关于解释的说明
因为这个问题没有解释如何定义“风险”，所以有两种主要的解释方法。
- 我们可以假设激光切割将随机发生，点的“风险”与切割击中它的可能性有关。如果点是一个几何点，并且切割无限薄，则所有点的概率都为零。如果假设点的大小是有限的，那么这个问题是有意义的，但我们仍然需要担心切割是如何分布的例如：
- 我们可以从随机均匀选择切割角度开始，然后在此角度选择有效切割。
- 我们可以随机选择周长上的一个点，然后选择通过该点的有效切割。
- 我们可以在区域内部均匀地随机选取一个点，然后选择一个有效的切入点。
每种方法都会产生不同的答案！这个概念与伯特兰悖论.
- 另一种解释该问题的方法是完全避免概率，并计算可以通过某一点的不同可接受切割数，并将其用作衡量该点“不安全”程度的指标。
我选择解释#2是因为它是一个定义明确的问题，不需要做额外的假设。我还将为每个多边形提供解决方案，因为为什么不能！
偶数个边
让我们从一个简单的案例开始。如果建筑物是一个正方形、六边形或任何其他边数为偶数的多边形，那么通过对称性可以清楚地看出，所有切割都将通过多边形的中心。请参阅下面的插图。
我们都同意大楼中间很不安全，因为所有切割穿过它。同时，建筑中的每个点都有一个可能的切口穿过它。如果我们有无限多的边（圆形建筑），情况也是如此。
边的奇数
如果建筑物是一个边数为奇数的多边形，例如三角形或五边形，那么事情会变得更有趣。事实证明并非所有穿过中心的切口都能将该区域等分。要了解原因，请查看下面的五角大楼，中心位于$P$，短半径$|PA'|=1$。延伸顶部和底部边缘，使其在$O$处相交，如图所示。可以为任意数量的面$n$绘制类似的图形。无论如何，我们将有$\theta=\tfrac{\pi}{n}$。
显然，$AA'$和$BB'$是有效的削减，因为根据对称性，它们将五角大楼的面积一分为二。假设我们想让$XY$也成为一个有效的削减。然后，区域$（OAA'）$必须等于区域$（OYX）$。定义长度$x=|OX|$和$y=|OY|$。那么我们必须：
\[
xy=| OA’| | OA |=\cot（\tfrac｛θ｝｛2｝）\ left（\tfrac｛θ｝｛2｝）+\tan（θ）\ right）=\cot^2（\tfrac｛θ｝｛2｝）\ sec（θ）
\]
如果$P$是原点，则$X$和$Y$的笛卡尔坐标为
\[
X=\开始｛bmatrix｝x\，-\，\cot（\tfrac{\theta}{2}）\\-1\end{bmatrix}
\qquad（平方米）
Y=\开始{矩阵}y\cos（θ）\，-\，\cot（\tfrac{\theta}{2}）\\y\sin（\theta）\，-\，1\end{bmatrix}
\]
当$X$从$A'$滑落到$B'$时，$Y$将从$A$滑落至$B$，从而使产品$xy$保持不变。我们想知道的是直线$XY$在假定所有允许配置时所绘制的曲线形状。一种方法是计算直线$XY$的参数方程。为此，计算向量$X+t（Y–X）$。然后，消除$y$以获得以下点族：
\[
Z（x，t）=\开始{bmatrix}
（1-t）x+\frac{t}{x}\cot^2（\tfrac{theta}{2}）
\]
其中，[0,1]$中的$t\和[\cot（\tfrac{\theta}{2}）中的$x\，\cot。然而，我们并不关心所有这些问题。我们只需要曲线的边界。要找到它，请固定一个坐标并最大化另一个坐标。例如，让$\eta=-1+\frac{t}{x}\cot^2（\tfrac{\theta}{2}）\tan（\theta）$，用$\ta$和$t$求解$x$，将其替换为$Z（x，t）$的第一个组件，以获得仅依赖于$\ta$and$t$的表达式。这将是$t$中的二次方，当$t=\tfrac{1}{2}$时最大化。因此，点轨迹的方程就是$Z（x，\tfrac{1}{2}）$。如果多边形有$n$条边，就会有$n$some个轨迹，每个轨迹旋转$P$一个角度$\frac{2k\pi}{n}$，对于$k=0,1，\dots，n-1$。在下图中，我绘制了案例$n=3,5,7$的结果（单击放大）。
这里是重复的图表，但这次绘制了一些剪切并放大到中间部分（单击放大）。
蓝线是感兴趣区域的边界。在每个区域内，所有点都具有相同数量的有效切割。例如，在三角形情况下：
- 蓝色形状内部的点属于三个不同的切口。
- 蓝色形状边界上的点属于两个不同的切割。
- 蓝色形状外的点都属于精确的一个切割。
在下图中，我将案例$n=5$标记为每个部分的切割数量。
计算面积
奖金问题询问“高风险”点数。在我们的解释中，这将是最里面的蓝色五边形中的点（它不太像五边形，因为它的边稍微弯曲）。中间的每个点都有五个相交的切口。一般来说，如果是$n$边的多边形（当然，$n$必须是奇数），则高风险区域也将（大致）是位于中间的$n$面多边形。
我们可以计算这个形状的面积，但我找不到一种优雅的方法。大致来说，我的方法如下：
- 从每条曲线的参数方程$x（t）$和$y（t）$开始。
- 求解曲线的相邻旋转版本之间的交点（这些是内部圆形多边形的顶点）。
- 将这些交点转换为区间$t\in[t1，t_2]$，该区间允许原始参数方程扫掠内部圆形多边形的一侧。
- 使用面积的叉积公式进行积分以找到内多边形的径向扇区面积：
\[
A=\int_{t1}^{t2}|x'（t）y（t）–x（t）y'（t
\]
- 将扇区的面积乘以$n$，得到内部圆形多边形的总面积。
- 在我们的例子中，除以多边形的总面积（$n\tan（\theta）$）得到面积比。
细节并不特别有趣。感谢Mathematica…面积比的最终结果是：
这似乎不是一种简化的方法。值得一提的是，这个函数很快就归零，调到$\tfrac{1}{256}\theta^6$。下面是它的图形外观。
案例$n=5$的面积比为$0.000333883\dots$，或大约为$\frac{1}{3000}$。
漂亮的图片
祝贺你取得这么大的成绩！这是区域的清晰可视化。我给每个切割厚度和透明度，并使用均匀间隔的角度。第一张照片有大约50个厚切口，而第二张照片有约2000个薄切口。单击要放大的图形。
