他的一周Riddler经典就是把药片分开，以得到合适的剂量。
我被要求每天服用1.5粒某种药物，持续10天，所以我有一瓶15粒。每天早上，我从瓶子里随机取出两片药丸。
在第一天早上，这些保证是两个完整的药丸。我吃掉其中一粒，用精密刀片将另一粒一分为二，吃掉第二粒的一半，然后把剩下的一半放回瓶子里。
在随后的早晨，当我取出两片药片时，有三种可能：
- 我吃了两片药。和第一天早上一样，我把一个分开，把剩下的一半放回瓶子里。
- 我吃了一整粒和一半粒，我都吃了。
- 我吃了两片半丸。在这种情况下，我会随机取出另一粒药丸。如果是半片药，那么我会吃掉所有三片。但如果它是一个完整的药丸，我会把它分开，然后把没用完的那一半放回瓶子里。
假设每一粒药丸——无论是一整粒还是半粒——都有可能从瓶子里取出。
第10天，我再次取出两片药丸并服用。匆忙中，我立即把瓶子扔进了垃圾桶，然后才去检查我是刚吃掉了全片还是半片。我服用全部剂量的概率是多少，这意味着我不必在垃圾堆里翻找剩余的半粒药？
我的解决方案：
[显示解决方案]
乍一看，这类问题似乎很乏味，但有一种简单而系统的方法来解决它们。我们可以使用多项式具体来说，当有$n$个完整药片和$m$个半衰期药片时，我们会写$x^ny^m$。由于选择药丸的方式具有随机性，我们将使用这些多项式的加权和来描述混合物或可能的状态。例如，我们可以写：
\[
\tfrac{2}{3}xy+\tfrac{1}{3{y^3
\]描述一种情况，其中瓶子含有一粒完整的药丸和一粒半药丸的概率为$\frac｛2｝｛3｝$，瓶子含有三粒半药丸的概率为$\frac｛1｝｛3｝$。请注意，系数总和为$1$，因此必须正好发生两种情况中的一种。
那么，当我们每天服用剂量时会发生什么？我们可以依次考虑每个场景。
- 根据概率$\frac{\binom{n}{2}}{\binom{n+m}{2{}$，我们将选择两个完整的药丸。在这种情况下，我们把一个切成两半，然后把一半放回瓶子里。这意味着瓶子现在包含$x^{n-2}年^{m+1}$。
- 根据概率$\frac{nm}{\binom{n+m}{2}}$，我们将选择一个完整的药丸和一个半药丸。在这种情况下，我们有准确的剂量，瓶子里现在有$x^{n-1}年^{m-1}$。
- 根据概率$\frac{\binom{m}{2}}{\binom{n+m}{2]$，我们将挑选两个半衰期药丸。在这种情况下，我们必须回到瓶子里，再取一粒药丸。这里有两个子案例：
- 根据概率$\frac{n}{n+m-2}$，我们选择一个完整的药片。所以我们把它分成两半，然后把一半放回瓶子里。罐子现在总共损失了一粒完整的药丸和一粒半药丸，所以它含有x美元^{n-1}年^{m-1}$。
- 根据概率$\frac{m-2}{n+m-2}$，我们选择一个半衰期药丸。所以我们有了精确的剂量，瓶子里现在含有$x^ny^{m-3}$。
结合所有可能的情况，我们发现描述瓶子内容物的多项式每天都会根据映射发生变化
\开始{multline}
x^ny^m\mapsto\tfrac{n（n-1）}{（m+n）（m+n-1\\
+\tfrac{m（m-1）（m-2）}{（m+n）（m+n-1）（m+2）}x^ny^{m-3}
\结束{multline}
这个公式有两个优点。首先，边缘案例会自动处理。例如，如果瓶子中含有$n=2$整粒药丸和$m=2$半粒药丸，则膨胀中的第三个术语（$x^ny^{m-3}$）是不可能的，因为瓶子中没有三个半粒药片。但相关系数为零，因此此项自动取消。类似地，如果$m=0$（瓶子里只装了满满的药丸），两个系数消失，第三个变成$1$，因此我们得到$x^n\mapstox^{n-2}y$。
其次，当瓶子包含可能状态的混合物（由系数总和为1的多项式描述）时，我们可以将上述变换分别应用于多项式的每个项，最终结果将再次是可能状态的混合。这是因为上述映射的系数之和也等于1。
为了计算10天后的状态混合，我编写了一个Mathematica脚本，以$x^{15}$（15个完整的药丸）开始，并递归地应用上述转换。以下是Mathematica脚本：
P=x^15；（*初始多项式*）打印[P]；对于[iter=0，iter<9，iter++，Q=0；ML=单项式列表[P]；对于[i=1，i<=长度[ML]，i++，术语=ML[[i]]；coef=术语/。{x->1，y->1}；n=指数[项，x]；m=指数[项，y]；Q=Q+系数（（m（m-1）（m-2））/（（n+m）（n+m-1）+（n m（2n+3m-5））/（n+m）（n+m-1）（n+m-2））x ^（n-1）y ^（m-1）+（n（n-1））/（n+m）（n+m-1））x^（n-2）y^（m+1））；];P=Q//展开；打印[P]；]
下面是脚本的输出：
\开始{聚集}
x^{15}\\
x^{13}年\\
\tfrac{1}{7} x个^{12} +\tfrac{6}{7} x个^{11} 年^2\\
\tfrac{36}{91}x^{10} y+\tfrac{55}{91}x^9年^3\\
\tfrac｛23｝{308}x^9+\tfrac{2385}{4004}x^8y^2+\tfrac{30}{91}x^7y^4\\
\tfrac{4}{13} x个^7y+\tfrac{81}{143}x^6y^3+\tfrac}{18}{143{x^5y^5\\
\tfrac{335}{4004}x^6+\tfrac{87}{154}x^5y^2+\tfrac{185}{572}x^4y^4+\tfraca{4}{143}x^3y^6\\
\tfrac{22573}{56056}x^4y+\tfrac{42605}{84084]x^3y^3+\tfrac}{1144}x^2y^5+\tfrac{1}{429}x年^7\\
\tfrac{44783}{240240}x^3+\tfrac{362603}{560560}x^2y^2+\tfrac}{27185}{168168}xy^4+\tfrac{61}{12012}y^6\\
\tfrac{80529}{101920}xy+\tfrac{21391}{1011920}y^3\\
\结束{聚集}
因此，在$10^\text{th}$day，瓶子中含有三粒半药丸的概率为$\tfrac{21391}{101920}，瓶子中包含一粒完整药丸和一粒半药片的概率为79.012\%$。这是服用正确剂量的概率，这是原始问题陈述中所要求的。
大药丸限值
我们在最后一天看到，瓶子里有一整粒药丸和一粒半药丸的概率大约为79%美元。一个自然要问的问题是：当我们改变起始药片的数量时，这个概率会发生什么？如果我们一开始只吃3粒药，那么我们总是第二天吃一整粒和一半粒。所以概率是$100\%$。以下是我们改变初始药片数量时发生的情况：
似乎随着初始药片数量的增加，在最后一天服用一片完整药片和一片半药片的概率会降低。对于为什么会发生这种情况，我没有很好的解释；如果你做到了这一步，并有任何想法，请写下评论；我很想听！
生成函数？
我很清楚我使用的多项式看起来很像生成函数。我寻找了一种很好的方法，将取球变换表示为作用于生成函数的微分算子，但分母使我受挫。分子很容易，例如。
\[
\tfrac{\mathrm{d}^3}{\mathr{d} 年^3} （x^ny^m）=m（m-1）（m-2）x^ny ^{m-3}
\]但我找不到处理分母的好方法。对于上述情况，分母应为$（n+m）（n+m-1）（n+m-2）$。如果有人找到了一种方法来解决这个问题，使用完整的生成功能机器，我很乐意听到它！
