为最终赢家的可能性是：
\开始{align}
\马特布{P} _（P）&=p（1-q）\biggl（1+（1-p）（1-q\\
&=\压裂{p（1-q）}{1-（1-p）（1-q
\结束{align}重复另一个参与者的类似论点是，我们发现兴趣概率为：
\开始｛聚集｝
\马特布{P} _（P）=\压裂{p（1-q）}{1-（1-p）（1-q，
\qquad（平方米）
\马特布{P} （_Q）=\frac{（1-p）q}{1-（1-p）（1-q）}\\
\qquad（平方米）
\马特布{P} _0（0）=\压裂{pq}{1-（1-p）（1-q）}。
\结束{聚集}此处，$\mathbb{P} _0（0）$是两个玩家同时相互攻击的概率，因此没有人赢。当然，上述三种可能性之和为$1$。
在硬币翻转球和随机球中，如果玩家$P$在硬币翻转中相互击球，但他赢了，那么他也可以赢。事实证明，在这种情况下没有人获胜，$\mathbb{P} _0（0）上述解决方案中的美元将在两名玩家之间平均分配。
三名球员
我将详细解决谋杀案。有三名球员，每个人都可以选择目标。我们不会对所用策略的性质做出任何假设，我们将考虑使用混合策略混合策略的一个例子是“玩家$a$应该以$B$为目标，概率为$0.4$，$C$为目标概率为$0.6$”。在一些游戏中，例如猜拳，最好使用混合策略，因为如果你总是做同样的事情，你的对手会意识到这一点，你每次都会输！那么，让我们定义数字$x、y、z$如下：
\开始{align}
&A\text｛targets｝B\text｛with prob｝x\text｛and targets｝C\text｛with prob｝（1-x）\\
&B\text{targets}C\text{with prob}y\text{和targets{A\text{with prob}（1-y）\\
&C\text{targets}A\text{withprob}z\text{和targets{withprob}（1-z）
\结束{对齐}我们可以通过列举可能发生的方式来计算任何玩家获胜的概率。我将举一个例子来说明。要计算$A$获胜的概率，主要有两种方式：
- $B$和$C$同时消除，$A$生存。这种情况可以通过三种方式发生。$B$和$C$相互碰撞，或$B$碰撞$C$和$A$碰撞$B$，或$C$碰撞$B$和$A$碰撞$C$。我们还可以让每个人先存活几轮！总概率为：
\[
\裂缝{ab（1-c）xy+a（1-b）c（1-x）（1-z）+bcy（1-z
\]
- $B$先被淘汰，然后$A$以$C$赢得决斗（我们已经用$p$和$q$解决了这个问题）。无论如何，$B$一定错过了他的射门。要么$A$和$C$都瞄准$B$，至少其中一个命中，要么其中只有一个瞄准$B$s，另一个未命中。这种情况下的总概率为：
\[
\压裂{a（1-c）}{1-（1-a）（1-c
\]
- $C$先被淘汰，然后$A$与$B$决斗获胜。这种情况与前一种情况类似，总概率为：
\[
\压裂{a（1-b）}{1-（1-a）（1-b
\]
将上述三种概率相加，我们得到$\mathbb{P} _A（_A）$，$A$获胜的概率。我们可以进行类似的计算，以获得$B$获胜、$C$获胜以及没有人获胜的概率（所有四个概率的总和为$1$）。根据对称性，$\mathbb的公式{P} _B（_B）$可以通过循环排列所有变量来获得：$a\到b\到c\到a$，$x\到y\到z\到x$。最后，没有人获胜的概率是四种概率之和为一：$\mathbb{P} _0（0）=1-\mathbb{P} _A（_A）-\马特布{P} B（_B）-\马特布{P} _C（_C）$.
杀球最优策略
现在我们有了每个玩家获胜的概率，这些是函数：
\[
\mathbb公司{P} _A（_A）（x，y，z），\quad\mathbb{P} _B（_B）（x，y，z），\quad\mathbb{P} _C（_C）（x，y，z）。
\]每个函数都由$a，b，c$参数化，$a，b，c$是每个玩家的精度，并且是$（x，y，z）$的函数，使用的是（混合）策略。我们的目标是找到一个$（x，y，z）$的选择，这样就不会因为$x$本身的改变而提高$\mathbb{P} _A（A）$，仅$y$中的任何更改都无法提高$\mathbb{P} _B（_B）$，仅$z$中的任何更改都不能提高$\mathbb{P} _C（_C）$. 可以帮助我们解决这个问题的一个关键观察结果是，所有三个函数在$x$、$y$和$z$中都是线性的。优化线性函数时，最大值总是出现在边界处。这意味着必须存在纯纳什均衡！！！因此，我们可以将搜索限制为$x$、$y$和$z$分别为$0$或$1$的情况。因此，总共有8种策略。
我通过穷尽搜索计算出了纳什均衡。对于每个$（a，b，c）$的值，我计算了$（\mathbb{P} _A（_A），\mathbb{P} _B（_B），\mathbb{P} _C（_C）)$对于所有8个策略，尝试更改每个策略的$（x，y，z）$，以查看它是否是纳什均衡，如果我找到多个纳什均衡点，我会随机选择一个。然后，我画了一个图，说明谁在何时获胜。当$a=1$时，我们得到以下图片：
真是一团糟！这里有很多纳什均衡，几乎任何事情都可能发生。原因是，如果没有硬币翻转，阿伯特瞄准的球员将永远失败。所以，事实上，玩家所做的任何事情都是最优的！那个输掉比赛的球员对剩下的球员获胜有很大的影响，因此会产生混乱的解决方案。然而，这些纳什均衡大多是不稳定的也就是说，如果我们将雅培的准确度更改为$a=0.99$，则情况会完全改变：
硬币翻转球优化策略
我将省略Coinflip-ball的推导，因为代数写起来相当冗长和乏味，但这个想法在精神上与我推导Murder-ball变量的概率的方法类似。正如在Murder ball案例中一样，所有概率在$（x，y，z）$中都是线性的，所以再次强调，纯纳什均衡必须存在。如上所述，我使用了一个详尽的搜索来绘制每个玩家获胜的概率。这是我在$a=1$的情况下得到的结果。
对于大多数情况，策略是显而易见的。例如，当$b=0.8$和$c=0.5$时，最佳策略是雅培和鲍勃互相瞄准，科斯特洛瞄准雅培。在这种情况下，科斯特洛大部分时间都赢了！在右上角，你会注意到可能的结果是混合的，因为那里有多重纳什均衡。在该地区，三名球员都非常准确，联合阿博特的策略不再是最佳的。在这种情况下，三个玩家在一条链（a到B到C到a）或（a到C到B到a）中相互瞄准对方是纳什最优的。这是游戏规则的结果。在我对掷硬币游戏的解释中，如果三名玩家同时相互击球，游戏的结果取决于每个玩家都有平等的获胜机会的掷硬币游戏。
随机球最优策略
再次，我省略了推导。这种情况产生了与其他两种情况类似的解，其中纯纳什均衡始终存在。然而，在这种情况下，它甚至更好：纳什均衡是唯一的！这意味着对所有参与者都有一个明确的最佳策略。这是我在$a=1$的情况下得到的结果。
纳什均衡的唯一性反映在每个区域都是实心的；任何地方都没有重叠。
雅培不准确
当然，我必须看看在雅培不完全准确的情况下会发生什么。准备好让你的头脑崩溃…
以下是Coinflip-ball的案例：
您会注意到，当$a=0$时，最佳解决方案只是沿着直线$b=c$分割，在该直线上，更准确的玩家获胜。这很有道理；无论阿伯特做什么，他都会输，所以剩下的两名球员需要决一雌雄。
以下是谋杀球的案例：
这一次，在$a=0$的情况下，鲍勃和科斯特洛没有受到雅培的威胁，所以他们互相攻击。如果Bob和Costello都非常准确，那么他们很有可能互相淘汰，在这种情况下，Abbott赢了！
最后，这里是Random-ball的例子：
