想象一下，取一个数字，把它的最后一位移到前面。 例如，1234将变为4123。 最小的正整数是多少？这样做时，结果正好是原始数字的两倍？
关于“数字洗牌”的六点思考
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嗨，劳伦特，有趣的解决方案，感谢你对思维过程的解释。 我得到了相同的答案，但使用的是一个机械过程，很少考虑它。如果你假设解的最后一位数，并将其用作“种子”，答案很快就会出来。 假设解的最后一个数字是4，这意味着倒数第二个数字是8（2×4），倒数第三个数字是6（2×8=16，进位一），倒数第四个数字是3（2×6+1从前面进位），倒数第五个数字是7（2×3+1），以此类推。继续，直到第一个数字重复最后一个数字。 在这一点上，您将得到一个数字，它取最后一个数字并移到前面是原始数字的两倍，即“解”，但不一定是最小的解（即538难题的解）。 按照此程序，假设4为种子，则“解决方案”为：210526315789473684 按照相同的步骤，使用不同的最后一位数种子快速找到所有可能的答案，最小的是538个谜题的答案。 这与您的答案相同：105263157894736842 -
谢谢你的评论！ 我没有想到只是尝试为最后一个数字使用不同的值，然后从那里建立数字！ -
是的，我没有像往常那样对本周的谜题投入太多的思考。 实际上，在我的解决方案中，你只需要为最后一个数字任意选择一个值。 所有其他可能的解决方案都会直接失效，因为不同的解决方案只是重复那个解决方案的循环。 很明显，选择2的解与选择4的解相同，只需取第一个数字并将其移到末尾即可。 -
实际上，在我的解决方案中也是如此。 第一步是选择$n$，使$10^n-2$是$19$的倍数。 这恰好发生在$n=17+18k$的时候，对于一些$k$来说。 然后，选择$d_0$（最后一个数字），所有解决方案都必须具有以下形式： \[ \tfrac{10^{n+1}-1} {19} d_0（0） \]只要数字$\tfrac{10^n-2}{19}$有$n$位。 最简单的解决方案是当$k=0$和$d_0=1$时，但可以增加$d_0$以获得其余的解决方案，然后增加$k$，等等。 -
Laurent，我计算出了以下“m-number shuffles”的其他最小值列表，即乘以m并将最后一个数字移到前面时复制的数字。 我用播种法寻找解决方案。 想知道您的解决方案是否也适用于不同的m-倍数，并且可以得出相同的结果。 2×105263157894736842（18位） 3×1034482758620689655172413793（28位） 4×102564（6位） 5×102040816326530612244897959183673469387755（42位） 6×1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966（58位） 7×1014492753623188405797（22位） 8×1012658227848（13位） 9×10112359550561797752808988764044943820224719（44位）
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你好，杰森， 是的，解决方案是通用的。 例如，如果数字的形式为$Md_0$，其中$M$有$n$个数字，并且将最后一个数字$d_0$移到前面会导致乘以$M$，那么我们必须求解的方程是： \[ （10m-1）M=（10^n-M）d_0 \]例如，如果我们让$m=3$，那么我们有：$29M=（10^n-3）d_0$。 因此，$29$必须除以$10^n-3$。 这是真的最小$n$是$n=27$。 这很容易通过计算进行测试。 因为模29只有28个可能的整数，所以你永远不需要测试超过28个数字，如果你找不到答案，那么就不存在一个。 下一步是查找$M$，它等于$M=\frac{10^ {27}-3 } {29}d0 $. 此数字必须为$n=27$位。 如果我们让$d_0=1$或$d_0=2$，它只有26位数字。 当我们让$d_0=3$时，我们首先得到了27位数，所以这就是答案。 因此，最终答案是： \[ 10M+d_0=1034482758620689655172413793 \]这就是你找到的解决方案。