用未来知识赌足球

确定我们感兴趣的数量：
\[
a{n，m}=\left\{begin{array}{l}
\text{假设有最大保证奖金}\\
\文本{还有$n$场比赛，我们知道我们的球队}\\
\text{将赢得其中$m$，我们从\$1.}开始
\结束{数组}\right\}
\]同时，让$k_{n，m}$成为我们应该下注的钱的一部分，以获得最大保证赢款。我们使用负赌注表示我们在赌另一支球队会赢。举例来说，如果我们目前有$x$美元，我们可以下注任何分数$-1\leqk\leq1$，可能的情况如下：

• 如果我们队赢了，我们将获得$k x$，所以我们现在有$（1+k）x$。
• 如果我们队输了，我们将损失$k x$，所以我们现在有$（1-k）x$。

由于问题的同质性，如果我们从$x$美元开始，那么我们的奖金将只有$x\cdota{n，m}$。

让我们从看一些边缘案例开始。

• 如果$m=0$和$n=0$，我们有一个小例子，季节结束了，所以我们可以说$a{0,0}=1$。换句话说，我们保留所有的钱。
• 如果$m=n$，我们确信我们的球队将赢得剩下的所有比赛。因此，我们可以把所有的钱都押在他们身上：$k{n，n}=1$和$a{n，n}=2a{n-1，n-1}$（我们的钱会加倍）。
• 如果$m=0$，我们肯定会输掉剩下的所有比赛。因此，我们可以放心地将所有资金下注反对它们是：$k{n，0}=-1$和$a{n，0}=2a{n-1,0}$。

一般情况下是0美元，我们必须仔细考虑。如果我们下注$k_{n，m}$，两种可能的结果是：

• 如果我们队赢了，我们现在有$a{n，m}=（1+k{n，m}）a{n-1，m-1}$。这是因为赢了之后，只剩下m-1美元的赢款。
• 如果我们队输了，我们现在有$a{n，m}=（1-k{n，m}）a{n-1，m}$。这是因为在输掉比赛后，我们还必须再赢上亿美元。

我们应该选择$k_{n，m}$最大化最低奖金因为我们正在考虑最坏的情况。换句话说，我们希望：
\[
a_｛n，m｝=\ max_k\，\ min\ bigl\｛（1+k）a_｛n-1，m-1｝，（1-k）a_｛n-1，m｝\ bigr｝
\]作为$k$的函数，这是两个线性函数；一个为正斜率，一个为负斜率。当直线交叉时，即当$（1+k）a{n-1，m-1}=（1-k）a}n-1，m}$时，出现最佳$k$。通过求解该方程，我们得到：
\开始{align}
k{n，m}&=\压裂{a_{n-1，m}-a_{n-1，m-1}}{a{n-1&
a{n，m}&=frac{2a{n-1，m}
\结束{align}组合我们对$a{n，m}$的递归，以及前面导出的边界情况：
\开始{align}
a{0,0}&=1\\
a{n，0}&=2a{n-1,0}&&\text{表示}n=1,2，\点\\
a{n，n}&=2a{n-1，n-1}&&\text{表示}n=1,2，\点\\
a{n，m}&=frac{2a{n-1，m}\cdota{n-l，m-1}}{a{n-1.，m}+a{n-1,m-1}{&\text{for}0\ltm\ltn
\结束{align}那里是一个巧妙的技巧，我们可以用来解决这个递归。用…来表达一切反向最低奖金。然后方程变成线性的！
\开始{align}
a{0,0}^{-1}&=1\\
a{n，0}^{-1}&=\frac{1}{2}a{n-1,0}^}-1}&&\text{表示}n=1,2，\dots\\
a{n，n}^{-1}&=\frac{1}{2}a{n-1，n-1}^{-1}&&\text{表示}n=1,2，\dots\\
a_｛n，m｝^｛-1｝&＝\frac｛1｝｛2｝\left（a_｛n-1，m｝^｛-1｝+a_｛n-1，m-1｝^｛-1｝\right）&&\text｛for｝0\lt m\lt n
\结束{align}求解对于前几个术语，并将其排列在每行具有不同$n$值的金字塔中，我们得到：
\开始{聚集}
a{0,0}^{-1}=\压裂{1}{2^0}\\[2mm]
a{1,0}^{-1}=\压裂{1}{2^1}\qquad a{1,1}^{-1}=\裂缝{1}{2^1}\\[2mm]
a{2,0}^{-1}=\frac{1}{2^2}\qquad a{2,1}^{-1}=\frac{2}{2,2}\q quad a_{2,2}^{-1-}=\frac{1}{2^2}\\[2mm]
a_｛3,0｝^｛-1｝=\frac｛1｝｛2^3｝\qquad a_｛3,1｝^｛-1｝=\frac｛3｝｛2^3｝\qquad a_｛3,2｝^｛-1｝=\frac｛3｝｛2^3｝\qquad a_｛3,3｝^｛-1｝=\frac｛1｝｛2^3｝\[2mm]
a{4,0}^{-1}=\frac{1}{2^4}\qquad a{4,1}^{-1-}=\frac{4}{2,4}\quad a_{4,2}^{-1}=\ frac{6}{2|4}\quid a_{3}^{-1}=\ frac{4]{2^4]
\结束{聚集}每行中的分母是2的递增幂，分子是上面两个分子的和！换句话说，它是一个缩放的帕斯卡三角形! 这使我们得出以下公式：
\[
a{n，m}^{-1}=\frac{1}{2^{n}}\binom{n}{m}，\quad\text{或：}\quad
a{n，m}=\frac{2^{n}}{\binom{n}{m}}
\]我们的最佳政策应该是什么？我们可以使用前面导出的$k_{n，m}$的公式，并用我们刚刚找到的$a_{n，m}$的公式代替：
\开始{align}
k{n，m}&=\压裂{a_{n-1，m}-a_{n-1，m-1}}{a{n-1
=\压裂{2m}{n} -1个
\结束{对齐}

因此，我们有以下最小最优策略：

$\显示样式
\开始{数组}{l}
\文本{如果还有$n$场比赛要玩，我们的球队会}\\
\文本{我们应该赢得剩余游戏中的$m$\\
\文本{下注分数$\frac{2m}{n} -1个美元，我们会}\\
\文本{将我们的钱至少乘以末尾的$\frac{2^n}{\binom{n}{m}$。}
\结束{数组}
$

我们可以检查边缘情况：如果$m=0$，我们应该下注$k_{n，0}=-1$（对我们的球队下注），我们将赢得$2^n$（剩余每场比赛的奖金加倍）。同样，如果$m=n$，我们应该下注$k_{n，n}=1$（为我们的团队下注），我们将再次赢得$2^n$。

为了解决最初的问题，如果还有$12$n=12$games剩余，我们将恰好赢$m=8$其中，然后从$100$开始并使用最优的博彩策略，我们保证以至少$100\cdot 2^{12}/\binom{12}{8}=\frac{100\cdot 4096}{495}\$827.48$结束本赛季。

我们可以说更有力的话。这种最佳下注策略将总是一帆风顺$\$827.48$! 为了理解原因，我们需要再深入一点…

在兔子洞深处

当使用前面导出的“最优”策略时，会发生一些奇怪的事情。我们不仅保证在赛季结束前至少赢得2^n/\binom{n}｛m}美元，而且我们也保证获胜就这么多! 无论输赢如何安排，我们都会总是玩完所有游戏后，赢取相同的金额！

我们将分两部分证明这个令人惊讶的结果。首先，我们将证明，在最佳下注策略下，每个安排都会赢得相同的金额。第二，我们将证明这个金额等于2^n/\binom｛n｝｛m｝$，与之前推导的“下限”相同。

为了证明所有的安排都赢了相同的金额，想象一下两种安排的赢和输只因交换一个相邻的输赢对而不同。例如，如果$n=12$和$m=8$，我们可以有：
\开始{聚集}
\开始{bmatrix}
W&L&W&\textcolor{蓝色}{W}&\textcolor{红色}{L}&W&W&W&W&L＆W
\末端{bmatrix}\\[2mm]
\开始{bmatrix}
W&L&W&\textcolor{red}{L}&\textcolor{blue}{W}&W&W&W&W&L＆W
\结束{bmatrix}
\结束{gather}假设就在交换发生之前，我们有$x$美元，还有$n0$游戏，还有$m0$赢。

• 在第一种情况下，我们赌$\frac{2m_0}｛n_0｝-1美元，我们赢了。现在还有$n_0-1$场比赛，还有$m_0-1$胜。我们赌$\frac{2（m_0-1）}{n0-1}-1美元，但这次我们输了。因此，我们在输赢后的净赢款是：
  \[
  \小的
  \左（1-\左（\压裂{2（m_0-1）}{n0-1}-1\右）\右）\左（1+\左（\压裂{2m_0}｛n_0｝-1\右）\右）x
  =\压裂{4m_0（n0-m_0）}{n0（n0-1）}x
  \]

• 在第二种情况下，我们赌$\frac{2m_0}｛n_0｝-1美元，我们输了。现在还有$n_0-1$场比赛，还有$m_0$场胜利。我们赌$\frac{2m_0}{n0-1}-1美元，这次我们赢了。因此，我们输赢后的净赢款是：
  \[
  \小的
  \左（1+\左（\压裂{2m0}{n0-1}-1\右）\右）\左（1-\左（\frac｛2m_0｝｛n_0｝-1\右）\右）x
  =\压裂{4m_0（n0-m_0）}{n0（n0-1）}x
  \]

由于交换相邻的输赢对不会改变我们赢了多少钱，我们可以通过合适的相邻输赢交换序列从任何百万美元赢和百万美元输的安排中获得任何其他安排，这表明每一个安排获得完全相同的结果！

特别是，我们不妨假设我们赢得了前几场价值百万美元的比赛，而输掉了剩下的比赛。让我们计算一下在这个简单的场景中我们赢了多少。

• 在最初的$m$游戏中，我们每次都赢，所以我们赢了：
  \[
  \压裂{2m}{n}\cdot\frac{2（m-1）}{（n-1）}\cdot \frac}2（m-2）}{（n-2）}\cdots\frac{1（n-m+1）}
  =\分数{2^mm！（n-m）！}{n！}
  \]

• 对于剩下的$n-m$游戏，我们处于边缘情况。我们队将输掉剩下的所有比赛，所以我们每次都会和他们打赌，而且我们的钱会加倍。这将我们的钱乘以2^{n-m}$。

因此，我们的总赢款为：
\[
\压裂{2^m！（n-m）！}{n！}\cdot 2^{n-m}=\frac{2^n}{\binom{n}{m}}
\]这与我们在解决方案的第一部分中发现的下界结果相同！因此，我们可以得出结论，无论赢与输是如何排序的，使用最佳下注策略都会产生完全相同的结果，并且该金额为$2^n/\binom{n}{m}$。

关键的观察结果是，我们可以将博彩策略视为对结果的押注而不是在单个游戏上下注。例如，如果$n=2$，则有四种可能的结果（暂时忽略我们对输赢记录有进一步了解的事实）：
\[
LL、LW、WL、WW
\]如果我把所有的钱都押在$LW$上，而且我是对的，那么我会把钱加倍。如果我错了，我就会失去一切。

一般来说，如果有$n$个游戏，可能会有$2^n$个结果。我不必把一切都押在一个结果上；我可以随心所欲地分配我的$x$美元。但只有一个结果会实现。我在这个结果上的赌注将乘以$2^n$，我所有的其他赌注都将输掉。

在最坏的情况下，赌注最小的结果就会实现。因此，如果我们想要一个最大化最坏损失的策略，我应该在每个可能的结果上下等量的赌注。

现在，我们可以利用我们的先知先觉，我们的球队将在$n$场比赛中赢得$m$。因此，$2^n$结果中只有$\binom{n}{m}$是可能的。因此，最佳策略是在所有可能的结果中平均分配我们的赌注。使用这种策略，无论结果如何，我们都会将初始美元金额乘以2^n/\binom{n}{m}$。

我跳过了这里的一些细节；我没有解释为什么每个策略都可以分解为纯策略的组合，但这篇文章已经很长了，所以我不会写下细节。作为部分解释，结果使用了这样一个事实，即收益是赌注的线性函数。例如，如果$n=1$，我们的策略由单次下注$k$组成，结果是：
\[
（k） ：\开始{cases}
（1+k）x&\text{if W}\\
（1-k）x&\text{if L}
\结束{cases}
\]还有两种纯粹的策略：
\[
（1） ：\开始{cases}
0&\text{if W}\\
2x文本{if L}
\结束{cases}
\qquad\text{和}\qquad
（-1）：\开始{cases}
2x文本{if W}\\
0&\text{if L}
\结束{cases}
\]我们可以将$k$分解为$+1$和$-1$的组合，得到：
\[
（k） =\left（\frac｛1-k｝｛2｝\right）（1）+\left（\frac｛1-k｝｛2｝\right）（-1）
\]换句话说，使用下注$k$与将我们的钱中的$\left（\frac{1-k}{2}\right）x$下注于亏损，将剩下的$\leaft（\frac{1+k}{2]\right。正是这两种结果中的一种会实现，所以我们正确下注的金额会翻倍，而我们错误下注的数额会损失。