在Riddling短暂休息后，我回来了！这个Riddler问题是关于概率和浴室空置的。
你的办公楼里有一间浴室，里面只有一个厕所。门外贴着一个小标志，你可以从“空房”滑到“有人住”，这样当你在里面的时候，就不会有人尝试门把手了（理论上）。不幸的是，人们通常在进入时忘记将标志滑至“有人居住”，而在离开时往往忘记将其滑至“空置”。
假设1/3的浴室使用者在进出时没有注意到标志。因此，无论标志在他们来访之前读到什么，在他们来访期间和之后它仍然读到同样的内容。另外三分之一的用户在进入时注意到了标志，并确保标志上写着“占用”。然而，他们在退出时忘记将其滑到“空闲”位置。剩下的三分之一的用户非常认真：他们确保进入时标志上写着“有人居住”，然后退出时将其滑到“空置”。最后，假设浴室每天都有一半的时间被占用。
关于这种工作环境的两个问题：
1.如果你去洗手间，看到门上的标志写着“有人住”，那么洗手间实际上有人住的概率是多少？
2.如果标牌上写着“空置”，浴室实际上空置的概率是多少？
额外学分：当认真使用浴室的人的百分比发生变化时会发生什么？
以下是我解决问题的方法：
[显示解决方案]
这个问题可以用以下方法解决贝叶斯法则但您也可以使用马尔可夫链.我喜欢马尔可夫链，所以这就是我们要做的！
第一步是定义什么是状态和转移概率。这是棘手的部分；我们可能会想，因为浴室可以有人，也可以没有人，前面的标志可以是“空闲”或“有人”，所以应该有四种状态（每对可能有一种状态）。
然而，情况并非如此。原因是因为跃迁概率不是相互独立的。考虑一下“浴室有人住，标志上写着有人住”的状态。我们必须区分占用浴室的人是否认真（离开时，他们肯定会将标志滑到“空闲”）（离开后，他们会将标志保留为“占用”）。
因此，我们必须在马尔可夫链中添加其他状态，这些状态对应于浴室的不同占用方式。为了保持一般性，让我们假设健忘用户、健忘用户和尽责用户的比例分别为$p$、$q$和$r$。因此，$0\le p，q，r \le 1$和$p+q+r=1$。马尔可夫链图：
如果$\{x_k\}$表示图中处于状态$k$的概率，则平稳分布满足以下等式：
\[
\开始{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
p&0&0&0&0\\
r&r&0&0&0\\
q&q&0&0&0\\
0&p&0&0&0
\结束{bmatrix}
\开始{bmatrix}
x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6
\结束{bmatrix}
=
\开始{bmatrix}
x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6
\结束{bmatrix}
\]
求解这些方程，我们得到：
\开始{align}
x1&=\压裂{r}{2（q+r）}，&x2&=\裂缝{q}{2\\
x_4&=\frac｛r｝｛2｝，&x_5&=\frac｛q｝｛2｝，&x_6&=\frac｛pq｝｛2（q+r）｝
\结束{对齐}
我们现在可以计算我们追求的概率：
\开始{align}
\mathbb{P}（\text{Vacant}\mid\text{says“Vacant”}）
&=\压裂{x_1}{x_1+x_3}=\压裂}{1}{1+p}\\
\mathbb{P}（\text{Occupled}\mid\text{says“Occupted”}）
&=\压裂{x4+x5+x6}{x2+x4+X5+x6}=\压裂}r+q-pr}{r+2q-pr{
\结束{对齐}
当$p=q=r=\frac{1}{3}$（认真、健忘和遗忘用户的等分）时，我们得到：
\开始{align}
\mathbb{P}（V\mid V）&=\frac{3}{4}&
\mathbb{P}（O\mid-O）&=\frac{5}{8}
\结束{对齐}
奖励：不同的概率
我们有上面关于$p，q，r$函数的解析表达式……所以现在仍然需要以某种方式可视化它。一种可能是将其中两个设置为相等，然后进行绘图。例如，如果我们只改变尽责用户的百分比（$r$），并将其他两个设置为相等，即$p=q=\frac{1-r}{2}$。然后我们得到：
\开始{align}
\mathbb{P}（V\mid V）&=\frac{2}{3-r}&
\mathbb{P}（O\mid O）&=\frac{r^2+1}{r^2-r+2}
\结束{对齐}我们还可以将这些概率绘制为$r$的函数：
如果我们想看看一次改变$p、q、r$的百分比时会发生什么，可以使用三元密度图在这里，我们将值绘制成三角形；每种类型的浴室使用者的比例由三角形对边的高度长度决定，颜色表示概率。以下是情节：
您可以通过查看刻度线来读出适当的百分比。例如，左下角表示每个人都很认真，三角形的底部（水平）边表示没有人会被遗忘，当你从左向右移动时，你会增加健忘用户的比例，同时减少认真用户的比例。三角形的中心对应于$p=q=r=\tfrac{1}{3}$，依此类推。
还有一条评论：你会注意到三角形顶部的点（100%被遗忘的用户）丢失了。这是因为这个概率没有意义。当所有用户都不注意时，标志将永远不会改变。因此，如果它从“空闲”开始，它将永远保持在“空闲”状态。
