本周的小提琴手是一个关于尽快回家的逻辑难题。
爱丽丝、鲍勃和凯里一起出发，各自以不同的恒定速度走回家。一旦三个人都回家了，他们就可以吃煎饼了！爱丽丝10分钟就能走回家，鲍伯20分钟就能走，凯莉30分钟就能走。幸运的是，他们中的任何人都可以背着其他人，而不会降低自己的行走速度。假设他们可以把某人抱起来，放下，然后瞬间改变方向。他们吃煎饼最快的速度是什么？
额外学分
现在有第四个：迪。迪是最慢的，步行回家需要60分钟。和以前一样，任何人都可以带其他人，在每个人都回家之前，他们不会吃煎饼。这种情况发生的最快速度是什么？
我的解决方案：
[显示解决方案]
乍一看，这似乎是一个逻辑难题，但它具有良好的几何直觉。具体来说，想象一下$x$-轴上的时间和$y$-轴上家的距离。如果Alice、Bob和Carey（从现在起我就叫他们A、B、C）以恒定速度行走，他们的路径会显示为直线。
对于第一个问题，最佳做法如下：
- A+C一起骑行，B独自骑行。
- 在某一时刻，A放下C，返回与B会面。
- C独自回家。
- A遇见B，把他们接起来，然后A+B一起骑车回家。
发生的最佳情况是A、B、C都能同时到家，如下图所示。如果C在A+B之前到家，那么A应该早一点把它们送回家，从而与B一起早一点到家。同样，如果C在A+B之后到家，则A应该晚一点把他们送回家，这样他们可以更快到家。
在图中，蓝线表示“A斜率”$\pm 1$，绿线表示“B斜率”$1\pm\frac{1}{2}$，红线表示“C斜率”$\pm\frac{1{3}$。兴趣点为F、G、H，如图所示。我用未知量$p，q，r$来表示它们的坐标，单位是10分钟。我们现在有三个方程式：
- FG具有斜率$1$，因此$p-\tfrac{1}{2} q个=q-p$
- GH具有斜率$-1$，因此$1-\tfrac{1}{2} 问=r-q$
- FH具有斜率$-\frac{1}{3}$，因此$1-p=\tfrac{1'{3}（r-p）$
求解这些方程，我们得到
\[
p=\frac{3}{4}，\quad q=1，\quid r=\frac{3}}{2}。
\]因为我使用的单位是10分钟，所以到达时间是$10r=10\cdot\frac{3}{2}$分钟，或者正好是15分钟。
注：我要感谢评论员TLK指出我的解决方案的前一个版本中的错误。我第一次写文章时有点草率，以为a会一路把C带回家，然后再回来接B！
额外信贷
对于额外的学分，解决方案要复杂得多：
- A+D一起骑行，B+C一起骑行
- 在某一时刻，A放下D，回到B身边。
- D继续向家走去。
- A遇到B，和B一起回家，C独自继续。
- A+B遇到D，B把D带回家，A转身回来。
- A与C相遇，将C带回家。
再一次，最理想的情况是A、B、C、D都能同时到家。这是相应的图表。
这一次，我们有了更多的方程和变量。
- FG具有斜率$1$，因此$p-\tfrac{1}{2} q个=q-p$。
- FH具有斜率$-\tfrac{1}{6}$，因此$H=（p+s，1-p-\tfrac}{6} 秒)$换$s$。
- GJ有斜率$-\tfrac{1}{3}$，因此$J=（q+r，1-\tfrac}{2} q个-\tfrac{1}{3} 第页$.
- GH具有斜率$-1$，因此$p+s-q=p+\tfrac{1}{6} 秒-\tfrac{1}{2} q个$
- HJ斜率为$1$，因此$q+r-p-s=p+\tfrac{1}{6} 秒-\tfrac{1}{2} q个-\tfrac{1}{3} 第页$.
- 香港的斜率为$-\tfrac｛1｝｛2｝$，因此为$1-p-\tfrac｛1｝{6} 秒=\tfrac{1}{2}（t-p-s）$。
- JK有斜率$-1$，因此$1-\tfrac{1}{2} q个-\tfrac{1}{3} 第页=t-q-r$。
求解这些方程，我们得到：
\[
p=\压裂{5}{8}，\四
q=\frac｛5｝｛6｝，\fquad
r=\frac{7}{16}，\quad
s=\frac{1}{2}，\quad
t=\压裂{41}{24}。
\]到达时间为$10t＝\frac｛205｝｛12｝$分钟或17.0833分钟，或者确切地说17分5秒.
注：我要感谢评论员Sanandan Swaminathan指出了我以前版本的解决方案中的一个错误。再一次，我在第一次写文章时有点草率，以为a会在第一次回程时接C，而实际上a最好接B！这是我找到的前一个（次优）解决方案的图表，它只达到17.8125分钟，即17分48.75秒。
