抓住蚱蜢

假设梁的长度为$L$，蚱蜢可以跳过最大距离$\frac{M}{2}$。定义$p（x）$为概率密度函数，描述蝗虫在任何给定位置$x\in\left[-\frac{L}{2}，\frac}{2{right]$的可能性。

我们可以通过顺序过程得出$p（x）$。假设在时间$k$，蚱蜢有分布$p_k（x）$。当蝗虫跳跃时，其概率分布变为$p_{k+1}（x）$。我们的目标是找到极限分布$p=\lim_{k\to\infty}p_k$。

在每一步中，蝗虫的密度函数都会卷积成一个与它可能降落的位置相对应的适当均匀分布。我们可以这样写：
\[
p_{k+1}（x）=\int_{-L/2}^{L/2}\Psi（x，y）p_k（y）\，\mathrm{d} 年。
\]这里，对于每个$y$，内核$\Psi（x，y）$是$x$的密度函数，对应于$\max\bigl（-\frac{L}{2}，y-\frac{M}{2{bigr）$和$\min\bigl（\frac{L}}，y+\frac}{M}{2}\bigr，我们得到的公式是：
\[
p_{k+1}（x）=\int_{max\bigl{d} 年}{\min\bigl（\frac{L}{2}，y+\frac{M}{2{bigr）-\max\bigle（-\frac{L}}{2neneneep，y-\frac{M2}\biger）}。
\]糟透了！为了更好地处理这可能是什么样子，我们可以使用给定的问题参数（$L=1$和$M=0.4$），使用米为单位进行模拟。假设$p_0$是均匀分布，递归应用上述公式时，我们得到以下结果：

无论我们用什么作为初始分布，稳态分布都是相同的。这是当我们启动梁左边的蚱蜢时的样子。我必须使用不同的轴缩放以使瞬态行为适合绘图，但极限分布相同：

这些模拟给了我们一个很大的提示：极限分布似乎是分段线性的！由于问题中的对称性，我们已经预计到了对称分布，但现在我们可以假设一个形式的密度函数：
\[
p（x）=\开始{cases}
ax+b&-\压裂{L}{2}\leq x\leq-\左|\压裂{L-M}{2{右|\\
c&-\left|\frac{L-M}{2}\right|<x<\left| \ frac{L-M}{2]\right|\\-ax+b&\左|\压裂{L-M}{2}\右|\leqx\leq\压裂{L}{2{\结束{cases}\]我们有三个未知参数$（a，b，c）$，所以我们需要三个方程。首先，$p$是概率密度，所以$\int_{-L/2}^{L/2}p（x）\，\mathrm{d} x个=1$. 其次，$p$在边界$x=\pm\left|\frac{L-M}{2}\right|$处是连续的。最后，我们必须在原始递归的原始递归中满足$p（x）=p_{k+1}（x）=p_k（x）$。通过求解这些方程，我们发现了三种情况：\[p（x）=\开始{cases}\开始{cases}\压裂{2（L+M+2x）}{M（4L-M）}&-\压裂{L}{2}\leqx\leq\压裂{-L+M}{2{\\\压裂{4}{4L-M}&\压裂{-L+M}{2}<x<\压裂{L-M}{2]\\\压裂{2（L+M-2x）}{M（4L-M）}&\压裂{L-M}{2}\leqx\leq\压裂{L}{2{\结束{案例}&0<M<L\\[3mm]\开始{cases}\压裂{2（L+M+2x）}{M（4L-M）}&-\压裂{L}{2}\leqx\leq\压裂{-M+L}{2}\\\压裂{4L}{M（4L-M）}&\压裂{-M+L}{2}<x<\压裂{M-L}{2]\\\压裂{2（L+M-2x）}{M（4L-M）}&\压裂{M-L}{2}\leqx\leq\压裂{L}{2}\结束{病例}&L<M<2L\\[3mm]\四等分｛1｝｛L｝和2L＜M\结束{cases}\]我们还可以计算这三种情况下最大似然与最小似然的比率。最大可能性出现在中心（$x=0$），而最小可能性出现在边缘（$x=\pm\frac{L}{2}$）。然后我们得到：\[\压裂{p\text{max}}{p\text{min}}=\开始{cases}2和0<M<L \\[1mm]\裂缝{2L}{M}&L<M<2L\\[1mm]1&2L<M\结束{cases}\]所以，令人惊讶的是，最大似然与最小似然的比率是2，这是一个与长度$L$或蚱蜢范围$M$无关的常数，只要$M<L$。特别是，对于问题陈述中给出的设置，似然比为$2$（$L=1$和$M=0.4$）。