Penny Pinching公司

这是一个经典游戏的旋转尼姆它可以追溯到16世纪初，但直到1901年，哈佛大学的查尔斯·鲍顿（Charles L.Bouton）提出了“尼姆”这个名字，并围绕游戏发展了完整的数学理论。在古典尼姆币中，可以有很多堆硬币，但在你的回合中，你只能从其中一堆硬币中取出硬币。本周Riddler Classic中的“Penny Pinching”变体被称为威瑟夫的游戏围绕着它的理论非常吸引人。我会尽量用我自己的话来解释。

每个位置可以用一对$（a，b）$（每堆硬币的数量）来描述。如果我把硬币放在这种特殊的位置上是安全的，那么这个位置就叫做“安全”；无论对方做了什么，他们都不可能赢得比赛。默认情况下，$（0,0）$是安全的，因为到达这个位置意味着我赢了比赛。

例如，$（1,2）$是安全的，因为我的对手的唯一合法动作是：

1. 从第一堆中取出以获得$（0,2）$。
2. 从第二堆中取出以获得$（1,1）$或$（1,0）$。
3. 从两个桩中取出以获得$（0,1）$。

在所有这些情况下，我们都可以一蹴而就，所以$（1,2）$是我们的安全仓位。安全仓位有两个关键属性：

1. 在一次移动中，从另一个安全位置到达安全位置是不可能的。如果这是可能的，那么我们的对手可以移动到一个安全的位置，然后他们就会是安全的！
2. 从任何不安全的位置，都可以一次移动到安全位置。这是因为，如果我们从一个安全的位置开始，那么根据定义，每当再次轮到我们时，我们必须能够回到一个安全的位置。

生成安全位置的一种方法是绘制晶格。每个单元格$（a，b）$对应游戏的位置。如果安全，我们可以将每个单元格涂成绿色，如果不安全，我们也可以将其涂成红色。我们可以迭代地完成这项工作，首先标记$（0,0）$safe，然后按照下图所述进行操作：

以下是生成任意大小的解决方案网格的Python代码片段：

将numpy导入为npN=51#将此更改为不同的点数A=np。零（（2*N，2*N），int）对于范围（2*N）内的i：对于范围（i+1）中的j：A[i-j，j]=~（（A[：i-j，j]==1）.any（）|（A[i-j，：j]==1）.any（）|（np.diag（A[i-j-1:：-1，j-1：：-1]）==1）.any（））

然后，我们可以使用下面的Python代码可视化网格：

将matplotlib.pyplot作为plt导入导入matplotlib.cm作为cm图，ax=plt.子图（图=（9,9））ax.imshow（A[：N，：N]，origin='lower'，interporation=None，cmap=cm.Blues）ax.set_sticks（范围（N），次要=真）ax.set_ytiks（范围（N），minor=True）ax.grid（其中='minor'，color='lightgray'）ax.grid（其中='major'，color='dimgray'）ax.图（[0,20]，[20,0]，'r--'）ax.图（[0,30]，[30,0]，'r--'）ax.set_xlabel（“第一堆硬币”）ax.set_ylabel（“第二堆硬币”）ax.set_title（“捏硬币的安全组合（威瑟夫的游戏）”）

所得数字（对于$N=51$）为：

游戏开始时，我可以按他们喜欢的方式分割硬币。例如，如果有20个硬币，那么我可以沿着下方红色虚线对角线选择任何起始位置（这是两堆硬币总数都为20的位置）。因为在这条对角线上没有安全的位置，所以我不能保证安全，所以我会输。然而，如果硬币的初始数量是：3、8、11、16、21、24、29、32、37、42、45、50、55、58、63、66、71、76、79、84、87、92、97、100……（包含安全位置的对角线），那么我可以将硬币分割到一个安全位置，从而获胜。这个数字序列很有趣，它有自己的名字：Wythoff AB编号.

安全位置的分布似乎在上面的图上形成了线条，但经过仔细检查，这些点的分布没有明显的模式。然而，Wythoff能够证明这些线的斜率是$\varphi$和$\varpi^{-1}$，其中$\varfi=\tfrac{1}{2}（1+\sqrt{5}）大约1.618$是黄金比率! 不仅如此，我们还可以使用以下公式生成所有安全对：

$\显示样式
\text｛所有安全对的集合｝（a，b）\text｛with｝a\le b\text｛is｝\quad\left（\bigl\lfloor n\varphi\bigr\rfloor，\，\bigl\lfloor n\varphi^2\bigr\lfloor\right）\quad\text｛for｝n=0,1,2，\dots
$

其中$\lfloor x\rfloor$是楼层函数，即四舍五入得到的整数。这将在上面的绘图中生成更陡峭的线条。我们可以通过交换两个坐标来获得另一半的点。这意味着，当硬币的起始数目为以下形式时，首发球员总是可以赢得比赛：

$\显示样式
\bigl\lfloor n\varphi\bigr\rfloor+\bigl\lploor n\varphi^2\bigr\rploor\quad\text{代表}n=0,1,2，\dots
$

当我们使用例如下面的Python代码替换上面的公式时，我们获得了Wythoff序列：

将numpy导入为npφ=（1+np.sqrt（5））/2np.数组（[int（np.floor（n*phi）+np.flower（n*φ**2）），用于范围（1118）内的n）]#输出：阵列（[3、8、11、16、21、24、29、32、37、42、45、50、55、，58,  63,  66,  71,  76,  79,  84,  87,  92,  97, 100, 105, 110,113, 118, 121, 126, 131, 134, 139, 144, 147, 152, 155, 160, 165,168, 173, 176, 181, 186, 189, 194, 199, 202, 207, 210, 215, 220,223, 228, 231, 236, 241, 244, 249, 254, 257, 262, 265, 270, 275,278, 283, 288, 291, 296, 299, 304, 309, 312, 317, 320, 325, 330,333, 338, 343, 346, 351, 354, 359, 364, 367, 372, 377, 380, 385,388、393、398、401、406、409、414、419、422、427、432、435、440，443, 448, 453, 456, 461, 464, 469, 474, 477, 482, 487, 490, 495])

如果你对这个公式的原始证明感兴趣（或者对20世纪早期书面数学的迷人一瞥），这里是威瑟夫1907年的原始论文.