重复关系
熊是否食用当前鲑鱼的最佳决定仅取决于三件事：当前鲑鱼重量、迄今为止捕获的最大鲑鱼重量以及剩余的鲑鱼数量。因此，这个问题非常适合于动态规划。我们将编写一个递归来解决一般情况，然后专门针对两小时或三小时范围的情况。
将$w_k（x，t）$定义为从现在开始食用的所有鲑鱼的预期重量，假设剩下$k$条鲑鱼，到目前为止食用的最重的鲑鱼重$t$kg，而当前的鲑鱼重量$x$kg。如果$x\le t$，熊不能吃鲑鱼，因为它太轻了。如果$x>t$，熊必须决定是否吃鲑鱼。因此，我们对预期未来重量进行了如下递归：
\[
w{k+1}（x，t）=\开始{case}
\mathbb公司{电子}_\xi w_k（\xi，t）&\text{if}x\le t\\
\最大\left\{\mathbb{电子}_\xi w_k（\xi，t），\mathbb{电子}_\xi\左（x+w_k（xi，x）\右）\right\}&\text{if}x>t
\结束{cases}
\]
在$x>t$的情况下，熊会做出最大化预期鲑鱼总重量的决定。第一种和第二种选择分别对应于让鲑鱼离开或吃鲑鱼。现在，让我们定义预期的未来鲑鱼重量$f_k（t）=\mathbb{E} _x（x）wk（x，t）$，它是当前所有可能鲑鱼重量的平均值。展开递归，
\开始{align}
f_{k+1}（t）&=\mathbb{E} _x（x）w{k+1}（x，t）\\
&=\int_0^1 w_{k+1}（x，t）\，dx\\
&=\int_0^t f_k（t）\，dx+\int_t^1\max\left\{f_k\\
&=t f_k（t）+\int_t^1\max\left\{f_k\\
&=f_k（t）+\int_t^1\max\left\{0，\，x+f_k
\结束{对齐}
微不足道的基本情况是$f_0（t）=0$，因为没有更多的鲑鱼，未来的重量必然为零。通过这种递归，我们现在可以解决问题语句中要求的情况，即$f_2（0）$和$f_3（0）$。
贪婪的灰熊案例
让我们从一个简单的例子开始，灰熊总是只要有可能就吃掉每一条鲑鱼。然后递归简化为：
\开始{align}
f_{k+1}（t）&=t f_k（t）+\int_t^1\左（x+f_k，x）\右）\，dx\\
&=t f _k（t）+\tfrac{1}{2}（1-t^2）+int_t^1fk（x）\，dx
\结束{对齐}
对$t$求导并简化，我们得到：
\[
f{k+1}'（t）=t fk'（t
\]
替换$f_{0}'（t）=0$并迭代，我们观察到：
\[
f_{1}'（t）=-t，\qquad f_{2}'（t）=-t-t^2，\qquad f_3}'（d）=-t^2-t^3，\qqquad\ldots
\]
模式很清楚，$f_{k}'（t）=-t-t^2-\dots-t^k$。现在从$1$到$t$进行积分，利用$f_k（1）=0$的事实（如果我们已经有1公斤重的鲑鱼，就不能再吃了），得到
\[
f_k（t）=\压裂{1-t^2}{2}+\压裂{1-t^3}{3}+\点+\压裂}1-t^{k+1}}{k+1}
\]
所以当灰熊贪婪时，我们有：$f_{k}^{prime\prime}（t）=-1-2t-3t^2-\dots-kt^{k-1}\le0$。因此$f_k（t）$是凹面的功能。我们稍后会利用这个事实……从空腹和贪婪的灰熊开始，鲑鱼的预期食用重量由公式给出
\[
f_k（0）=\frac｛1｝｛2｝+\frac｛1｝｛3｝+\dots+\frac｛1｝｛k+1｝
\]
这是一个谐波和，其增长类似于$\log（k）$。因此，给定无限的时间，挑剔（和贪婪）的灰熊可以吃无限量的鲑鱼。
什么时候贪婪最好？
事实证明，灰熊的最佳策略是在剩下1、2或3条鲑鱼时贪婪。但如果有4条或更多的鲑鱼，最优策略就会改变。要了解原因，请回忆一下我们的重复关系：
\[
f_{k+1}（t）=f_k（t）+\int_t^1\max\left\{0，\，x+f_k
\]
如果$x+f_k（x）-f_k（t）\ge 0$代表所有$0\le-t\lex\le1$，那么我们应该总是贪婪地追求$（k+1）^\text{st}$鲑鱼。在这里，我们将利用前面导出的事实，即当灰熊贪婪时，$f_k$是凹的。这意味着$x+f_k（x）-f_k（t）$在$x$中也是凹的，可以通过检查端点$x=t$和$x=1$来验证非负性。$x=t$总是这样，而$x=1$则相当于$1-f_k（t）\ge0$，因为$f.k（1）=0$（如果我们已经有了1公斤重的鲑鱼，就不能再吃了）。
让我们按顺序检查每个$k$，看看$1-f_k（t）\ge 0$是否有效…
对于1条鲑鱼：回忆一下$f_0（t）=0$。因此：
\[
1-f_0（t）=1 \ge 0
\]
因此灰熊贪婪，只剩下一条鲑鱼，因此前面推导的公式成立：$f_1（t）=\frac{1-t^2}{2}$。预期鲑鱼重量为$f_1（0）=\tfrac{1}{2}$。这并不奇怪；这是一条三文鱼的预期重量！
对于2条鲑鱼：替换$f_1（t）=\frac{1-t^2}{2}$并找到：
\[
1-f_1（t）=\tfrac｛1｝｛2｝+\tfrac｛t^2｝｛2｝\ge 0
\]
因此，灰熊贪婪地留下2条三文鱼，$f2（t）=\frac{1-t^2}{2}+\frac}1-t^3}{3}$。预期鲑鱼重量为$f_2（0）=\tfrac{5}{6}$。
对于3条鲑鱼：替换$f_2（t）=\frac{1-t^2}{2}+\frac{1-t^3}{3}$并找到：
\[
1-f2（t）=\tfrac{1}{6}+\tfrac}{t^2}{2}+\tbrac{t^3}{3}\ge 0
\]
因此，灰熊很贪婪，剩下3条鲑鱼，$f_3（t）=\frac{1-t^2}{2}+\frac}1-t^3}{3}+\tfrac{1-t^4}{4}$。预期鲑鱼重量为$f_3（0）=\tfrac{13}{12}$。
对于4条鲑鱼：替换$f_3（t）=\frac{1-t^2}{2}+\frac}1-t^3}{3}+\tfrac{1-t^4}{4}$并找到：
\[
1-f3（t）=-\tfrac{1}{12}+\tfrac}t^2}{2}+\tfrac{t^3}{3}+\trac{t^4}{4}\ngeq 0
\]
啊哈！对于所有$t$，此函数不再为非负（取$t$接近零）。因此，在这种情况下，如果吃的最重的鲑鱼重$t$kg，而当前的鲑鱼重达$x$kg，那么如果$x+f_3（x）-f_3（t）\ge为0$，熊应该吃当前的鲑鱼，否则不要吃鲑鱼。决策边界如下所示：
绿色区域表示熊应该何时吃掉当前的鱼，假设还有四条鱼，包括这条鱼。图片中底部的红色三角形是被禁止的，因为鱼的重量不够。由于鱼太重，即$x+f_3（x）-f_3（t）<0$，所以禁止在顶部的小红色区域。
一般情况
由于四条鲑鱼的策略不再贪婪，我们必须返回到原始递归，以便为$k\ge 4$找到$f_k$。再也不可能找到解析解，所以我们求助于数值近似。在这样做的时候，我发现了熊的最佳决策规则，它是鲑鱼存留量的函数。以下是单个图中的结果：
和以前一样，我们总是拒绝虚线以下的鱼。每条实线对应不同数量的剩余鱼的决策边界。在线的上方，让鱼走。在线下，吃鱼。最上面的蓝色曲线（剩余$k=4$fish）与前面绘制的曲线相同。正如人们所料，前面的鱼越多，我们首先必须越挑剔，才能使最终重量最大化。
现在你可能会想……贪婪策略到底有多糟糕？如果我们将鲑鱼的预期总重量绘制为鲑鱼剩余量的函数，我们可以得到一个清晰的图像：
请注意，贪婪解只是我们前面推导的调和和。正如预期的那样，当$k=1,2,3$时，最优策略和贪婪策略完全一致。当$k=4$时，它们非常接近，但不完全相同。当$k\ge 5$时，我们开始看到明显的差异。随着$k$变大，曲线之间的距离越来越远。以下是同一图的缩小版：
贪婪曲线的增长类似于$\log（k）$，而最佳曲线的增长则类似于$\sqrt{k}$，这确实要快得多！
