使五角大楼成直角

左侧的布局由外部的$（m+1）\次m$网格组成，内部的$（m-1）\次$网格，总计$m（m+1”+m（m-1”=2m^2$点。在美国国旗的情况下，$m=5$，我们总共有50分。如果一个数字可以写成$2m^2$，我就称它为旗号。

右边的数字称为中心五边形数。我们在中心有一个点，在下一层有5个点，下一层10个点，再下一层15个点，依此类推。这意味着中心五边形数字的形式为$\frac{5n^2+5n+2}{2}$。在我们上面的例子中，$n=4$，公式产生51，正如预期的那样。

为了回答这个问题，我们想找到比旗号大一的中心五边形数。从数学上讲，这相当于找到一对正整数$（n，m）$，如下所示：
\[
\裂缝{5n^2+5n+2}{2} -2米^2 = 1
\]稍微重新安排一下这个方程，我们可以把它写成：
\[
5（2n+1）^2-（4m）^2=5
\]让我们重命名$x=2n+1$，其中$x$是一个整数。由于其余项的奇偶性，$x$必须始终是奇数，因此在求解$x$而不是$n$时不会失去通用性。另外，其中两项可以被5整除，所以第三项也必须可以被5除，我们得出$4m=5y$是某个整数$y$的结论。除去$m$和$n$，我们得到以下等式：

$\显示样式
x^2-5y^2=1，\quad\text{其中：}n=\frac{x-1}{2}\text{和}m=\frac{5y}{4}
$

因此，如果我们找到一个特定的解$（x，y）$，我们可以将其转换为$（n，m）=\left（\frac{x-1}{2}，\frac{5y}{4}\right）$，然后我们的一对中心五边形和标志数差为1，分别由$\frac{5 n^2+5n+2}{2{2}$和$2m^2$给出。我们最初得到的解$（n，m）=（4,5）$对应于上述简化方程的解@（x，y）=（9,4）$。

暴力方法

如果我们将公式$x^2-5y^2=1$重写为$x^2=5y^2+1$。然后我们可以尝试不同的值$y=1,2,3，\dots$，直到$5y^2+1$变成一个完美的正方形。虽然不是特别优雅，但它保证能为我们找到所有解决方案（最终）。以下是我们获得的首批解决方案：

佩尔方程

这不是故事的结局！公式$x^2-5y^2=1$是丢番图方程也就是说，我们寻求整数解的多项式方程。更具体地说，它是佩尔方程，它经常出现，因此被赋予了自己的名称！一般来说，佩尔方程是指任何形式的丢番图方程$x^2-dy^2=1$。

要理解佩尔方程解的结构，请考虑$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$，它是一组形式为$Z=a+b\sqrt}5}$的数字，其中$a$和$b$是整数。就像复数一样，我们可以通过翻转第二项的符号来定义共轭，因此$\barz=a-b\sqrt{5}$。注意，如果$z=x+y\sqrt{5}$，我们有：
\[
z\bar z=\左（x+y\sqrt{5}\右）\左（x-y\sqart{5}\右）=x^2-5y^2
\]所以，当数字$z=x+y\sqrt{5}$满足$z\barz=1$时，$（x，y）$正好是佩尔方程的解。

事实1：如果$z$是Pell方程的一个解，那么$z^｛-1｝=\bar｛z｝$也是一个解。这是$z$必须满足$z\bar z=1$这一事实的直接结果。

事实2：如果$z_1$和$z_2$都是Pell方程的解，那么乘积$z_1z_2$也是。为了了解为什么会出现这种情况，我们利用共轭是分配的，乘法是交换的这一事实：
\[
（z1z2）（\overline{z1z2}）=（z1\overline}）（z2\overline{z2}）=1
\]现在，让我们定义基本单位$e\in\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$是具有$x，y\gt0$的Pell方程的最小解。在我们的示例中，$e=9+4\sqrt{5}$是上面生成的表中的第一行。根据我们的观察，解决方案的产品也是解决方案，$e^2$应该是一个解决方案。让我们检查一下！
\开始{align}
e^2&=（9+4\sqrt{5}）^2\\
&=81+2\cdot 9\cdot 4\sqrt{5}+16\cdot 5\\
&=161+90\sqrt{5}
\结束{align}和实际上，$（x，y）=（161,90）$也是一个解决方案；这是我们上表中的第二个！但事情变得更有趣了…

事实3：如果佩尔方程的解满足$x+y\sqrt{5}\gt 1$，那么$x，y\gt 0$。要了解为什么会出现这种情况，请使用$（x+y\sqrt{5}）（x-y\sqart{5}）=1$这个事实，由此我们得出$0\ltx-y\scrt{5}\lt1$的结论。因此，我们有不平等：
\开始{align}
1&\lt x+y\sqrt{5}\\
0&\lt x-y\sqrt{5}\lt 1\\
-1&&lt-x+y\sqrt｛5｝\lt 0
\结束{align}添加将这些不等式对在一起消除$x$或$y$，我们得出结论：$1 \lt 2x$和$0 \lt 2 \sqrt{5} 年$. 因此，需要$x，y\gt 0$。

事实4：Pell方程$x^2-5y^2=1$的所有正整数解都由$e^k$给出，其中$k=\{1,2,3，\dots\}$。我们将用矛盾来证明这个令人惊讶的事实。假设我们错了，还有一个不是这种形式的其他解决方案$z$。由于$e\gt 1$，对于某些$k$，一定是有$e^k\ltz\lte^{k+1}$。重新排列，我们得到$1。因为$z$和$e^{-k}$都是解决方案（事实1），所以$ze^{k}$也必须是解决方案。此外，$ze^{-k}\gt 1$所以根据事实3，这个解决方案还必须有$x，y\gt 0$。然而，我们也证明了$z e^｛-k｝\lt e$，这与基本单位的定义相矛盾$e$被定义为具有$x，y\gt 0$的最小解决方案。这个矛盾意味着我们最初的前提一定是错误的。所以所有的解决方案都是$e^k$形式。

我们在$d=5$的情况下使用的参数对于任何不是完美正方形的$d$仍然有效，因此例如，我们可以用完全相同的方法找到$x^2-17y^2=1$的解；通过寻找基本单位，然后将其提升到任意幂。在$d=h^2$是一个完美平方的情况下，方程变成$x^2-（hy）^2=1$，很明显，唯一的解是$（x，y）=（\pm 1，0）$。

所有解决方案

基于我们的小Pell方程迂回，我们确定方程$x^2-5y^2=1$的所有解的形式为：
\[
（9+4\sqrt{5}）^k\qquad\text{表示：}k=1,2，\dots
\]我们可以通过使用$x=\tfrac{1}{2}（z+\barz）$和$y=\tfrac{1}}{2{（z-\barz
\[
（x，y）\，=\，\left（\tfrac｛（9+4\sqrt｛5｝）^k+（9-4\sqrt｛5｝）^k｝｛2｝，\tfrac｛（9+4\sqrt｛5｝）^k-（9-4\sqrt｛5｝）^k｝｛2｝\right）\qquad\text｛for：｝k=1,2，\dots
\]这可能会提醒您生成斐波那契数，这是整数序列的另一个例子，其通用公式包含无理数。

就像斐波纳契数列一样，我们可以找到一个递归公式。为了简单起见，从$k=0$开始，我们有$（x_0，y_0）=（1,0）$。然后可以使用以下方法生成后续术语：
\开始{align}
x{k+1}+y{k+1}\sqrt{5}&=\左（x_k+yk\sqrt{5}\右）\左（9+4\sqrt}\right）\\
&=（9x_k+20y_k）+（4x_k+9y_k）\sqrt{5}
\结束{align}或换句话说，递归关系：
\[
\开始{bmatrix}
x{k+1}\\y{k+1}
\结束{bmatrix}
=
\开始{bmatrix}
9 & 20 \\ 4 & 9
\结束{bmatrix}
\开始{bmatrix}
x{k}\\y{k}
\结束{bmatrix}
\qquad\text{with:}
\开始{bmatrix}
x{0}\\y_{0}
\结束{bmatrix}
=
\开始{bmatrix}
1 \\ 0
\结束{bmatrix}
\]如果你觉得这些东西很有趣，那它就是数学分支的一部分代数数论.