标签：动力学

我们将考虑这个问题的一个更一般的版本，其中开始和结束是$\ell$米，而地板是$h$米以下。设置坐标，使轨迹从$（0,0）$开始，到$（\ell，0）$结束，$y$-轴向下，这样就有了约束$y\leq-h$。

如果没有地板可担心，那么最佳路径将是最速曲线。所有最小时间轨迹都有一条此形状的路径，由参数方程给出
\开始{align}
x&=r（θ-\sinθ）\\
y&=r（1-\cos\theta）
\结束{align}此处，$r$是根据端点的位置选择的参数。此外，大理石将沿着这条路径移动，使$\theta$以统一的速度变化。特别是，$\theta（t）=\sqrt{\frac{g}{r}}t$。为了使曲线通过$（\ell，0）$，我们应该选择$r=\frac{\ell}{2\pi}$。当$\ell=1$时，将生成以下结果：

不幸的是，此路径的最大高度为$y（\pi）=2r=\frac{\ell}{\pi}\大约0.31831$。因此，如果地面比这更近，轨道就会进入地面。为了应对这种情况，我们将分三个阶段寻求设计：

1. 从$（0,0）$到$（a，h）$（向下移动到地板上）。
2. 从$（a，h）$到$（\ell-a，h）$$（沿地板移动）。
3. 从$（\ell-a，h）$到$（\hell，0）$（向上移动到端点）。

我们希望这个问题的解决方案是对称的，这就是为什么我们会假设路径的第一段和第三段是彼此的镜像。我们的任务是找到$a$和$r$，以最小化总时间。由于第一段是时间最优的，所以它必须是一条通过$（0,0）$和$（a，h）$的腕时曲线。因为它不能降到地面以下，所以我们必须有$0\lta\leq\frac{\pih}{2}$，因为我们必须真正到达地面，所以我们一定有$r\geq\frac{h}{2]$。假设完成这部分路径需要$\Delta T_1$秒，我们有
\开始{align}
a&=r（θ-\sinθ）\\
h&=r（1-\cos\theta）\\
\θ&=\sqrt{\frac{g}{r}}\Delta T_1
\结束{align}重新排列这些方程，我们可以用$r$表示$\theta，a，Delta T_1$：
\开始{align}
\θ&=\arccos\left（1-\tfrac{h}{r}\right）\\
a&=r\left（\arccos\left（1-\tfrac{h}{r}\right）-\sqrt{1-（1-\tfac{h{r}）^2}\rift）\\
\增量T_1&=\sqrt{\frac{r}{g}}\arccos\left（1-\tfrac{h}{r}\right）
\结束{对齐}

对于路径的第二部分，大理石将以恒定速度$\sqrt{2gh}$移动一段距离$\ell-2a$。因此该部分的总时间$\Delta T_2$满足
\[
\增量T_2=压裂{\ell-2a}{\sqrt{2gh}}
\]根据对称性，第三段将花费与第一段相同的时间，因此总行程时间为$\Delta T=2\Delta T_1+\Delta T_2$。仅用$r$表示，我们就得到了复杂的表达式：
\开始{multline}
\增量T=2\sqrt{\frac{r}{g}\arccos\left（1-\tfrac{h}{r}\right）\\
+\frac｛\ell-2r\left（\arccos\left（1-\tfrac｛h｝｛r｝\right）-\sqrt｛1-（1-\tfrac｛h｝｛r｝）^2｝\right）｝｛\sqrt｛2gh｝
\结束{multline}使用微积分，我们可以验证这个表达式对$r$的一阶导数总是正的。因此，当$r$最小时，就会出现$\Delta T$的最小值。换句话说，$r=\frac{h}{2}$。将其替换为，我们得到表达式
\[
\压裂{\ell+\pih}{\sqrt{2gh}}
\]把所有的东西放在一起，我们现在可以写出这个问题的完整解决方案。最小时间路径具有以下给定的最小时间

$\显示样式
\增量T_\text{min}=\begin{cases}
\压裂{\ell+\pih}{\sqrt{2gh}}&\text{if}0\lth\leq\frac{\ell}{\pi}\\
\sqrt{\frac{2\pi\ell}{g}}&\text{if}h\gt\frac}{\ell}
\结束{cases}
$

第二种情况对应于当地板距离足够远时，最快的路径（纯肱骨曲线）不会接触到地板。

对于所讨论的问题，我们被告知$\ell=1$和$h=0.1$米，因此我们在第一种情况下，最短时间由下式给出

$\显示样式
\增量T_\text{min}\text{对于$\ell=1$和$h=0.1$is}
\压裂{1+0.1\pi}{\sqrt{2g}}约0.9382，text{sec.}
$

下面是绘制$\ell=1$和几个不同的$h$值的时间最优轨迹时得到的结果。该图还包括与每个轨道相关联的最小时间。

如果地板高度为$h\leq\frac{\ell}{\pi}$，则轨道第一个弯曲部分的方程遵循前面的参数方程，其中$r=\frac}{2}$。
\[
\开始{对齐}
x&=\tfrac{h}{2}（θ-\sinθ）\\
y&=\tfrac{h}{2}（1-\cos\theta）
\结束{对齐}
\qquad\theta在[0，\pi]中
\]大理石追踪到的作为时间函数的实际路径是
\[
\开始{对齐}
x（t）&=\tfrac{h}{2}（\omegat-\sin\omegat）\\
y（t）&=\tfrac{h}{2}（1-\cos\omegat）\\
\ω&=\sqrt{\tfrac{2g}{h}}t
\结束{对齐}
\qquad\text{with:}0\leqt\leq\tfrac{\pi\sqrt{h}}{\sqrt}2g}}
\]

我不具备制作大理石以适当速度沿曲线移动的动画gif所需的技术技能，但方程式在上面，所以我将由其他人决定！