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关于五三八谜题的帖子。

你能从帽子里掏出多少钱？

本周的Riddler经典是一个关于最大化支出的战略游戏。最佳策略是什么？

你只需要从写在帽子纸条上的数字1开始。最初，帽子里没有其他纸条。你将从帽子上画画100次，每次画画时，你都有一个选择：如果你画的纸条上的数字是k，那么你可以得到k美元，也可以在帽子上加上k个更高的数字。

例如，如果帽子里有数字1到6的纸条，你画了一个4，你可以收到4美元，也可以不收到钱，但可以在帽子里再加上四张数字7、8、9和10的纸条。无论是哪种情况，带有数字4的纸条都会被放回帽子。

如果你把这个游戏玩得很好，也就是说，为了最大化100回合后你会得到的总金额，你平均期望得到多少钱？

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N瓶啤酒

本周的Riddler经典是关于世界上最烦人的歌曲的困惑。

你和你的朋友在唱传统歌曲“99瓶啤酒”。每一节，你都要数瓶子的数量。第一节包含歌词“99瓶啤酒”，第二节包含歌语“98瓶啤酒”等等。最后一节包含歌辞“1瓶啤酒”。只有一个问题。当你完成任何一首诗时，你的朋友们往往会忘记他们唱的是哪首诗。当这种情况发生时，你完成了你正在唱的诗，然后在下一首诗中回到歌曲的开头（有99瓶酒）。假设你有1%的机会忘记你正在唱的每一节。平均来说，你会在这首歌中唱多少节？

额外学分：假设你和你的朋友唱的是“N瓶啤酒”而不是“99瓶啤酒”，其中N是非常非常大的数字。假设你忘记自己在歌曲中的位置的概率是每一节的1/N。如果你平均需要K首诗才能完成这首歌，那么K/N的比值接近多少？

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Riddler足球季后赛

本周的Riddler经典这是一个受正在进行的世界杯启发的概率问题。

Riddler足球季后赛（RFP）由四支球队组成。每个团队被分配一个介于0和1之间的随机实数，代表团队的“质量”。如果团队$A$具有质量$A$，而团队$B$具有质量$1b$，那么团队$A$s在游戏中击败团队$B$s的概率为$\frac{A}{A+B}$。

在季后赛的半决赛中，质量最高的球队（“1号种子”）与质量最低的球队（4号种子）比赛，而其他两支球队也相互比赛。赢得各自半决赛的两队在决赛中相互较量。

平均而言，RFP冠军的质量如何？

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随意切三明治

本周的Riddler经典是关于随机切割方形三明治的几何难题。

我做了一个方形三明治，现在是时候把它切成薄片了。但我不是做标准的水平或对角线切割，而是沿着三明治的周长随机选取两个点，从一个点直接切割到另一个点。（这些点可以在同一侧。）

较小的工件的面积至少是整个面积的四分之一的概率是多少？

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秋季颜色峰值

本周的Riddler经典是一个关于树叶变色的季节性谜题。

树木以一种非常特殊的方式改变颜色。在秋分和冬至之间，每棵树都会在一个随机的时间内独立地开始变色。然后，在每棵树的一个随机的稍后时间——从那棵树的叶子开始变色到冬至——那棵树所有的叶子都会立即脱落。在一年中的某个时间，树叶变化的树木比例将达到峰值。这个最大分数是多少？

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马修·华莱士提供的另一种解决问题的方法：
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洛特里亚

本周的Riddler经典关于Lotería，也被称为墨西哥宾果！

一千人在玩洛特利亚游戏，也被称为墨西哥宾果游戏。游戏由54张牌组成，每张牌都有一张独特的图片。每个玩家都有一个包含54张图片中的16张的棋盘，排列在一个4×4的网格中。棋盘是随机生成的，因此每个棋盘都有16张不同的图片，这些图片很可能是54张中的任何一张。

在游戏过程中，一次从牌组中抽出一张牌，任何在棋盘上包含该牌图片的人都会在其棋盘上标记该牌。玩家通过标记四张构成四种图案之一的图片获胜，如下所示：任意整行、任意整列、网格的四个角和任意2乘2的正方形。

显示了四个四乘四网格。在第一个网格中，第三行有四个蓝色标记。在第二个网格中，第二列有四个蓝色标记。在第三个网格中，标记了四个角正方形。在第四个网格中，第三列和第四列中的两个中间正方形被标记，形成一个较小的两乘二正方形。

抽完第四张牌后，就没有赢家了。抽到第五张牌时，恰好有一个获胜者的概率是多少？

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共享生日

本周的Riddler经典共享生日是一个具有挑战性的计算问题。

假设人们走进一个房间，一次一个。他们的生日碰巧在一年365天中随机分布（没有人出生在闰日）。当房间里的两个人过同一个生日时，再也没有人进入房间了，屋里的每个人都吃蛋糕庆祝，不管这个共同的生日是不是今天。

平均来说，当他们吃蛋糕时，房间里的预期人数是多少？

额外学分：假设房间里有三个人生日相同，每个人都吃蛋糕。平均而言，预计人数是多少？

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完美的披萨分享

本周的Riddler经典是关于如何切割披萨以获得精确的切片面积比。

迪恩做了一个比萨饼与他的三个朋友分享。在这四个人中，他们各自想要不同数量的披萨。特别是，他们的食欲比是1:2:3:4。因此，迪恩想在披萨上做两个完整的直切（即和弦），得到四块面积比为1:2:3:4的披萨。

迪恩应该在哪里做这两片？

额外学分：假设迪恩和更多的朋友一起分披萨。如果六个人分享比萨饼，迪恩沿着三条在一个点相交的和弦切割，那么他能达到多大程度上接近1:2:3:4:5:6的比例？如果有八个人共享披萨怎么办？

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发现稀有生物

本周的Riddler经典这是一个关于对一件不太可能发生的事情进行大量尝试的问题。

格雷登即将启程进行一次划船探险，目的是捕捉稀有水生生物F.Riddlerius的镜头。每天他都会给他的新好友戴维·哈克（David Hacker）寄一封手写的信。但是如果格雷登在$n$天后仍然没有发现这个生物（$n$是一个非常非常大的数字），他就会回家。

格雷登知道$n$的价值，他向大卫透露，在$n$天过去之前，探险成功的可能性只有50%。但一旦收集到任何视频片段，他就会立即回家（当然是在当天寄出一封信之后）。

平均而言，在$n$天中，戴维预计会收到多少封信？

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拆分药丸

他的一周Riddler经典就是把药片分开，以得到合适的剂量。

我被要求每天服用1.5粒某种药物，持续10天，所以我有一瓶15粒。每天早上，我从瓶子里随机取出两片药丸。

在第一天早上，这些保证是两个完整的药丸。我吃掉其中一粒，用精密刀片将另一粒一分为二，吃掉第二粒的一半，然后把剩下的一半放回瓶子里。

在接下来的早晨，当我吃两片药时，有三种可能性：

  • 我吃了两片药。和第一天早上一样，我把一个分开，把剩下的一半放回瓶子里。
  • 我吃了一整粒和一半粒，我都吃了。
  • 我吃了两片半丸。在这种情况下，我会随机取出另一粒药丸。如果是半片药，那么我会吃掉所有三片。但如果它是一个完整的药丸，我会把它分开，然后把没用完的那一半放回瓶子里。

假设每一粒药丸——无论是全粒还是半粒——从瓶子里取出的可能性都是一样的。

第十天，我再次取出两片药丸并吃掉。匆忙中，我立即把瓶子扔进了垃圾桶，然后才去检查我是刚吃掉了全片还是半片。我服用全部剂量的概率是多少，这意味着我不必在垃圾堆里翻找剩余的半粒药？

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