这个谜题都是关于圆锥曲线的。
你已经翘起了双脚,喝了足够多的马提尼酒,当锥形玻璃杯(?)竖直时,饮料会达到其侧面的一小部分p。当倒向一边,刚好溢出时,饮料会到达对面多远?
这是我的解决方案:
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假设马提尼酒杯的边长为$L$,顶部半径为$r$(见下图)。我们将比较两种配置中的液体体积,这将给出$p$和$q$之间所需的关系。事实证明,我们可以使用一个简单的比例参数,而无需实际计算体积。
![马提尼](https://laurentlessard.com/bookproofs/wp-content/uploads/2016/05/martini.png)
在左侧的配置中,液锥的形状与整个玻璃的形状相似,但每个尺寸都按$p/L$缩放。因此,液体的体积与$p^3$成正比。
接下来,我们需要了解一些圆锥曲线。也就是说,平面与圆锥的交点总是椭圆、双曲线或抛物线。你可以学习关于圆锥曲线的更多信息.
现在考虑右边的配置。液体锥的体积为$\frac13\times(\text{液面面积})\times(\text{高度})$。液体表面是一个圆锥截面(椭圆),其面积为$\pi s w$,其中$s$和$w$分别是大半径和小半径。将卷改写为:$\frac{\pi}{3}\times w\times(s\times\text{height})$。
乘积$(s\times\text{height})$只是从侧面看液体的横向面积。这个三角形有一边$L$,一边$q$,它们之间的角度(玻璃的尖端)是固定的。因此,该横向液体面积与$q$成正比。
小半径$w$属于穿过液体表面中点以及玻璃顶部开口中点(半径为$r$)的平面。通过相似的三角形,这个切片平行于玻璃的相对边缘,所以这次圆锥截面是抛物线。因此,$w$与$\sqrt{q}$成比例。
把所有东西放在一起,右边液体的体积与$q\times\sqrt{q}=q^{3/2}$成正比。两种构型中液体的体积相等,因此我们得出结论:$p^3\propto q^{3/2}$。或者,换句话说,$q\propto p^2$。要找到比例常数,请注意当$p=L$时,我们也有$q=L$。因此:
\[
\left(\frac{q}{L}\right)=\left(\frac{p}{L{right)^2
\]
所以当你把玻璃杯倒到溢出点时,饮料会到达玻璃杯的另一边,这个分数等于玻璃杯水平时所达到分数的平方。