你的愿望实现了，你可以在温布尔登决赛中与罗杰·费德勒（Roger Federer）的巅峰时期进行网球比赛。 你只有1%的机会赢得每一分，但罗杰，他是一位体育绅士，他提议让你说出任何分数，然后在那一点开始比赛。 （所以，如果你曾幻想在第五盘落后三个赛点后能猛冲回来，那么现在是时候了。）你能说出哪一分是你获胜的最佳机会，你赢得冠军的机会有多大？
A类 比赛 是第一个赢得三盘比赛的选手赢得的。 因此，最多将进行五盘比赛。 前四组为普通组，而第五组（如有必要）为 优势集 . 安 普通集合 由第一个（i）赢得六场普通比赛和（ii）领先两场比赛的选手获胜。 如果比分达到6-6 抢七比赛 比赛结束后，比赛的获胜者将赢得比赛。 安 优势集 就像一盘普通的比赛，但没有抢七。 所需的游戏数量没有限制。 安 普通游戏 第一名球员获胜，（i）赢得四分，（ii）领先两分。 所需点数没有限制。 A类 抢七比赛 第一名球员获胜，（i）赢得7分，（ii）领先2分。 所需点数没有限制。
公平的理由
每场普通比赛都以4分获胜，以2分获胜，如果我们以3-3战平，那么我们就平局了。 所以我赢得比赛的概率是： \[ g=f_4（p，x_d（p）） \] 每场抢七局都以7分取胜，以2分取胜。如果我们以6-6平，那么我们就平局了。 所以我赢得决胜局的概率是： \[ \巴g=f_7（p，xd（p）） \] 每盘普通赛赢6场，赢2场，如果我们5-5平，我们还要再打两场比赛。 我可以赢得两场加时赛，或者赢得两场比赛中的一场，然后赢得决胜局。 因此，如果我们以5-5平局，我获胜的机会是$g^2+2g（1-g）\bar g$。 所以我赢得一盘普通比赛的总机会是： \[ s=f_6（g，g^2+2g（1-g）\bar g） \] 每场优势赛赢6场，赢2场，如果我们6-6平，那么我们就平局了。 所以我赢得优势集的概率是： \[ \巴s=f6（g，xd（g）） \] 这场比赛以3盘获胜，2盘获胜，如果我们以2-2平局，那么我们将打一盘优势赛。 所以我赢得比赛的概率是： \[ M=f_3（s，\bar s） \] 虽然可以实际计算这些量，但结果相当混乱。 对于感兴趣的人来说，$M（p）$是一个有理函数，其分子的阶数是465，分母的阶数为136。 讨厌！ 所以我不会把它写出来……但下面是函数作为图的样子： 
我没有在情节中包括优势集，因为它们的分布与普通集几乎相同。 正如所料，这幅画是完全对称的； 如果我们有50%的机会赢得每一分，那么我们就有50%的几率赢得每场比赛、每盘比赛和整场比赛。 形状也很有意义； 如果我们比对手差，那么赢得一场比赛、一盘比赛或一场比赛的可能性就越来越小。 以下是感兴趣的人的确切数字： P（赢点） P（赢得比赛） P（赢局） P（赢得比赛） 49% 47.5% 42.9% 36.8% 45% 37.7% 18.5% 4.61% 40% 26.4% 3.65% 0.04% 1% 1.50×10 -7个 2.35×10 -39 1.30×10 -115 因此，如果你赢得一分的几率是1%，那么你击败费德勒的几率与你连续14次赢得巨额头奖的几率大致相同。 不好的。 不公正的案件 如前所述，我们希望在比赛中以2-0领先。 第三盘将以6-6平局，我们将在决胜局中以6-0领先。 在这种情况下，为了找到获胜的机会，我们将计算失败的机会，因为代数更简单。 我们需要计算： \开始{align} &\mathbb{P}（\text{lose match}）\\ &=\mathbb{P}（\text{lose tiebreak up 6-0}）\times\mathbb{P}（\text}lose match up 2-1}）\\ &=\mathbb{P}\\ &=（1-p）^6（1-x_d（p））（1-s）（1-\bar s） \结束{对齐} 再一次，我们可以用代数方法计算这个量，结果是一团乱……这是一个有理函数$p$，其分子的度数是182，分母的度数为60。 但有一个诀窍：我们可以近似$s\approx\bars\approx 0$，即如果我们没有赢得第一个抢七，我们就放弃，我们得到了一个更简单的公式： $\显示样式 \mathbb{P}（\text{win-match}）大约1\，-\，\frac{（1-P）^8}{1-2p+2p^2} $ 为了验证此近似值是否良好，我在同一轴上绘制了真函数和近似值： 
下图显示了曲线之间的差异（按对数比例）： 
因此，如果我们有问题中指定的$p=0.01$，近似值将正确到36位小数！ 最终的数值结果是： $\显示样式 \mathbb{P}（\text{win-match}）=5.86159\% $ 因此，我们最初的5.9%的近似值并不遥远。
