共享生日

假设一年中有$n$天，那么$n$可能的生日不同。如果房间里有$k$人吃蛋糕，那么这意味着第一个$k-1$人的生日不同，而这个$k^\text{th}$人的出生日期与第一个$k-1$生日中的一个生日相匹配。发生这种情况的方式有：
\[
\下大括号{n（n-1）（n-2）\cdots（n-k+2）}{k-1\text{terms}}\cdot（k-1）
=\压裂{n！（k-1）}{（n-k+1）！}
\]请注意，我们必须有$1\leq-k\leq-n+1$，因为如果$k$大于$n+1$，那么第一个$k-1$的人就不能有不同的生日，并且上面的乘积为零。同时，生日组合的总数为$n^k$。因此，当他们吃蛋糕时，房间里的预期人数由以下公式给出：

$\显示样式
E_2=\sum_｛k=1｝^｛n+1｝\frac｛n！\cdot k（k-1）｝｛（n-k+1）！\cdot n^k｝
$

不幸的是，这个和并没有封闭的解，但我们可以用数字来计算。当$n=365$时，我们发现房间内的预期人数为$24.61659$。

这个特别的金额是Ramanujan研究，他发现总和有一个渐近展开式（作为$n$的函数），其增长如下
\[
\求和{k=1}^{n+1}\分数{n！\cdotk（k-1）}{（n-k+1）！\cdot n^k}
\近似\sqrt{\frac{\pin}{2}}+\frac{2}{3}+\frac{1}{12}\sqrt{\frac{\pi}{2n}}+\cdots
\]这个近似值相当好。事实上，当$n=365$时，我们有：
\[
\sqrt{\frac{\pin}{2}}+\frac{2}{3}=24.6112
\quad\text{和}\quad
\sqrt{\frac{\pin}{2}}+\frac{2}{3}+\frac{1}{12}\sqrt{\frac{\pi}{2n}}=24.6167
\]都接近真实值。

额外学分

当我们寻找3个匹配的生日时，计算过程变得复杂得多。假设在$k^\text{th}$人进入房间之前有$\ell$对匹配的生日。为了计算发生这种情况的方式，我们有：

• $\binom{n}{\ell}$选择一年中有成对生日的$\ell$天的方法。
• $\binom{k-1}{2\ell}$选择生日配对的$2\ell$人的方法。
• $\binom{2\ell}{\下大括号{2，\dots，2}_{\ell\text{times}}=\frac{（2\ell）！}{2^\ell}$将$\ell$对生日分配给$2\ell$人的方法。
• $\underbrace{（n-\ell）（n-\ell-1）\cdots（n+\ell-k+2）}_{k-1-2\ell\text{terms}}=\frac{（n-\ell，）！}{（n+\ ell-k+1）！}$为第一个$k-1$人的其他人指定独特生日的方法。
• $\ell$方法使$k^\text{th}$人匹配其中一个$\ell$s对。

就总和范围而言，我们必须有$1\leq\ell\leq\frac{k-1}{2}$，因为在第一个$k-1$人中必须至少有一对匹配的人，而$2\ell\leq k-1$则是因为这些配对的生日不能超过总人数。因此，当有3个匹配的生日时，房间内的预期人数为：
\[
E_3=\sum_｛k=1｝^｛n+1｝\sum_｛\ell=1｝^｛\left \lfloor\frac｛k-1｝｛2｝\right \lfloor｝
\二进制{n}{\ell}
\二进制{k-1}{2\ell}
\压裂{k\ell\cdot（n-\ell）！（2\ell）
\]只要稍加努力，我们就可以展开二项式并简化一些阶乘项，我们得到

$\显示样式
E_3=\sum_｛k=1｝^｛n+1｝\sum_｛\ell=1｝^｛\left \lfloor\frac｛k-1｝｛2｝\right \lfloor｝
\压裂{n！\，k！}{（\ell-1）！\，（k-1-2\ell）！\、（n+\ell-k+1）！\cdot 2^\elln^k}
$

正如您所料，此表达式也没有闭合形式，但我们可以再次对其进行数值计算，当$n=365$时，我们得到$88.7389$。

数值验证

我写了一个简单的Python脚本来模拟游戏，看看我们是否能证实上面的发现。

从随机导入randint从操作员导入countOf将numpy导入为npN=100000#试验次数n=365#天数m=2#当有m个重复的生日时，我们庆祝长度=[]对于范围（N）内的试验：x=[]对于范围（1，n+2）中的k：z=随机数（1，n）如果countOf（x，z）==m-1：长度.附加（k）打破其他：x.附加（z）a=np.mean（长度）#经验平均值sem=np.std（长度）/np.sqrt（N）#标准错误打印（f'预计人数为{a}±{1.96*sem:.3f}（95%置信度）'）

在$m=2$的情况下运行上述程序，我获得了$24.55923±0.075$。
在$m=3$的情况下运行上述程序，我获得了$88.69134±0.204$。正负表示95%的置信区间。两种模拟均与上述解析表达式一致。