本周的小提琴手是一个关于掷骰子游戏的概率问题。
两个人一起坐在桌子旁，每个人都拿着自己的一袋六个“DnD骰子”：一个d4，一个d6，一个d8，一个d10，一个D22和一个d20。这里，“dX”指的是具有X个面的模具，编号从1到X，每个面被轧制的可能性相等。两人从各自的袋子里随机挑选一个骰子，然后同时滚动。例如，假设选择的两个骰子是d4和d12。球员们掷骰子，我们进一步假设两个骰子都是3。真幸运！发生这种事情的概率是多少？也就是说，无论他们是否碰巧选择了相同的骰子，两个玩家掷相同数字的概率是多少？
额外学分
现在假设有三个人，而不是两个人坐在桌子旁。再次，三个人从各自的袋子里随机挑选一个骰子，并同时掷骰子。例如，假设选择的三个骰子是d4、d20和d12。玩家将其滚动，我们进一步假设d4显示为4，d20显示为13，d12显示为4。在这种情况下，三个辊之间有两个不同的数字（4和13）。平均而言，你预计在这三卷中会看到多少不同的数字？
我的解决方案：
[显示解决方案]
每个人执行两个动作：随机选择一个骰子，然后滚动该骰子。用概率的语言来说采样空间（所有可能发生的事情的集合）是$（n，d）$，其中$d$是选定的骰子，$n$是滚动的数字。选择模具$d$并滚动$n$的概率如下所示：
\[
p{n，d}=\frac{1}{6}\times\begin{cases}
\压裂{1}{d}&\text{if}1\leqn\leqd\\
0&\text{否则}
\结束{cases}
\]$\frac{1}{6}$来自于这样一个事实，即有六个不同的骰子，每个骰子被选择的可能性相等。在表格中排列这些概率，我们得到：
\[
p_｛n，d｝=\frac｛1｝｛6｝\ begin｛bmatrix｝
\压裂{1}{4}&\压裂{1{6}&\裂缝{1}}{8}&\地层{1}{10}&\裂缝}1}{12}&\地震{1}[20}\\
\压裂{1}{4}&\压裂{1{6}&\裂缝{1}}{8}&\地层{1}{10}&\裂缝}1}{12}&\地震{1}[20}\\
\压裂{1}{4}&\压裂{1{6}&\裂缝{1}}{8}&\地层{1}{10}&\裂缝}1}{12}&\地震{1}[20}\\
\压裂{1}{4}&\压裂{1{6}&\裂缝{1}}{8}&\地层{1}{10}&\裂缝}1}{12}&\地震{1}[20}\\
0&\frac{1}{6}&\frac{1}}{8}&\frac{1{10}&\frac{1}{12}&\frac{1{20}\\
0&\frac{1}{6}&\frac{1}}{8}&\frac{1{10}&\frac{1}{12}&\frac{1{20}\\
0&0&\压裂{1}{8}&\压裂}1}{10}&\裂缝{1}}{12}&\地层{1}{20}\\
0&0&\压裂{1}{8}&\压裂}1}{10}&\裂缝{1}}{12}&\地层{1}{20}\\
0&0&0&\压裂{1}{10}&\压裂}1}{12}&\压裂{1{20}\\
0&0&0&\压裂{1}{10}&\压裂{1'{12}&\裂缝{1}}{20}\\
0&0&0&0&\压裂{1}{12}&\压裂}{20}\\
0&0&0&0&\压裂{1}{12}&\压裂}{20}\\
0&0&0&0&0\\frac{1}{20}\\
0&0&0&0&0\\frac{1}{20}\\
0&0&0&0&0&\frac｛1｝｛20｝\\
0&0&0&0&0\\frac{1}{20}\\
0&0&0&0&0\\frac{1}{20}\\
0&0&0&0&0\\frac{1}{20}\\
0&0&0&0&0\\frac{1}{20}\\
0&0&0&0&0\\frac{1}{20}
\结束{bmatrix}
\quad\implies\quad p_n=\begin{bmatrix}
\压裂{31}{240}\\frac{31}}{240{31}\\
\压裂{7}{80}\\frac{7}}{80{43}{720}\\frac{43}{720}\\
\压裂｛7｝｛180｝\\
\压裂{1}{45}\\压裂{1{45}\\
\压裂{1}{120}\\frac{1}{120}\\frac}1}{120}\\frac{1}}{120
\结束{bmatrix}
\]在左边的矩阵中，每列对应不同的模具，每行对应不同的数字。此表中的所有数字总和为1（这是一个联合分配). 右边的列向量是跨行求和得到的结果。这些数字之和再次为1，形成所谓的边际分布。这是骰子掷骰的概率分布，与选择的骰子无关。随机选择一个骰子，然后滚动它，与滚动单个骰子相同加权20面模具，其重量由上述边际分布给出。我们可以将这种分布绘制为图表，得到以下结果：
从现在开始，我将写$p_n$来表示滚动数字$n$的（边际）概率。
第一个问题
第一个问题要求两个玩家掷相同数字的概率（无论他们选择哪一个骰子）。两名玩家掷$n$的概率为$p_n^2$。因此，它们滚动相同数字的概率为
\[
\总和{n=1}^{20}pn^2=\压裂{3}{32}=0.09375
\]因此，两名球员投出相同数字的概率约为9%。
额外的学分
我们现在有3名球员，要求我们找出预期的不同投掷次数。我们可以依次计算每种情况的概率。
- 获得一个不同数字的概率（三个玩家都掷相同的数字）与两个玩家掷相同数字的情况类似，只是现在是$p_n^3$。因此，
\[
q_1=\sum{n=1}^{20} p_n号^3=\压裂{32753}{3110400}\约0.01053
\]
- 获得两个不同数字的概率要复杂一些。我们必须计算有多少种方法可以选择两个数字相同的玩家$n$，即$\binom{3}{2} p_n号^2$，然后第三个玩家可以拥有任何剩余的数字，因此我们乘以$（1-pn）$。因此，
\[
q_2=\sum_{n=1}^{20}\binom{3}{2} p_n号^2（1-pn）=压裂{258847}{1036800}约0.24966
\]
- 最后，获得三个不同数字的概率是排除上述前两种情况后的剩余概率：
\[
q_3=1-q_1-q_2=\压裂{1150553}{1555200}\约0.73981
\]
我们可以通过将上述每个概率乘以不同转鼓数，并将其相加，来计算不同转鼓的预期数量：
\开始{align}
\mathbb｛E｝（\text｛不同的数字｝）
&=q_1+2q_2+3q_3
=\压裂{8489153}{3110400}
\约2.72928
\结束｛align｝
因此，我们预计在三个骰子中平均会看到2.729个不同的数字。