圈子里的定居者

我从建模和优化的角度来处理这个问题。如果有$N$定居者，我们假设定居者的坐标是$（x_i，y_i）$，对于$i=1，\dots，N$，$d_i$是$i^\text{th}$定居器与其最近邻居之间的距离，那么我们可以如下建模：
\[
\开始{对齐}\下置{x，y，d\，\in\，\mathbb{R}^N}{\text{maximize}}\quad&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nd_i\\
\文本{这样}\quad&x_i^2+y_i^2\le 1&&\text{for}i=1，\点，N\\
&（x_i-x_j）^2+（y_i-y_j）|2\ge d_i^2&&\text{代表}i，j=1，点，N\text{和}j
\结束｛对齐｝
\]目标是最小化每个定居者与其最近邻居之间的平均距离（$d_i$的平均值）。第一个限制条件是每个定居者必须在圆圈内（距离原点最多$1$）。第二个约束条件是，$i^\text{th}$定居者与其他定居者之间的距离至少为$d_i$。

然后游戏是找到满足这些约束条件的$（x_i，y_i，d_i）$并使目标最大化。广义而言，这是一个数学优化问题不幸的是，如上所述的问题是非凸问题是因为第二个约束的形式。这意味着问题可能具有非全局最优的局部最大化。有两种前进方式：

首先，我们可以使用本地搜索：从随机放置的定居者开始，以目标持续增加的方式摆动他们的位置，然后在我们无法改进目标时停止。此类方法的示例包括爬山和内点法一般来说，这种方法只能找到局部极大值，因此我们应该尝试许多随机的起始位置，以确保找到最佳的可能答案。

第二，我们可以使用全局搜索：这些方法试图通过同时考虑多个配置并添加随机扰动来找到全局最优解，这些随机扰动可以将解“踢”出局部最大值。示例包括模拟退火和粒子群这些方法往往比本地搜索慢得多，但找到全局最优值的机会要大得多。

最后，我使用了本地搜索和几个随机初始化。以下是最大平均距离如何随定居点数量而变化。

条形图还显示了如果我们在圆周上均匀分布定居点（“所有定居点都在边界上”），如果我们将一个定居点放在中间，其余定居点均匀分布在圆周（“一个定居点在中心”），我们会做得多好。我们还可以检查沉降分布的实际情况。它们在这里：

案例$N=6$特别有趣，因为它有一个解决方案几乎在中间，但不完全是。事实上，在这种情况下，与邻居的平均最小距离为1.002292美元，因此我们可以通过将一个定居点放置在离中心的地方来稍微受益。

我们也可以通过分析来解决$N=6$的情况，但解决方案并不理想（公平警告！）。结果是，定居点按以下方式分布在整个圆圈中：

这里，$x$是原点和点$A$之间的距离。其他距离满足$z\lt y\lt x+1$，因此到最近邻居的平均距离为$\tfrac{1}{6}（1+x+2y+3z）$。请注意，一旦设置了$x$，这将唯一地确定所有其他点的位置。经过一些复杂的三角运算，我们得到了以下与$x$、$y$、$z$和两个辅助变量$p$和$q$相关的方程：
\开始{align}
y^2&=1+x-x^2-x^3\\
z^2&=1-x^2+2x\左（pq-\sqrt{1-p^2}\sqrt{1-q^2}\右）\\
p&=\tfrac{1}{2}（1-2x-x^2）\\
q&=\tfrac{1}{2}（1-x+x^2+x^3）
\结束{对齐}我们可以消除$\{y，z，p，q\}$并将平均距离$\bar d=\frac{1+x+2y+3z}{6}$作为$x$的函数进行求解：
\[
\条形图d=\frac｛x+1｝｛12｝\left（2+4\sqrt｛1-x｝+3\sqrt｛2｝\sqrt｛1-x｝\sqrt｛\left（x^3+2 x^2-x+2\right）-x\sqrt｛x+3｝\sqrt｛x^3+x^2-x+3｝}\right）
\]然后我们可以绘制$x$的函数，得到以下曲线：

有趣的是，这个函数在$x=0$之后才达到最大值。放大后，我们可以更清楚地看到：

最大值约为$x=0.0555108$，最大值为$1.00229$，正如我们之前发现的那样。如果我们试图通过求此函数的导数，将其设为零，并消除有理数来解析求解此问题，我们会得到以下结果……以下$30^\text{th}$阶多项式的最优$x$a根：
\开始{align}
x^{30}&+\tfrac{152}{9}x^{29}+\tfrac{9259}{81}x^}28}+\trac{6851}{18}x^[27}+\tbrac{38336363}{648}x^{26}+\tfrac{1999495}{5832}x^{25}\\
&+\tfrac{43478263}{52488}x^{24}+\tfrac{75726373}{23328}x^{23}+\tfac{3282369305}{1679616}x^{22}-\tfrac{31642768891}{7558272}x^{21}\\
&+\tfrac{367775655235}{136048896}x^{20}+\tfrac{392027905801}{34012224}x^{19}-\tfrac{2016793647847}{136048896}x^{18}-\tfrac{1258157703385}{68024448}x^{17}\\
&+\tfrac{4545130566235}{136048896}x^{16}-\tfrac{22059424877}{17006112}x^{15}-\tfrac{8448216227365}{136048896}x^{14}+\tfrac{2878062707167}{68024448}x^}{13}\\
&+\tfrac{7398046956073}{136048896}x^{12}-\tfrac{312655708903}{3779136}x^{11}+\tfrac{17266856539}{1679616}x^}10}+\tfac{63670102441}{839808}x^9\\
&-\tfrac{29827845749}{559872}x^8-\tfrac{541401565}{23328}x^7+\tfrac}{619158287}{23428}x^6+\tfrac{6168305}{2592}x^5\\
&-\tfrac{156285}{32}x^4-\tfrac{5153}{36}x^3+\tfrac}{3923}{12}x^2+\tfrac{45}{2}x-\tfrac[35}{16}
\结束｛align｝恶心! 如果你画出这个多项式，你会得到以下结果；正如预期的那样，在$x=0.0555108$处有一个根。