圆形难题

标记点$\{1,2，\dots，N\}$。给定周线上的一个点$i$，我们将此点称为a顺时针拆分如果剩余的所有点都位于从点$i$开始的半圆形上，则为顺时针方向。例如，在下图中，点1是不顺时针拆分，因为点4位于从点1开始的半圆之外。我们还可以观察到，点2和点3不是顺时针拆分，但点4是顺时针拆分。

如果所有$N$点都位于同一个半圆上，则其中一个点将顺时针拆分(几乎可以肯定). 同时，如果不存在将所有点都放在同一个半圆上的直径，则任何点都不会顺时针拆分。如下定义随机变量$X_i$。
\[
X_i=\开始{案例}1&\text{Point}i\text{是顺时针拆分}\\0&\text}否则}\end{cases}
\]根据上述观察结果，存在一个直径的概率，即所有点都是新减半圆的一侧（我们称之为概率$P$），如下所示：
\开始{align}
P&=\text{Prob}（\text{其中一个点是顺时针拆分}）\\
&=\text{顺时针拆分的预期总数}\\
&=\mathbb｛E｝\left（\sum_｛i=1｝^N X_i\right）\\
&=\sum_{i=1}^N\mathbb{E}（X_i）
\结束{对齐}依据对称性，$\mathbb{E}（X_i）$对于每个$i$都是相同的，它等于$\frac{1}{2^{N-1}}$，因为一旦我们确定了点$i$，就有$N-1$剩余点，每个点都有$\tfrac{1'{2}$位于圆的正确一半的概率。因此，我们寻求的概率为：

$\显示样式
P=\压裂{N}{2^{N-1}}
$

推导的最后一步依赖于期望的线性。尽管$X_i$不是独立的（远远不是，因为它们中最多有一个可以是$1$），但期望的线性仍然成立，它允许我们对否则将是一个复杂的计算进行简短的工作。

注：有很多方法可以解决这个问题。事实上，德里克评论说以前的Riddler问题与这一点非常相似，一年前，他在评论中提出了两种解决当前问题的不同方法！