随机选取扬声器

我们将考虑一个更一般的情况；假设党内有$n$候选人和$2m+1$投票成员。我们写200万美元+1$，因为应该有奇数的党员来打破僵局。定义以下概率：
\[
p（n，m）=\左\{
\开始{数组}{l}
\text{$n$候选之一的概率}\\
\文本{赢得200万美元+1$选票的多数。}
\结束{数组}
\右\}
\]让我们找出$p（n，m）$的公式。对于赢得$k$选票的特定候选人，$k$成员必须为该候选人投票，其余成员必须为其他$n-1$候选人之一投票。这种情况发生的概率为$\binom{2m+1}{k}\left（\frac{1}{n}\right）^k\left。如果候选人在200万美元+1$的选票中获得至少$m+1$的票数，那么他将赢得多数票。我们将最终结果乘以$n$，因为我们正在计算以下概率任何在n$名候选人中，获得多数票。因此，
\[
p（n，m）=n\sum{k=m+1}^{2m+1}\binom{2m+1{k}\left（\frac{1}{n}\right）^k\left
\]注：我们可以添加不同候选人获胜的概率，因为事件是不相交的；两位候选人不可能同时赢得大多数选票。如果标准允许重叠，例如一名候选人赢得至少40%的选票，那么两名候选人可能同时获胜，我们必须考虑到这种情况，以避免重复计算。

改变变量$k\mapsto 2m+1-k$，我们得到

$\显示样式
p（n，m）=n\sum{k=0}^m\binom{2m+1}{k}\左（1-\frac{1}{n}\右）^{k}\left（\frac}{n{right）^{2+1-k}
$

我们认为这是$n$倍CDF公司的二项分布$2m+1$试验和概率$1-\frac{1}{n}$。

我们真正追求的是候选人获得多数选票所需的预期轮数。
\[
f（n，m）=\左\{
\开始{数组}{l}
\text｛到中的一个为止的预期回合数｝\\
\文本{$n$候选人之一当选。}
\结束{数组}
\右\}
\]这将在一轮中发生，概率为$p（n，m）$。如果这样的话，它将在$k$回合内发生不发生在前$k-1$轮，发生在$k^\text{th}$轮。综上所述，我们得到：

$\显示样式
f（n，m）=\sum{k=1}^{n-1}k\cdot p（n-k+1，m）\prod_{i=0}^{k-1}\bigl（1-p（n-k+1+i，m）\ bigr）
$

不幸的是，这些公式并没有以任何有意义的方式进行简化，所以我们必须对其进行数值计算。第一个问题要求我们计算$f（3110）$，额外的学分要求$f（10110）$。计算这些，我们得到：
\开始{align}
f（3110）&约1.9999995110943353682\\
f（10110）&大约8.999995110943296464
\结束{align}这些当然是有理数，但$f（3110）$和$f（10110）$在表示为不可约分数时，分母分别为105位和1357位，所以我不在这里写出来！有一件事是肯定的非常不可能投票将提前结束。几乎可以肯定的是，它将进行完整的n-1$轮，直到只剩下两名候选人。

奖励：改变投票人数

提前选举议长如此困难的原因是有如此多的投票成员，因此不太可能有一位候选人随机获得大多数选票。我们可以看到，如果我们改变投票成员的数量，这种可能性将如何扩大。这里是$f（n，m）$的曲线图，它表示$n$（候选人人数）的不同值，作为$2m+1$（投票成员人数）的函数。在所有情况下，我们都可以看到预期的轮数迅速接近$n-1$。