Hoop hop决战

注：问题中的措辞在一些细节方面有点模棱两可。例如，运动员是从外侧开始，然后在开始时跳入第一个篮圈，还是从内侧开始？比赛是在最后一圈获胜时结束，还是在一秒钟后跳出时结束？我做出了我认为合理的假设来阐述这个问题。虽然问题细节上的微小变化可能会改变最终答案，但仍应采用相同的一般解决方法。

有$N$个篮球，但有$k=1,2，\点，2N-1$种可能的方式，两个孩子可以停下来进行摇滚剪纸（RPS）比赛。这是因为这两个孩子可以在同一个篮筐或相邻的篮筐中落地。下面是$N=3$的图表，显示了所有可能的对：

下面是一个简单场景中游戏的示例：

1. 比赛开始时，两个孩子都不在球场上。2秒钟后，我们以$k=3$的情况结束。
2. 假设蓝色赢了。然后一秒钟后，我们得到$k=5$。
3. 假设橙色获胜。然后一秒钟后，我们得到$k=2$。
4. 假设橙色获胜。然后一秒钟后，我们得到了$k=1$。
5. 假设橙色获胜。然后游戏结束。

让我们将此过程推广到任意数量的环。如果我们当前处于$k$状态，我们将调用$f（k）$等待游戏结束的预期秒数。如果我们处于$k$状态，以下是选项：

1. 如果橙色赢得RPS，下一场决战将在$\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor$秒后的$\left \lfloor \frac}{k+2}{4}\right \rfloor$状态下进行，除非$k=1$，在这种情况下游戏结束。
2. 如果蓝色赢得RPS，下一场决战将在$\left\lfloor\frac{2N+k+1}{2}\right\rfloor$秒后的状态$\left \lfloor \frac{2N-k+2}{4}\right \rfloor$进行，除非$k=2N-1$，在这种情况下游戏结束。

请注意，我们使用的符号是$\left\lfloor x\right\rfloor$，它是楼层功能（将$x$四舍五入到最接近的整数）。我们还必须计算RPS游戏的平均持续时间。我们把这个叫做$r$。有九场可能的比赛，其中三分之一以平局告终（所以我们必须再打一场）。所以游戏持续时间满足：$r=1+\frac{1}{3} 对$. 换句话说，我们有$r=\frac{3}{2}$。综上所述，函数$f（k）$满足：
\开始{multline}
f（k）=\frac｛3｝｛2｝+\frac｛1｝｛2｝\left（\left\lfloor\frac｛k+2｝｛4｝\right\lfloor+f\biggl（\left\lfloor\frac｛k｝｛2｝\right\lfloor\biggr）\right）\\
+\frac{1}{2}\left（\left\lfloor\frac{2N-k+2}{4}\right\rfloor+f\biggl（\left \lfloor \frac{2 N+k+1}{2}\right \rfloor right）\biggr）
\结束｛multline｝与边界条件$f（0）=f（2N）=0$。这些实际上是变量$f（k）$中的线性方程，其中$k=0,1，\点，2N$。最终，我们想知道游戏的平均持续时间。第一场决战总是在$N$状态下进行，之前是$\left\lfloor\frac{N+1}{2}\right\rfloor$hops。因此，我们最终希望找到：
\[
T_\text{avg}=\left\lfloor\frac{N+1}{2}\right\rfloor+f（N）
\]下面是在$N=3$的情况下如何解决问题。与不同$f（k）$相关的方程式可以以矩阵-矢量形式写出：
\[
\开始{bmatrix}
1&0&0&-\tfrac{1}{2}&0\\
-\tfrac{1}{2}&1&0&-\tfrac{1}{2}&0\\
-\tfrac{1}{2}&0&1&0&-\tfrac{1}{2}\\
0&-\tfrac{1}{2}&0&1&-\tfac{1{2}\\
0&-\tfrac{1}{2}&0&0&1
\结束{bmatrix}
\开始{bmatrix}
f（1）\（2）\（3）\（4）\（5）
\结束{bmatrix}
=\开始{bmatrix}
2\\tfrac{5}{2}\\tfrac{5}{2}
\结束{bmatrix}
\]解这些方程得到$f（3）=11.5$，因此$T_text{avg}=13.5\text{sec}$。当我们添加更多的环（增加$N$）时，过程是类似的，我们可以编写代码来快速求解这些方程，以获得广泛的$N$值……但我们可以做得更好！

注意，我们实际上并不关心$f（k）$的其他值。我们只需要知道中间的一个，$f（N）=f（3）$。还要注意，除了中间的列外，矩阵的所有列总和都为零……因此，如果我们对所有列求和（相当于将所有方程求和在一起），我们可以得到：
\[
f（3）=2+\tfrac{5}{2}+\tfrac{5}{2}+\tfrac}5}{2}+2=11.5
\]这与我们通过求解整个系统得到的答案相同！事实上，这种模式对所有$N$都适用。我们的矩阵将始终具有维度$（2N-1）\次（2N-1）$，除中间的列外，所有列的总和都将为零！因此，一般来说，我们可以将$N$hoops的解决方案写成：
\开始{align}
T_\text{avg}&=\left\lfloor\frac{N+1}{2}\right\rfloor+f（N）\\
&=\left\lfloor\frac{N+1}{2}\right\rfloor+\sum_{k=1}^{2N-1}\left（\frac}3}{2{+\frac{1}{2neneneep \left\floor\frac{k+2}{4}\right \rfloor+\frac 1}{2}\left\ lfloor\ frac{2N-k+2}{4}\right\floorororoor\frac）\\
&=\frac{3}{2}（2N-1）+\left\lfloor\frac{N+1}{2{right\rfloor+\sum_{k=1}^{2N-1}\left\\
&=\frac{3}{2}（2N-1）+\sum_{k=1}^{2N}\left\lfloor\fracc{k+2}{4}\right\rfloor\\
&=\frac{3}{2}（2N-1）+\sum_{m=1}^{N}\left（\left\lfloor\frac{2m+1}{4}\right\rfloor+\left\floor\frac{2m+2}{4{right\floor\right）\\
&=\压裂{3}{2}（2N-1）+\sum_{m=1}^{N}m\\
&=\frac｛3｝｛2｝（2N-1）+\frac｛1｝{2} N个（N+1）\\
&=\压裂｛1｝｛2｝（N^2+7N-3）
\结束{align}最后第三步中的简化是让$m=2q+r$，其中$r位于\{0,1\}$中。然后我们可以写道：
\开始{align}
\左\lfloor\frac{2m+1}{4}\right\rfloor+left\lfloor \frac{2m+2}{4{right\floor
&=\left\lfloor\frac{4q+2r+1}{4}\right\rfloor+\left\floor\frac{4q+2r+2}{4{right\floor\\
&=2q+\left\lfloor\frac{2r+1}{4}\right\rfloor+\left \lfloor \frac{2r+2}{4{right\floor\\
&=2q+r\\
&=米
\结束｛align｝

Hoop hop决战游戏的平均持续时间（秒）由以下公式给出：

$\显示样式
T_\text{avg}=\压裂{1}{2}（N^2+7N-3）
$

这里有一个图，显示了比赛的预期持续时间与篮球数量的关系。

因此，我们需要大约57个篮球，以确保一场篮球比赛的平均持续时间为30分钟。