这个Riddler经典拼图是关于在棒球上下注：
你是一个赌徒和小熊队球迷。小熊队正在与红袜队进行一场七场系列赛的比赛，先是四场胜利。您的博彩公司同意在任何单个游戏中进行任何平局下注。你能构建一系列的赌注，确保结果是：如果小熊队赢了系列赛，你赢了100美元，如果红袜队赢了，你输了100美元吗？
这里的挑战是，我们不知道该系列何时结束。它可能会以四场比赛的爆发告终，也可能会持续整整七场比赛。我们应该如何构建赌注，以便无论序列长度如何，结果都是相同的？这是我的解决方案：
[显示解决方案]
我们对特定游戏的下注只应取决于系列中的当前分数，因此，如果当前分数为$i$到$j$，则$X_{ij}$是我们在-$M$系列中最佳的下注金额。让我们看看$M=5$的案例，并从中建立我们的直觉：
\[
X=\开始{bmatrix}
X_{00}和X_{01}&X_{02}\\
X_{10}和X_{11}&X_{12}\\
X_{20}和X_{21}&X_{22}
\结束{bmatrix}
\]自从系列赛结束后，一支球队赢了3场比赛，这张表只上升到$\tfrac{M-1}{2}=2$。如果比分是$i$到$j$，那么我们要么赢要么输$X{ij}$美元，这取决于谁赢了这场比赛。但是有很多方法可以达到特定的分数！例如，假设当前得分为2-1。从0-0到2-1有三条路径：
\开始{align}
0 – 0,\, 1 – 0,\, 2 – 0,\, 2 – 1 &; \text{净奖金：}+X_{00}+X_{10} -X_{20} \\
0 – 0,\, 1 – 0,\, 1 – 1,\, 2 – 1 &; \text{净奖金：}+X_｛00｝-X_{10} -X_{11} \\
0 – 0,\, 0 – 1,\, 1 – 1,\, 2 – 1 &; \文本{净赢款：}-X_{00}+X_{01}+X_{11}
\结束{align}我们的每个分数的净奖金对于通往那里的所有路径都必须相同；奖金只能取决于当前分数。这使我们能够写出许多必须成立的方程式。我们将假设$X{ij}=X{ji}$（对称）。因此，只要比分持平，我们迄今为止所有赌注的赢款都必须为零。从右下角开始，如果比分是2-2，那么最后一场比赛决定一切，因此必须值100美元。所以$X_{22}=100$。
如果比分是1-1，那么通往2-2的道路将使我们回到零。此外，通往3-1的路径必须通向100。因此：
\开始{align*}
X（X）_{11} -X_{21} &= 0 \\
X_{11}+X_{21}&=100
\解这些方程得到$X{11}=X{21}=50$。观察$X_{21}=X_{12}=\frac{1}{2} X（X）_{22}$和$X{11}=\frac{1}{2}（X{12}+X{21}）$。有趣！
如果分数为0-0，我们可以查看必须相等的路径对。例如，我们有：
\开始{align*}
X（X）_{00}-X_{10} &= 0 \\
X（X）_{10} -X_{20} &=-X_{10}+X_{11}\\
X_｛00｝+X_｛10｝+X_｛20｝&=100
\end{align*}重新排列方程，我们得到：
\开始{align*}
X_{00}&=\tfrac{1}{2}（X_{10}+X_{01}）\\
X{10}&=\tfrac{1}{2}（X{20}+X{11}）\\
X_{20}&=\tfrac{1}{2} X（X）_{21}
\end{align*}此模式继续，因此表中的每个条目都是右边条目和下面条目的平均值！
\[
X_{ij}=\开始{cases}
100&\text｛if｝i=j=\tfrac｛M-1｝｛2｝\\
\tfrac{1}{2} X（X）_{i+1，j}&\text{如果只有}j=\tfrac{M-1}{2}\\
\tfrac{1}{2} X（X）_｛i，j+1｝&\text｛if only｝i=\tfrac｛M-1｝｛2｝\\
\tfrac{1}{2}（X_{i，j+1}+X_{i+1，j}）&\text{otheric}
\结束{cases}
\]此递归非常类似于帕斯卡三角，除了它从右下角开始，我们是求平均值而不是求和。我们可以这样从头开始构建解决方案：从右下角开始的普通Pascal三角开始，例如在$M=7$的情况下，我们有：
\[
\开始{bmatrix}
\颜色{绿色}{20}&\颜色{棕色}{10}&\色彩{橙色}{4}&\彩色{红色}{1}\\
\颜色{棕色}{10}&\颜色{橙色}{6}&\色彩{红色}{3}&\彩色{紫色}{1}\\
\颜色{橙色}{4}&\红色}{3}&\紫色}{2}&\蓝色}{1}\\
\颜色{红色}{1}&\颜色{紫色}{1{&\颜色}蓝色}{1*1
\结束{bmatrix}
\]然后，从右下角开始看彩色对角线。将其除以两个幂：$1$、$\frac12$、$\frac14$、$\ frac18$，依此类推：
\[
\开始{bmatrix}
\压裂{20}{64}&\压裂{10}{32}&\裂缝{4}{16}&\地层{1}{8}\\
\压裂{10}{32}&\压裂{6}{16}&\裂缝{3}{8}&\地层{1}{4}\\
\压裂{4}{16}&\压裂{3}{8}&\裂缝{2}{4}&\地层{1}{2}\\
\压裂{1}{8}&\压裂{1{4}&\裂缝{1}{2}&\地层{1}}
\结束{bmatrix}
\]最后，将整个矩阵乘以100，结果为：
\[
\开始{bmatrix}
31.25 & 31.25 & 25 & 12.5 \\
31.25 & 37.5 & 37.5 & 25 \\
25 & 37.5 & 50 & 50 \\
12.5 & 25 & 50 & 100
\结束{bmatrix}
\]因此，例如，如果在这场七人制系列赛中比分是2比1，我们应该在下一场比赛中下注37.50美元。由于这个矩阵的条目是帕斯卡三角中条目的简单缩放版本，可以用二项式系数表示，我们可以很容易地得出一个通用公式，告诉我们应该下注多少。
如果在-$M$三胜制系列赛中得分为$x$到$y$，我们应该在下一场比赛中下注（以美元计），公式如下：
$\显示样式
\裂缝{100}{2^{M-1-x-y}}{M-1-x-y\选择\tfrac{M-1}{2} -x个 }
$
大致来说，随着系列赛的临近结束，你应该下更多的赌注，当比分接近时，你也应该下更多赌注。这是一个趋势的可视化：一个图表，显示了你应该在一个最好的41局系列中每场比赛下多少赌注（首先赢得21场比赛）。
