你是职业体育联盟30名球队老板之一。 过去，你的联盟使用上个赛季球队的记录来确定年度选秀顺序——记录最差的球队获得第一选秀权，记录第二差的球队得到下一选秀权等等。然而，由于担心球队故意输掉比赛以提高选秀权， 联盟采用了一种改进的制度。 今年，每个队都投掷一枚硬币。 所有正确掷硬币的队进入A组，而掷硬币失败的队进入B组； 在每一组中，选择都是按照传统方式排序的，从最差记录到最好记录。 如果你的球队在旧体系中排名第十，那么在新体系下，你期望的选秀位置是什么？
额外学分： 假设每个团队被随机分配到T组中的一个，其中第一组中的所有团队都会选择，然后是第二组的所有团队，依此类推？
如果$1\le k\le N-1$，则$X_k=1$，如果团队$k$以$1$到$i$的组结束。 发生这种情况的概率是$\tfrac{i}{T}$。 如果$N+1\le k\le k$，则$X_k=1$，如果团队$k$以$1$到$i-1$的组结束。 发生这种情况的概率是$\tfrac{i-1}{T}$。
当$T=1$（只有一个组）时，该公式产生$N$，与原始种子相同。 当$K=N=1$（只有一个团队）时，公式产生$1$，这是应该的。 更准确地说，如果原始种子是$N=\tfrac｛K+1｝｛2｝+\Delta$，其中$\Delta$是从中间开始的偏移量，则该公式产生预期的草稿位置$\tfrac｛K+1｝｛2｝+\tfrac｛\Delta｝｛T｝$。 换言之，如果你开始时的表现好于平均水平，你可以预期最终会比平均水平好，同样，如果你的表现低于平均水平。 $T$的除法表明，当您添加更多组时，随机绘图策略具有均衡效果。
首先考虑团队$1\le k\le N-1$，这些团队的种子比团队$N$高。 假设这些团队中的$p$最终归入了$i$组。 有${N-1\choose-p}$种可能发生这种情况的方法，每种方法的概率为$\tfrac{1}{T}.$ 因此，我们有$\color{red}{P_1={N-1\choose P}\left（\tfrac{1}{T}\right）^P}$的净概率。 在剩下的$N-1-p$团队中，假设其中$r$最终以$1$到$i-1$为组。 有${N-1-p\choose r}$种可能发生这种情况，每种情况的概率为$\tfrac{i-1}{T}$。 净概率为$\color{red}{P_2={N-1-P\choose r}\left（\tfrac{i-1}{T}\right）^r}.$ 如果$i=1$，那么对于$P$的所有值，$P_2=0$。 剩余的$N-1-p-r$团队必须位于组$i+1$到$T$中，每个组的概率为$\tfrac{T-i}{T}$。 净概率为$\color{red}{P_3=\left（\tfrac{T-i}{T}\right）^{N-1-P-r}}.$ 如果$i=T$，则$P_3=0$。 在最终草案中，必须有$j-1$支球队领先于$N$支球队，到目前为止，我们已经考虑了其中$p+r$支球队。 其余的必须来自$N+1\le k\le k$团队，这些团队的种子数低于$N$团队。 这些必须以$1$到$i-1$的组结束。 有${K-N\choose j-1-p-r}$方法可以做到这一点，每种方法的概率为$\tfrac{i-1}{T}$。 净概率为$\color{red}{P_4={K-N\choose j-1-P-r}\left（\tfrac{i-1}{T}\right）^{j-1-P-r}.$ 如果$i=1$，则$P_4=0$。 剩余的$K-N-j+1+p+r$团队必须在$i$到$T$组中，每个组的概率为$\tfrac{T-i+1}{T}$。 净概率为$\color{red}{P_5=\left（\tfrac{T-i+1}{T}\right）^{K-N-j+1+P+r}}$
当$T=1$时，分布集中在$N=10$，因为不涉及概率； 每支球队都将按照种子队的顺序进行选秀。 当$T=2$时，分布是双峰分布。 尽管最初的种子是$N=10$，而我们之前计算的最终选秀位置的预期值是$12.75$，但在接近预期值的任何地方选秀的可能性都很低！ 这是有道理的，因为无论我们最终是排在第一组还是第二组，都会对我们的最终选秀立场产生重大影响。 对于$T=2,3，\dots$，会出现类似的多峰分布。最终，分布收敛于均匀分布。 再一次，这很有道理； 如果你想象一个 非常 如果团队人数众多，那么两个团队最终成为同一个团队的可能性就非常小。 因此，最终吃水位置基本上只取决于组号。