溢出的马提尼酒杯

假设马提尼酒杯的边长为$L$，顶部半径为$r$（见下图）。我们将比较两种配置中的液体体积，这将给出$p$和$q$之间所需的关系。事实证明，我们可以使用一个简单的比例参数，而无需实际计算体积。

在左侧的配置中，液锥的形状与整个玻璃的形状相似，但每个尺寸都按$p/L$缩放。因此，液体的体积与$p^3$成正比。

接下来，我们需要了解一些圆锥曲线。也就是说，平面与圆锥体的交点总是椭圆、双曲线或抛物线。你可以学习关于圆锥曲线的更多信息.

现在考虑右边的配置。液锥的体积为$\frac13\倍（\text{液面面积}）\text{height}）$。液体表面是一个圆锥截面（椭圆），其面积为$\pi s w$，其中$s$和$w$分别是大半径和小半径。将卷改写为：$\frac{\pi}{3}\times w\times（s\times\text{height}）$。

乘积$（s\times\text{height}）$只是从侧面看液体的横向面积。这个三角形有一边$L$，一边$q$，它们之间的角度（玻璃的尖端）是固定的。因此，该横向液体面积与$q$成正比。

小半径$w$属于穿过液体表面中点以及玻璃顶部开口中点（半径为$r$）的平面。通过相似的三角形，这个切片平行于玻璃的相对边缘，所以这次圆锥截面是抛物线。因此，$w$与$\sqrt{q}$成比例。

把所有东西放在一起，右边液体的体积与$q\times\sqrt{q}=q^{3/2}$成正比。两种构型中液体的体积相等，因此我们得出结论：$p^3\propto q^{3/2}$。或者，换句话说，$q\propto p^2$。要找到比例常数，请注意当$p=L$时，我们也有$q=L$。因此：

\[
\left（\frac{q}{L}\right）=\left（\frac{p}{L{right）^2
\]

所以当你把玻璃杯倒到溢出点时，饮料会到达玻璃杯的另一边，这个分数等于玻璃杯水平时所达到分数的平方。