沙漠逃亡

首先，考虑一个更简单的问题，所有旅行者都从绿洲的同一侧出发。这是一张可能看起来像什么的图表。

如果从左到右的角度从最小到最大排列，路径将不会精确交叉。例如，在上图中，路径不会交叉，因为$\theta_1\t\theta_2\ttheta_3$。一旦你固定了角度，只有一个$n！$旅行者的可能安排将有正确的顺序。因此，路径不相交的概率为$\frac{1}{n！}$。

现在考虑一下旅行者可以从绿洲两侧出发的情况。假设$k$旅行者从顶部出发，$n-k$从底部出发，如下图所示。

由于每个旅行者都有同等的可能性从两边出发，因此发生这种情况的概率是$\frac{1}{2^n}\binom{n}{k}$（这是一个二项分布). 路径不相交的概率是$\frac｛1｝｛k！（n-k）！｝$，因为它是从顶部出发的$k$旅行者不相交和从底部出发的$n-k$旅行者不相交的概率的乘积，并且这两个事件是独立的。为了找到总概率$P_n$，我们对所有可能的$k$求和：
\开始{align}
P_n&=\分形{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}}{k！（n-k）！}\\
&=\frac{1}{2^n\cdot n！}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\fracc{n！}{k！（n-k）！}\\
&=\frac{1}{2^n\cdot n！}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}\\
&=\frac{1}{2^n\cdot n！}\binom{2n}{n}\\
&=\frac{（2n）！}{2^n\cdot（n！）^3}
\结束{align}最后一步是范德蒙德的身份。您可以将其视为计算从一组$2n$对象中拾取$n$对象的方法数。我们可以这样做，假设我们的$2n$对象被分成两组$n$，我们从第一组中选择$k$，从第二组中选择$n-k$，然后对$k$进行求和。如果你对这些二项式恒等式感兴趣，我鼓励你阅读我写的关于这个主题的两篇博文(第1部分和第2部分). 因此，当尘埃落定时，路径不相交的概率为：

$\显示样式
P_n=\frac{（2n）！}{2^n\cdot（n！）^3}
$

此函数随着$n$的增加而迅速减小。为了看到这一点，我们可以将$P_n$绘制为$n$的函数。以下是我们获得的结果：

为了更好地处理$P_n$，我们可以使用斯特林近似到阶乘，$n！\sim\sqrt{2\pin}\left（\frac{n}{e}\right）^n$，它生成
\[
P_n\sim\frac{1}{2\sqrt{2}\，\pi\，e}\左（\frac{2e}{n}\右）^{n+1}
\]这告诉我们$\log（P_n）\sim-n\log几乎是线性的在对数刻度上减少$P_n$。