邪恶的双胞胎

让我们把灯柱放在笛卡尔平面的原点。我们从$（-1，-1）$开始，向$（1，-1）美元迈进。这里，我们使用的单位是100英尺。这个问题并没有说明我们的速度，只是我们一直在前进。假设我们的位置由$（q（t），-1）$给出，其中$-1\leq q（t。

让我们假设我们邪恶的双胞胎在极坐标系中的位置是$（r（t），\theta（t））$。我们被告知这对邪恶的双胞胎总是被灯柱挡住。这意味着我们与灯柱的角度必须与邪恶孪生兄弟的角度相匹配。换句话说，
$$
\cot（θ）=-q。
$$接下来，我们的邪恶双胞胎比我们快$k$倍。由于极坐标中位置的增量由$（\mathrm）给出{d} 第页，r，\mathrm{d}\theta）$，我们得出结论：
$$
\点{r}^2+r^2\dot\theta^2=k^2\点q^2，
$$，其中点表示相对于$t$的导数。在上面的两个方程中，$q、r、θ$是时间$t$的函数，但我省略了$（t）$以使方程看起来更整洁。将$q=-\cot（\theta）$代入第二个方程，我们得到：
$$
\点r^2+r^2\dot\theta^2=k^2\csc^4（\theta）\dot\theta ^2。
$$我们还有一个$\theta$从$\frac{\pi}{4}$开始，其中$r（\frac{\pi{4}）=\sqrt{2}$，这是邪恶双胞胎开始的点$（1,1）$，我们继续到$\theta=\frac{3\pi}}{4{$。简化节点通过求解$\frac{\mathrm{d} 第页}{\mathrm{d}\theta}$，我们得到：

$\显示样式
\左（\frac{\mathrm{d} 第页}{\mathrm{d}\theta}\right）^2=k^2\csc^4（\theta）-r^2，\quad\text{with}\theta \in\left[\tfrac{\pi}{4}，\tfrac}3\pi}{4}\right]，\quadr（\tfrac\\pi}{4]）=\sqrt{2}。
$

这个ODE拥有我们计算邪恶孪生兄弟轨迹所需的一切。注意，ODE实际上并不取决于我们移动的速度（我们已经完全消除了$p（t）$和$t$）。然而，解决这个问题并不是那么简单。有两种情况需要考虑：

• 如果$k^2\csc^4（\theta）<r^2$，则方程式右侧为负，因此没有解！当邪恶的孪生兄弟离灯柱太远时，他们就无法躲藏起来，因为他们移动速度不够快。
• 如果$k^2\csc^4（\theta）>r^2$，则$\frac{\mathrm有两个可能的值{d} 第页}{\mathrm{d}\theta}$，对应于选择正平方根或负平方根。一般来说，我们不必只选择其中一个；我们可以为每个$\theta$做出不同的选择，这将产生无限多的可能轨迹。

由于我们的目标是以尽可能大的$r$（距离灯柱的最大距离）结束比赛，有人可能会怀疑我们每次都应该选择正平方根，以便$\frac{\mathrm{d} 第页}{\mathrm{d}\theta}>0$。然而，这种贪婪的方法失败了，因为这对邪恶的双胞胎过快地离开灯柱，最终陷入困境，无法躲在灯柱后面。

据我所知，ODE没有封闭形式的解决方案，所以我选择了数字/图形方法。我们可以绘制ODE的斜率场，并获得以下解：

我们从$（1,1）$开始，在空间中的每个位置，我们都可以遵循蓝色箭头或橙色箭头（正负平方根），一旦到达终点线$y=-x$，我们就会停止。贪婪的解决方案（始终选取正平方根）导致了一个死胡同，因为邪恶的孪生兄弟撞到了不可行的边界（蓝色和橙色箭头重合的地方），并且不再被灯柱遮挡。对于$x\lt 0$，沿着线$y=2$，蓝色的线是水平的，橙色的线是向下的。因此，不可能跨越这一边界。因此，$（-2,2）$是终点线上距离灯柱最远的点，我们可以通过贪婪直到达到$y=0$，然后水平移动直到到达终点线来实现。

我们得出的结论是，以问题的原始单位计算，最远距离为$2\sqrt｛2｝$，约为282.84英尺。

概括

如果我们改变$k$（邪恶的孪生兄弟速度有多快）会发生什么？

• 当$k<1$时，没有解决方案；邪恶的孪生兄弟可以躲一段时间，但最终他们会被揭穿，因为他们根本没有足够的速度保持隐藏。
• 当$k=1$时，最优解是邪恶双胞胎完美镜像，即水平移动并在点$（-1，1）$结束。虽然一开始可能离灯柱更远，但这会导致一个死胡同。
• 当$1 k\lessaprox 4.4$时，该解与上面导出的$k=2$的解类似；邪恶的双胞胎应该是贪婪的，直到他们到达线$y=k$，然后他们应该水平移动，直到到达点$（-k，k）$，所以到灯柱的最后距离是$k\sqrt{2}$。
• 当$k\gtraprox 4.4$时，邪恶的孪生兄弟速度足够快，贪婪的一生都会得到回报。然而，在这种情况下，流场无论如何都会变平，我们仍然会在相同的$（-k，k）$最佳点处结束，最终距离为$k\sqrt{2}$。

这是一个显示最小、次临界、临界和超临界的数据。