烤最大的馅饼

因为我们有固定数量的外壳，我们将其塑造成圆柱体，所以问题是最大化固定区域的体积。这被称为等体积问题（这是一个用词不当的词；它实际上应该被称为等面积问题).

假设地壳的面积为$A$。考虑到这一面积，我们希望最大化气缸的体积。假设底面半径为$r$，高度为$h$。那么公式是：
\[
A=2\pi r^2+2\pi r h\qquad\text{和}\qquad V=\pi r^2 h。
\]由于区域$A$是固定的，我们不能自由选择$r$和$h$。一旦选择了$r$，$h$将由$A$的方程式唯一确定。从面积方程中用$A$求解$h$，我们得到：
\[
h=\frac{A-2\pir^2}{2\pir}
\]将$h$的值代入$V$的方程式中，我们得到：
\[
V=\压裂{1}{2}r（A-2\pi r^2）
\]下面是函数$V（r）$在值$a=1$时的外观图：

我们可以通过寻找这样一个$\frac{\mathrm的$r$来最大化$V${d} V（V）}{\mathrm（马特姆）{d} 第页}=0$和$\frac{\mathrm{d}^2V}{\mathr{d} 第页^2} \lt 0美元。换句话说，在最佳选择$r$时，曲线$V（r）$的切线是平的，曲率是负的（曲线向下）。由此得出以下方程式：
\[
\裂缝{1}{2}（A-6\pir^2）=0\qquad\text{和}\qquad-6\pir\lt0
\]由于$r\geq0$（半径不能为负），第二个方程总是成立的，第一个方程意味着$r=\sqrt{\frac{A}{6\pi}}$。如果$A=1$如上图所示，这将导致$r=0.23033$，这看起来很正确！通过$r$的最佳选择，$h$的相应选择变为$h=\sqrt{\frac{2A}{3\pi}}$，相应的最佳体积为$V=\frac{A^{3/2}}{3\sqrt}6\pi}$。有趣的是，我们可以通过这些选择观察到，
\[
2r＝2\sqrt｛\frac｛A｝｛6\pi｝｝＝\ sqrt｛\frac｛4A｝｛6\pi｝｝＝\ sqrt｛\frac｛2A｝｛3\pi｝｝＝h
\]所以为了最大化面积，直径应该等于高度！换句话说，从侧面看，我们的馅饼应该是方形的；我们会做更多的蛋糕而不是馅饼。

用作最佳馅饼底部的外壳比例为：
\[
\frac{\pir^2}{A}=\frac{\pi\left（\frac{A}{6\pi}\right）}{A{=\frac{1}{6}。
\]

$\显示样式
\开始{对齐}
&\文本{所以我们应该使用外壳的$\tfrac{1}{6}$作为底部，$\tfrac{1}}{6{$作为顶部，}\\
&\文本{和剩余的$\tfrac{2}{3}$用于侧面。}
\结束{对齐}$

解释这个高馅饼形状的一种方法是回想一下前面讨论的等容问题。等体积问题的解决方案是一个球体。因此，为了尽可能高效，馅饼的形状应该尽可能接近球形，因此形状应该很高。对于球体，$a=4\pi r^2$和$V=\frac｛4｝｛3｝\pi r^3$，因此通过消除$r$，我们得到$V=\frac｛a^｛3/2｝｝｛6\sqrt｛\pi｝｝｝$。

如果我们取球体的体积与优化圆柱体的体积之比，我们得到：
\[
\压裂{V_\text{圆柱体}}{V_\text{球体}}=\压裂{A^{3/2}}{3\sqrt{6\pi}}{A^}3/2}{6\sqrt{\pi}{}}=\sqrt{2}{3\压裂{3}}}约0.8165
\]因此，优化后的圆柱形饼的体积约为最大可能体积的82%。

优点：底部和顶部区域不同

如果饼图的顶部和底部区域具有不同的半径，则形状不再是圆柱体，而是圆锥体的圆台。公式现在有点复杂，因为它们取决于两个半径（$r$和$r$）和高度$h$：
\开始{align}
A&=\pi（r+r）\sqrt{h^2+（r-r）^2}+\pi\left（r^2+r^2\right）\\
V&=\frac{1}{3}\pi h\left（r^2+rR+r^2\right）
\结束{align}使用与前面类似的过程（在面积方程中求解$h$，并将其代入体积方程），我们得到了以下仅取决于顶部和底部半径的体积公式
\[
V=\frac{\左（r^2+rR+r^2\右）\sqrt{\左
\]最优性的一个必要条件是两个偏导数都为零，即$\frac{\partialV}{\paratilr}=\frac}\partial V}{\ partialR}=0$。由此得出以下方程式：
\开始{align}
\frac{\partial V}{\partical r}&=-\frac{r\left（A-2\pi r^2\right）\left（2\pi\ left（4r^2R+2r^3+2rR^2+r^3\ right）-A（r+2R）\right）}{3（r+r）^2\sqrt{\ left\\
\frac{\部分V}{\部分R}&=-\ frac{R\左（A-2\pi R^2\右）\左（2\pi\左（2r^2R+R^3+4r^2+2 R^3\右）-A（2r+R）\右）}{3（R+R
\结束{align}很多比普通圆柱壳更凌乱……但我们可以简化这一点。$A\gt 2\pi R^2$和$A\gt2\pir R^2$必须是真的，因为较小圆圈的面积加上边的面积必须至少等于较大圆圈的区域（只有当饼是平的时，它们才相等）。因此，如果$\frac{\partialV}{\paratilr}=\frac}\partial V}{\ partialR}=0$，我们可以取消一组项，剩下的是：
\开始{align}
2\pi\左（4r^2R+2r^3+2r^2+r^3\右）-A（r+2R）&=0&&（1）\\
2\pi\左（2r^2R+r^3+4r^2+2R^3\右）-A（2r+r）&=0&&（2）
\结束{align}此看起来仍然很难解决，但我们可以做一个聪明的观察。如果我们从另一个$（2）-（1）$和因子中减去一个方程，我们得到：
\[
（R-R）\左（A+2\pi R^2+6\pi R R+2\piR R^2\right）=0
\]右因子由一个正项的和组成，因此必须是正的。因此我们得出结论，$R=R$。换言之，我们获得最佳音量的唯一方法是，顶部和底部的圆圈大小相等。这将我们更复杂的情况简化为我们在上面已经解决的更简单的情况。