这个谜题涉及一个特殊的掷硬币游戏。问题是：
我掷硬币。如果是正面，我赢了比赛。如果是反面，那么我必须再翻一次，现在需要连续两个正面才能赢。如果在第二次投掷时，我得到了另一个反面而不是正面，那么我现在需要连续三个正面才能赢。相反，如果我在第二次掷骰子时得到一个正面（在第一次掷骰时翻转了一个反面），那么我仍然需要获得第二个正面才能连续两个正面并获胜，但是如果我的下一次掷骰儿是反面（这样就可以翻转反面-正面-反面）的话，我现在需要连续翻转三个正面才能获胜，依此类推。你抛的反面越多，要赢得这场比赛，你需要的人头越多。
我可能会翻转无数次，总是需要连续翻转N个头部才能获胜，其中N是T+1，T是累计抛出的尾部数。当我连续翻转所需数量的头部时，我赢了。
我赢得这场比赛的机会有多大？（计算机程序可以精确计算概率，但对于获胜概率，有没有更优雅的数学表达式？）
这是我的解决方案：
[显示解决方案]
解决方案简短但甜蜜。事实证明，更容易考虑失败的而不是获胜的可能性。让我们定义：
\[
P（t）=\text{给定我们刚刚翻转}t^\text{th}\text{Tail}的损失概率。
\]如果我们刚刚翻转了$t^\text{th}$Tail，那么如果我们连续翻转$t+1$Heads，我们将获胜（概率为$\frac{1}{2^{t+1}$）。否则，我们将翻转我们的$（t+1）^\text{st}$Tail，从那一点开始，我们将有$P（t+1$）损失的机会。数学上，
\[
P（t）=\left（1-\frac｛1｝｛2^｛t+1｝｝\right）P（t+1）
\]我们的目标是找到初始获胜概率，即1-P（0）$。很明显，$\lim_{t\to\infty}P（t）=1$，因为随着翻转尾巴数量的增加，我们获胜的可能性越来越小。迭代上述递归，我们得到
$\显示样式
\text｛获胜概率｝=1-\prod_｛t=1｝^\infty\left（1-\frac｛1｝｛2^t｝\right）
$
这个表达式经常出现，以至于有了自己的名字！这是一个特例欧拉函数（只是以Euler命名的许多事物之一），这本身就是q-手锤符号.
不幸的是，无法进一步简化无穷乘积，但很容易近似它。中奖概率约为0.711211904913美元……美元，因此约为71\%$。