树林里的棍子

制造……的可能性…

1. 把一根棍子分成三块，做成三角形：$25\%$。
2. 有三根随机木棍的三角形：$50\%$。
3. 将一根棍子分成三段，形成一个锐角三角形：$\log（8）-2\approx.7.9\%$。
4. 一个有三个随机棒的锐角三角形：$1-\frac｛\pi｝｛4｝约21.5\%$。

问题1

给定三个长度$a、b、c$，它们什么时候能形成三角形？当他们满足三角形不等式时！换句话说，无论何时：
\[
a+b>c
\quad\text{和}\quad
b+c>a
\quad\text{和}\quad
c+a>b
\]当你考虑它时，这是有道理的；如果其中一个不等式为假，那么其中一个长度将比另外两个长度之和长，因此不可能有三角形。

假设棍子的长度为1，它在$a$和$b$位置断裂（从同一侧测量）。我们假设“随机中断”意味着$a$和$b$是均匀独立分布在$[0,1]$上的随机变量。根据对称性，情况$a\ltb$和$b\lta$发生的概率相等，并且生成三角形的概率相同，所以我们假设$a\lt b$。三个边长为$（a，b-a，1-b）$。写出三个三角形不等式，我们得到：
\[
b>\tfrac{1}{2}
\quad\text{和}\quad
<\tfrac{1}{2}\quad\text{和}\quadb-a<\tfrac{1}{2}\]由于$a$和$b$是统一的随机变量，我们可以把每个$（a，b）$看作是方框$0\le-a\le1$和$0\le b\le1$中一个点的坐标。我们寻求的概率正是满足约束条件的点的面积。如果我们绘制这些点（并包括$b\lt a$的镜像情况），以下是我们获得的数字：

我们可以通过检查看到阴影区域是总面积的$\tfrac{1}{4}$。所以把一根棍子掰成三块形成三角形的概率是25%。

问题2

在这个版本中，我们仍然试图创建一个三角形，所以我们必须执行与问题1中相同的三角形不等式。然而，在这个版本中，我们选择了三根长度为$a、b、c$的棍子，每根长度都是间隔$[0,1]$中的一个独立随机变量。在这种情况下，$a$、$b$或$c$很可能是最大的。我们将假定$c$是最大的，不失一般性。在这种情况下，我们只需要担心其中一个三角形不等式，所以我们有：
\[
a<c\quad\text{和}\quadb<c\quad\text{和}\quadc<a+b\]这是当我们绘制前两个不等式（淡黄色），然后绘制该区域的子集（也满足第三个不等式（深黄色）时的情况。

很明显，暗区的体积是整个区域的一半，所以这三个部分形成三角形的概率是$\tfrac{1}{2}$。我们还可以通过对称性填充立方体的其余部分，从而获得：

如果你盯着这个足够长的时间，你会发现它只是前一个区域的三个相同副本粘在一起（所以淡黄色现在是整个立方体），所以这个形状又是整个立方体的一半体积。总之，用三个随机选择的长度形成三角形的概率是50%。

问题3

这里的情况开始变得更加复杂。我们不仅要做三角形，还要做严重的三角形。这意味着每个内部角度必须小于90度。如果边长是$a、b、c$，我们从余弦定律$\cos（C）=\tfrac{a^2+b^2-C^2}{2ab}$，其中$C$是$C$对面的角度。如果我们想要$0\leC\le\tfrac{\pi}{2}$，那么我们应该选择$\cos（C）\ge0$。这适用于所有三个角度，因此我们必须：
\[
a^2+b^2>c^2
\quad\text{和}\quad
b^2+c^2>a^2
\quad\text{和}\quad
c^2+a^2>b^2
\]事实证明，这些不等式意味着三角不等式。以第一个为例：
\[
c=a+b\]所以当我们使用这些二次不等式时，我们不需要包括原始的三角形不等式。下面是当我们绘制所有不等式，然后镜像$b\lta$情况下的图像时的图形：

这是一个比我们以前更复杂的形状。我们将通过计算互补块的面积来计算其面积，如下图所示：

四个蓝色区域中的每一个对称面积相等。其中一个是由不平等现象给出的：
\[
（1-b）^2（b-a）^2+a^2
\quad\text{和}\quad
0\le a \le \tfrac｛1｝｛2｝
\quad\text{和}\quad
b\ge\tfrac{1}{2}
\]解$b$的第一个不等式，边界由$b=\frac{1-2a^2}{2（1-a）}$给出。因此，我们可以通过计算积分来计算其中一个蓝色区域：
\[
A_\text{blue}=\int_{0}^{1/2}\左（\frac{1-2a^2}{2（1-A）}-\frac}{2}\右）\，\mathrm{d} 一个=\压裂{3}{8}-\压裂{1}{2}\log（2）
\]我们可以对每个黄色区域使用类似的方法，我们发现：
\[
A_\text{yellow}=\int_{1/2}^{1}\frac{2a-1}{2a}\，\mathrm{d} 一个=\压裂{1}{2}-\压裂{1}{2}\log（2）
\]把所有东西放在一起，我们可以计算出原始蓝色形状的面积，它由下式给出：
\开始{align}
A_\text｛acute｝&=\frac｛1｝{2} -4A级_\文本{蓝色}-2A_\文本{黄色}\\
&=\压裂{1}{2}-4\左（\frac{3}{8}-\压裂{1}{2}\log（2）\right）-2\ left（\frac{1}{2}-\压裂{1}{2}\log（2）\right）\\
&=\log（8）-2\约0.07944
\结束{align}所以将一根棍子分成三段，形成锐角三角形的概率约为7.9%。

问题4

我们将用解决问题2的方法来解决这个问题，但我们将用问题3中使用的锐角三角形不等式替换三角形不等式。与问题2一样，我们最终得到的是三维体积，而不是二维区域。为了简单起见，我们假设$c$是最大长度，占所有可能性的三分之一。这是我们得到的体积：

虽然这看起来比问题2中的形状更复杂，但曲面方程$c^2=a^2+b^2$，它只是a的方程右圆锥! 所以我们可以通过减法来计算感兴趣区域的体积。它是立方体体积的1/3减去圆锥体体积的1/4。总概率是这个体积的三倍，因为我们必须考虑到剩余的相同部分。最后的答案是：
\[
P_\text{final}=3\左（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\左（\frac{\pi}{3}\右）\右）=1-\frac}\pi}{4}约0.2146
\]因此，用三个随机选择的长度形成锐角三角形的概率约为21.5%。

为了好玩，这是你把三个形状放在一起时得到的！