四面体优化

唯一具有六条边的多面体是四面体它是一个三角形底座的金字塔。其中两个面是共享一条公共边的等边三角形。这说明了长度1的五条边。第六条边的长度由面之间的角度决定，我们称之为$θ$。下面是一个动画，显示了当您改变$\theta$时得到的不同四面体：

在这个图中，$AB=BC=AC=AD=BD=1$和$OD=OC=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

体积等于
\开始{align}
V&=\frac{1}{3}（\text{基地面积}）\cdot（\text}海拔}）\\
&=\frac{1}{3}（\text{Area ABC}）\cdot（DG）\\
&=\frac{1}{3}\左（\frac}1}{2}（AB）（OC）\右）\cdot\左（（OD）\sin\ theta\右）\\
&=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}}{2}\cdot 1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdote\frac{\sqrt{3}{2\\
&=\压裂{1}{8}\cdot\sin\theta
\结束{align}因此，最大容量为$\frac{1}{8}$，当$\theta=90^\circ$时发生。这是直观的，因为基地的面积是固定的，所以当海拔尽可能大时，体积最大。