随意切三明治

假设三明治边长为1。设$t\in[0,1]$为第一个点的位置（从角点测量）。我们有三个案例需要考虑：

1. 如果第二个点在同一侧（概率为$\frac{1}{4}$），则得到的最小块的面积将为零。
2. 如果第二个点位于相邻的一侧（概率为$\frac{1}{2}$），则得到的最小块的面积将为$\frac{1{{2} 信托收据$，其中$r\in[0,1]$是相邻边上第二个点的位置。
3. 如果第二个点位于相反的一侧（概率为$\frac{1}{4}$），则生成块的面积将是生成的两个四边形中较小的一个。具体地说，它将是$\main（\frac｛t+r｝｛2｝，1-\frac｛t+r｝｛2｝）$，其中$r\in[0,1]$是对面第二个点的位置。

我们将解决一般情况，即找出最小切片至少占总面积$p$的一部分的概率。这个问题要求$p=\frac{1}{4}$。由于正方形的总面积是$1$，我们实际上是在问：“最小面积至少为$p$的概率是多少？”。

案例1。如果我们在第一种情况下（同一侧的点），面积大于$p$的概率为零，因为面积总是零。因此，我们得出结论：
\[
a_1=0
\]

案例2。如果我们在第二种情况下（相邻边上的点），我们需要$\frac{1}的概率{2} 信托收据>p$，其中$r$和$t$在$[0,1]$中统一随机选择。这相当于计算：
\开始{align}
a_2&=\int_0^1\int_0^1\mathbf{1}\bigl（\tfrac{1}{2} 信托收据\gt p\biger）\，\mathrm{d} 第页\，\mathrm{d} 吨 \\
&=\int_{2p}^1\int_0^1\mathbf{1}\bigl（r\gt\tfrac{2p{t}\bigr）\，\mathrm{d} 第页\，\mathrm{d} t吨 \\
&=\int_{2p}^1\left（1-\frac{2p{t}\right）\，\mathrm{d} t吨 \\
&=1-2p+2p\log（2p）
\结束{align}注释我们必须改变$t$积分的下限，因为当$t\lt2p$时，我们有$\tfrac{2p}{t}>1$，所以被积函数为零。几何上，这是[0,1]^2$中区域$（t，r）的分数，其中$tr\gt p^2$如下所示。

案例3。如果是第三种情况（相对边上的点），我们对四边形的面积进行类似的计算：
\开始{align}
a_3&=\int_0^1\int_0^1\mathbf{1}\bigl（\min（\tfrac{t+r}{2}，1-\tfrac}t+r{2}）\gtp\bigr）\，\mathrm{d} 第页\，\mathrm{d} t吨 \\
&=\int_0^1\int_0^1\mathbf{1}\bigl（\tfrac{t+r}{2}\gtp\text{和}1-\tfrac}{t+r}{2neneneep \gtp\bigr）\，\mathrm{d} 第页\，\mathrm{d} t吨 \\
&=\int_0^1\int_0^1\mathbf{1}\bigl（p\lt\tfrac{t+r}{2}\lt 1-p\bigr）\，\mathrm{d} 第页\，\mathrm{d} t吨 \\
&=\int_0^1\int_0^1\mathbf｛1｝\bigl（2p\lt t+r\lt 2-2p\bigr）\，\mathrm{d} 第页\，\mathrm{d} 吨 \\
&=1-4p^2
\结束{对齐}A计算上述积分的技巧是用几何方法。绘制$2p\lt t+r\lt 2-2p$的区域，我们看到它是区域$1$的正方形，两个角被截断，其面积为$（2p）^2$，因此结果为$1-4p^2$。请参阅下面的插图。

把所有的东西放在一起，最小块的面积至少为$p$的概率是由我们已经计算的概率之和给出的，每个概率都由它们发生的可能性加权，所以$f（p）=\frac{1}{4} a_1+\压裂{1}{2} a_2型+\压裂{1}{4} a_3型$. 将上述结果代入并简化，我们得到了最终答案：

$\显示样式
f（p）=压裂{3}{4} -p-p^2+p\log（2 p）
$

函数如下所示：

当然，图只扩展到$p=\frac{1}{2}$，因为较小部分的面积不能超过总面积的一半。当$p=\frac{1}{4}$（原始问题所问的内容）时，我们得到$f（\frac{1'{4}）=\frac}7}{16}-\压裂{\log（2）}{4}\约0.264213$。因此，较小部分至少占整个面积的四分之一的概率约为26.4%。