敲下最后一个保龄球销

设$F（n，p）$为最底部销被撞倒的概率。该问题询问$\lim_｛n\to\infty｝F（n，0.5）$和$\lim_｛n\to\infty｝F（n，0.7）$。

渗流理论

这个问题与统计物理学中一个叫做渗流理论统计物理学关注微观特性（例如，原子如何与其邻居相互作用）如何导致宏观特性，如温度、相（液体、固体、气体）等。我们可以用统计物理的术语来重新定义这个问题，把保龄球管想象成多孔材料中的原子。在微观尺度上，水可以以$p$的概率挤压分子之间的空间。在每个空间的下面，下一层有两个空间。然后，我们可以问水是否可以渗滤液是否通过材料。换句话说，我们在问宏观问题：这种材料防水吗？

为了对此有所了解，让我们运行一些模拟。我们将从$p=0.5$和$n=20$开始。这里，最上面的针脚位于左上角，最下面的针脚位于右下角。我们可以看到，由于$p$的概率太小，这些引脚从未真正开始转动。在这种情况下，有无渗滤.

现在，让我们将概率增加到$p=0.7$。对于这些图，我缩小并使用$n=100$。我们可以看到，在大多数情况下，闸门打开，大量销钉被推倒（渗滤！）。但并不是每次都会发生。有些病例仍会遇到厄运，并在连锁反应发生之前被阻止。

在渗流理论中，我们正在研究的场景称为“定向键渗流在2D正方形晶格上”。它是定向的因为销只能朝一个方向（向下）撞击其他销债券渗流，因为晶格中的每个链接（键）都是活动的，概率为$p$，而不是网站在所有链接都处于活动状态的情况下进行渗滤，但您可以以$p$的概率激活特定的pin。

渗流理论的一个基本结果是，存在一个临界概率，即渗流开始发生的概率。换句话说，渗流概率$\theta（p）$满足：
\[
\θ（p）\开始{格}
=0&\text{代表}0\leq p\lt p_c\\
\gt 0&\text{代表}p_c \lt p\leq 1
\结束{cases}
\]$p_c$的确切值只有在某些特殊情况下才知道。例如，在下面的开创性论文中证明了，如果你有一个无限正方形晶格，并且允许销在所有4个方向上相互撞击，那么临界概率正好是$1/2$：

正方形晶格上有向键渗流的情况（这是我们感兴趣的情况）仍然是一个悬而未决的问题。然而，我们知道一些界限。例如，它是在各种论文那个
\[
0.5176\leq p_c\leq 0.6298
\]为什么这是相关的？好吧，问题是关于$p=0.5$和$p=0.7$的情况，它们正好位于这些边界之外！因此，

• 当$p=0.5$时，上面的界限告诉我们$p<p_c$。因此，$\theta（0.5）=0$，我们没有渗流。因此，当$n$较大时，撞倒最底部销的概率为零。
• 当$p=0.7$时，上面的界限告诉我们$p>p_c$。因此，$\theta（0.7）>0$，我们有渗流。因此，当$n$较大时，我们有一个非零的概率会撞倒最底部的销。

解析下限

考虑到找到$p_c$的确切值仍然是一个悬而未决的问题，寻找涉及最底部管脚的原始问题的分析解决方案似乎毫无希望。然而，我们可以使用分析方法来获得一个界限，从而确认$p=0.5$的结果。

让我们计算连接最顶部管脚和最底部管脚的路径总数。每条路径由$2（n-1）$步组成，正好一半的步是“左”步，另一半是“右”步。它们可以是任意顺序的，因此不同路径的总数为$\binom{2n-2}{n-1}$。每个路径也有发生概率$p^{2n-2}$，因为每个链接都有活动概率$p$。因此，
\开始{align}
&\mathrm{Prob}（\text{至少一个活动路径}）\\
&=1-\mathrm{Prob}（\text{无活动路径}）\\
&=1-\mathrm{Prob}\left（\text{path}k\text{对于}k=1，\dots，\textstyle\binom{2n-2}{n-1}\right无效）\\
&\leq 1-\prod_{k=1}^{\binom{2n-2}{n-1}}\mathrm{Prob}（\text{path}k\text{is inactive}）\\
&=1-\左（1-p^｛2n-2｝\右）^｛\binom｛2n-2｝｛n-1｝
\结束{align}此处不等式来自于路径不相互独立（它们可能有共同的边）的事实，而下限来自于假设独立的路径。例如，假设有两条路径，$A$和$B$分别是路径处于非活动状态的事件。然后，如果我们知道$B$是非活动的，则$A$非活动的概率会增加（因为路径可能有共同的边）。这意味着：
\[
P（A）=P（A中B）P（B）
\]注意，如果$A$和$B$是独立的（路径没有共同的边），那么我们就相等了。因此，我们现在有一个我们关心的概率的分析上限：

$\显示样式
F（n，p）\leq 1-\左（1-p^{2n-2}\右）^{\binom{2n-2]{n-1}}
$

让$L$作为$n\to\infty$的限制。我们可以如下评估：
\开始{align}
L&=1-\lim_｛n\to\infty｝\left（1-p^｛2n-2｝\right）^｛\binom｛2n-2｝｛n-1｝｝\\
&=1-\lim_{m\to\infty}\左（1-p^{2m}\右）^{binom{2m}{m}}\\
&=1-\exp\，\lim_{m\to\infty}\binom{2m}{m}\log\左（1-p^{2m}\右）\\
&=1-\exp\，\lim_{m\to\infty}\frac{2^{2m}}{sqrt{m\pi}}\log\left（1-p^{2m{right）\\
&=1-\exp\，\lim_{m\to\infty}\frac{4^{m+1}\sqrt{m}\，p^{2m}\log（p）}{\sqrt{pi}\left（1-p^{2m}\right）（m\log（16）-1）}\\
&=1-\exp\，\lim_{m\to\infty}\frac{4\cdot（2p）^{2m}\log（p）}{\log\\
&=1-\exp\开始{cases}
0&\text{for}0\leqp\leq\frac{1}{2}\\
-\infty&\text{for}\frac{1}{2}<p\leq 1\结束{cases}\\&=\开始{cases}0&\text{for}0\leqp\leq\frac{1}{2}\\1&\text{for}\frac{1}{2}<p\leq 1\结束{cases}\结束{对齐}在第四步中，我们使用了渐近逼近对于二项式系数。在第五步中，我们使用L'Hópital的规则综合所有因素，我们对大$n$限额感兴趣的概率上限允许我们得出以下结论

$\显示样式
\lim_{n\to\infty}F（n，p）=0
\quad\text{代表}0\leqp\leq\frac{1}{2}。
$

因此，我们可以分析地回答部分问题：当$p\leq为0.5$时，我们永远无法突破非常大的$n$的极限中的最底部。

仿真结果

要精确地确定$p>0.5$的情况下的兴趣概率需要更多的工作，这里我们转向模拟。我制作的第一个模拟旨在说明$F（n，p）$在$n$增长时的行为。

在这里，我们可以看到，对于$p\leq 0.5$，撞倒最底部销的概率明显趋于零，正如我们预测的那样。此外，对于$p\geq 0.7$，概率似乎趋向于一个恒定值，这与预测一致。中间情况（$p=0.55，0.60，0.65$）不明确，不清楚极限是零还是趋于正常数。注：曲线中的轻微摆动是由于模拟中固有的随机性造成的。每个点是50美元{，}000$模拟的平均值。

我运行的第二个模拟只考虑了极限概率，通过计算$n的大值$F（n，p）$。在这里，我对每个点使用$n=300$和$10{，}000$模拟。在这里，我们可以清楚地看到相变，它发生在$p=0.6$附近。很难准确估计转换发生的位置，因为这与估计$p_c$类似。我们越接近临界概率，我们的典型路径就越长。因此，不清楚哪些路径正在渗透，因为我们没有使用足够大的$n$来查看真正的行为。

根据图，我们可以看到$lim_{n\to\infty}F（n，0.7）大约为0.58$。为了获得更高的精度，我计算了需要运行多少模拟才能获得更高精度。使用贝努利过程的置信区间，我们可以表明，置信度为$\pm0.001$且置信度为$95\%$的误差需要大约$1{，}000{，}000$的模拟。这让我得出了以下稍微更准确的结果。

$\显示样式
\lim_{n\to\infty}F（n，0.7）大约F（300,0.7）约0.5782\pm 0.001。
$