棱镜拼图

如果棱镜的边长为$a、b、c$，则体积等于表面积意味着
\[
abc=2ab+2ac+2bc。
\]假设边长已订购，那么$a\ge b\ge c$。因此，我们有：$ab\ge ac\ge bc$。所以$abc=2ab+2ac+2bc\leq6ab$。简化后，我们得到$c\leq 6$。我们现在可以分别考虑每种情况：

• 如果$c=6$，我们的方程式将简化为$ab=3a+3b$。重新安排和保理，这是$（a-3）（b-3）=9$。由于$c=6$被假定为最小边长，因此系数$（a-3）$和$（b-3）$中的每一个都至少为$3$。所以唯一的解决方案是$（6,6,6）$。
• 如果$c=5$，则我们的方程减少到$3ab=10a+10b\le 20a$。因此，$3b\le 20$和$b\le 6$。由于$c\le b$，这意味着我们只需检查$b=5$和$b=6$。检查每个案例，我们发现唯一的解决方案是$（10,5,5）$。
• 如果$c=4$，我们的方程就简化为$ab=4a+4b$。重新安排和保理，这是$（a-4）（b-4）=16$。每一种将$16$分解为两个因子的乘积的方法都会产生不同的解决方案。这些是：16美元乘以1美元、8美元乘以2美元和4美元乘以4美元。得到的$（a，b，c）$三元组是：$（20,5,4）$，$（12,6,4）美元，$（8,8,4）$。
• 如果$c=3$，我们的等式减少到$ab=6a+6b$。重新安排和保理，这是$（a-6）（b-6）=36$。将$36$分解为两个因素的乘积的每种方法都会产生不同的解决方案。这些是：36美元乘以1美元，18美元乘以2美元，12美元乘以3美元，9美元乘以4美元，6美元乘以6美元。得到的三元组是：$（42,7,3）$，$（24,8,3）美元，$（18,9,3）+，$（15,10,3）@，$（12,12,3）$。
• 如果$c=2$，我们的方程就简化为$0=4a+4b$，它没有解。
• 如果$c=1$，我们的方程就简化为$0=ab+2a+2b$，它也没有解。

就这样！总的来说，这个问题正好有10个解决方案。他们是：
$(6,6,6)$, $(10,5,5)$, $(20,5,4)$, $(12,6,4)$, $(8,8,4)$, $(42,7,3)$, $(24,8,3)$, $(18,9,3)$, $(15,10,3)$, $(12,12,3)$.

注意：我假设“整数”在本文中表示正整数。如果我们允许边长为零，那么边长为$（a，0,0）$的任何简并棱镜的面积和体积都等于零，因此有无穷多个解。

另一个注意事项：如果有办法找到上限$a$，那么我们可以进行彻底的数值搜索来找到所有的解，因为只有有限多个三元组$（a，b，c）$需要搜索。唉，我还没有找到$a$的上限。我怀疑这可能是不可能的，因为如果我们将$a\设置为\infty$，问题会简化为$bc=2b+2c$，这是问题的2D版本（面积等于周长的矩形）！