完美追求-书证

本周的谜语人经典是关于捕捉

哈默斯·贾里森刚刚在一个足球场的一端截住一次传球，并开始以每小时15英里的恒定速度跑向100码外的另一端。

在他接球的那一刻，你正站在同一条球门线上，但在球场的另一端，距离贾里森50码。被抓住的那一刻，你决定永远直接跑向贾里森目前的位置，而不是提前计划沿着更具战略意义的路线与他会面。

假设你以恒定速度跑步（即，不要担心任何瞬时加速度），你必须多快才能赶上贾里森，然后他才能触地得分？

这是解决方案。
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有关详细推导（警告：微积分！），请单击下面的。
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注：这是我想出的解决方案……诚然，这有点乏味，也不是特别直观。如果你有一个更直接或更优雅的解决方案，我很想听听！

根据上图，Jarrison从$（0，w）$开始，以$v_0$的速度向$（L，w）美元跑去。因此，Jarrison的位置作为时间的函数是$（v_0t，w）$。我们从$（0,0）$开始，以$v$的速度运行。我们还假设我们在时间$t$的位置是$（x（t），y（t））$。

我们的速度总是指向贾里森。因此，我们有：
\[
\压裂{\点y}{\点x}=\压裂{w-y}{v0t-x}，
\]其中，点表示时间导数，即$\dotx=\frac{\mathrm{d}}{\mathr{d} t吨}x（t）美元。为了保持符号简单，在编写$x$或$y$时，我们将省略$（t）$。我们还知道，我们的速度恒定在$v$，因此，我们有：
\[
\点x^2+\点y^2=v^2
\]这两个耦合的微分方程，加上初始条件$x（0）=y（0）=0$，完全描述了我们的运动。我们的任务是解出这些方程，然后求出$v$的值，使解通过点$（L，w）$，也就是说，当Jarrison触地得分时，我们正好抓住了他。

为了解决这个问题，我们将使用变量$u=\frac{\dotx}{\doty}$的更改。将其替换为两个方程式。对于第一个等式，还要隔离$t$并进行微分，以便$t$不再显式显示。最终，我们获得：
\[
\点u=\frac{v0}{w-y}
\quad\text{和}\quad
\点y＝\frac｛v｝｛\sqrt｛u^2+1｝｝
\四元\text{with:}\begin{案例}y（0）=0\\u（0）=0\end｛cases｝
\]结合这些方程，我们得到了单个ODE（微分形式）
\[
\压裂{\mathrm{d} 年}{w-y}=\压裂{v}{v0}\cdot\frac{\mathrm{d} 单位}{\sqrt{u^2+1}}
\]将$t=0$（$y=u=0$）积分到任意稍后点，我们得到：
\[
\log\left（\frac{w}{w-y}\right）=\frac{v}{v0}\log\left|\sqrt{u^2+1}+u\right|
\]因此，
\[
\压裂{w}{w-y}=\left|\sqrt{u^2+1}+u\right|^{v/v0}
\]现在注意，如果$\sqrt{u^2+1}+u=f$，我们有$u=\frac{1}{2}\left（f-f^{-1}\right）$。因此，我们可以求解上述方程，得到：
\[
u=\frac{1}{2}\左[\左（1-\frac{y}{w}\右）^{-v_0/v}-\左（1-\frac{y}{w{right）^{v_0/v}\右]
\]现在回想一下$u=\frac{\dotx}{\dot y}=\frac{\mathrm的定义{d} x个}{\mathrm（马特姆）{d} 年}$. 因此，
\[
\马特姆{d} x个=\frac{1}{2}\left[\left（1-\frac}y}{w}\right）^{-v_0/v}-\left{d} 年
\]将$t=0$（$y=u=0$）积分到任意稍后点，我们得到：
\[
\压裂{x}{w}=\frac{1}{2}\left[\frac{left（1-\frac{y}{w{right）^{1+v_0/v}-1}{1+\frac{v_0}{v}}-\frac{left
\]这告诉我们$x$是$y$的函数。我们唯一缺少的是$v$。为了找到$v$，我们使用曲线必须通过$（L，w）$这一事实，这导致
\[
\压裂{L}{w}=\压裂{v_0v}{v^2-v_0^2}。
\]求解$v$得到：
\[
\压裂{v}{v_0}=\frac{1+\sqrt{4\frac{L^2}{w^2}+1}}{2\frac{L}{w}}。
\]请注意，无论$L$或$w$的值是多少，右侧始终大于$1$。这很有道理；如果我们想抓住他，我们需要比贾里森跑得更快。

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