对于半径为$r$的圆，其面积为$\pir^2$，周长为$2\pir$。 如果你对面积公式对$r$求导，你就得到了周长公式！ 让我们定义术语“微分半径”。具有面积$a$和周长$P$的形状的微分半径$r$（$r$的两个函数）具有$dA/dr=P$的属性。 （请注意，$A$总是以$r^2$缩放，$P$总是以$r$缩放。）
例如，考虑边长为$s$的正方形。 其微分半径为$r=s/2$。 广场的面积为$s^2$或$4r^2$，周长为$4s$或$8r$。 果然，$dA/dr=d（4r^2）/dr=8r=P$。 边长为s的等边三角形的微分半径是多少？
额外学分： 边长为$a$和$b$的矩形的微分半径是多少？
假设你有无限多的3×3厘米瓷砖和无限多的5×5厘米瓷砖。 您希望使用其中一些瓷砖精确覆盖边长为整数厘米的正方形。 瓷砖不能重叠，必须完全覆盖较大的正方形，而不超出其边界。 这个较大的正方形的最小边长是多少，这样可以用至少一块3×3的瓷砖和至少一块5×5的瓷砖精确覆盖？
额外学分： 这一次，对于边长大于1厘米的每一个奇数整数（以厘米为单位），你有无限多的方形瓷砖。换句话说，你有无穷多的3×3厘米瓷砖，无穷多的5×5厘米瓷砖，无限多的7×7厘米瓷砖，等等。 您希望使用一个或多个这些平铺来精确覆盖边长为$N$cm的正方形，其中$N$是一个整数。 同样，瓷砖不能重叠，它们必须完全覆盖更大的方形，而不超出其边界。 此任务不可能执行的最大整数N是多少？
假设我们有一些球员。 玩家A是第一个旋转巨轮的人，它会吐出一个随机且均匀地选择在0和1之间的实数。 所有自旋都是相互独立的。 旋转后，A可以继续使用刚获得的数字，也可以再次旋转车轮。 如果它们再次旋转，则其指定的数字是两次旋转的总和，只要总和小于或等于1。 如果总和超过1，A立即被宣布为失败者。
A完成旋转（无论是一次还是两次）后，B走到轮子旁边。 像A一样，他们可以选择旋转一次或两次。 如果他们旋转两次，总和超过1，他们同样被宣布为失败者。 这将一直持续到所有玩家都完成。 谁的价值较大（不超过1），谁就被宣布为优胜者。
假设所有玩家都以最佳方式玩游戏，那么玩家A获胜的可能性有多大？
对于任何以10为基数的正整数$n$，将$f（n）$定义为必须将其数字相加的次数，直到得到一个一位数。 例如，$f（23）=1$，因为$2+3=5$是一个一位数。 同时，$f（888）=2$，因为$8+8+8=24$是一个两位数，然后将这些数字相加得到$2+4=6$，一个一位数。 求最小整数$n$，使$f（n）=4$。
额外学分： 对于$1$到$10000$之间的多少个整数$n$，$f（n）=3$？
f（n）=n<10？ 0:1+f（和（数字（n））） 长度（如果f（n）==3，则n的长度为1:10000）
一只小蚂蚁正在一个2乘2的棋盘上奔跑，如下图所示，每个较小的正方形的边长为1厘米。蚂蚁从左下黑色正方形的左下角开始，试图到达右上黑色正方形的右上角。 蚂蚁在白色方块上的移动速度比在黑色方块上的快。 白色方块上的速度为每分钟1厘米，而黑色方块上的转速为每分钟0.9厘米。 蚂蚁到达终点所需的最少时间是多少？
额外学分： 相反，该板现在是8乘8，如下所示。
爱丽丝、鲍勃和凯莉一起出发，以不同的恒定速度回家。 一旦三个人都回家了，他们就可以吃煎饼了！ 爱丽丝10分钟就能走回家，鲍伯20分钟就能走，凯莉30分钟就能走。 幸运的是，他们中的任何人都可以背着其他人，而不会降低自己的行走速度。 假设他们可以接起某人，放下某人，并立即改变方向。 他们吃煎饼最快的速度是什么？
额外学分 现在有第四个：迪。 迪是最慢的，步行回家需要60分钟。 和以前一样，任何人都可以带其他人，在每个人都回家之前，他们不会吃煎饼。 这种情况发生的最快速度是什么？
两个人一起坐在桌子旁，每个人都拿着自己的一袋六个“DnD骰子”：一个d4，一个d6，一个d8，一个d10，一个D22和一个d20。 这里，“dX”是指具有X个面的模具，从1到X编号，每个面都具有相同的滚动概率。 两人从各自的袋子里随机挑选一个骰子，然后同时滚动。 例如，假设选择的两个骰子是一个d4和一个d12。 球员们掷骰子，我们进一步假设两个骰子都是3。 真幸运！ 发生这种事情的概率是多少？ 也就是说，无论他们是否碰巧选择了相同的骰子，两个玩家掷相同数字的概率是多少？
额外学分 现在假设有三个人，而不是两个人坐在桌子旁。 再次，三个人从各自的袋子里随机挑选一个骰子，并同时掷骰子。 例如，假设选择的三个骰子是d4、d20和d12。 玩家将其滚动，我们进一步假设d4显示为4，d20显示为13，d12显示为4。 在这种情况下，在三个辊中有两个不同的数字（4和13）。 平均而言，你预计在这三卷中会看到多少不同的数字？
凯尔和朱利安正在玩一个游戏，他们各自掷自己的硬币。 在游戏的每一回合中，两名玩家都会掷一次自己的硬币。 如果在任何一点上，凯尔最近的三次投掷是“尾巴”、“尾巴”和“脑袋”（即TTH），那么他就赢了。 如果在任何一点上，朱利安最近的三次投掷是“尾巴”、“尾巴”和“尾巴”（即TTT），那么他就赢了。
然而，两名球员不可能同时获胜。 如果凯尔在朱利安获得TTT的同时获得TTH，那么没有人赢，他们继续翻腾。 记住，他们不会完全重新开始，也不会抹去自己的历史——他们只是继续翻筋斗，这样他们中的一个就可以在下一个或两个筋斗中取胜。
凯尔赢得这场比赛的概率是多少？
额外学分 凯尔和朱利安在八张不同的纸片上写下三次抛硬币（HHH、HHT、HTH、THH、HTT、THT、TTH和TTT）的所有八个可能的顺序。 他们把这些纸条放进帽子里，摇晃它。
他们将从帽子中随机抽出纸条，在这一点上，他们将玩与前面描述的相同的游戏，但要寻找他们各自选择的纸条上指定的顺序。 凯尔先画，然后看了看他的纸条。 在做了一些计算后，他说：“好吧，在这一点上，这是一场尽可能公平的比赛。”
凯尔可能画了哪些纸条？ 在这一点上（即朱利安选择自己的纸条之前），他获胜的可能性有多大？
P=1/2*克朗（[1；1]，克朗（眼睛（4），[11]）； s=[“HHH”，“HHT”，“HTH”，”HTT“，”THH“，”TTT“，“TTT”]； Kwin=“TTH”； Jwin=“TTT”； XK=find（克朗（s==Kwin，s=Jwin））； XJ=find（克朗（s~=Kwin，s==Jwin））； XT=设置差异（1:64，联合（XK，XJ））； Phat=氪（P，P）； v=零（64,1）； v（XK）=1； v（XJ）=0； v（XT）=（眼（长度（XT”））-相位（XT，XT））\Phat（XT、XK）*个数（长度（XK），1）； 平均值（v）
我们有一块方板，周围有40个单独的空格，编号从0到39。 所有玩家从0格开始（类似于大富翁中的“围棋”方块），掷一对骰子以确定他们每回合前进多少格。 然而，与垄断不同的是，没有其他方式可以在董事会上取得进展（即，没有“机会”、“公益金”、“入狱”等）。 在第一次绕板传球时，球员最有可能在某一点（即，不一定是在第一次或最后一次掷骰时，而是在任何掷骰次数之后）在1到39之间的哪一个空格着陆？
额外学分 方形板每侧有10个空间。 第一侧具有空间0至9，第二侧具有空间10至19，第三侧具有空间20至29，第四侧具有空间30至39。 因为你在掷两个骰子，所以你不可能在绕板的第一次传球中降落在1号空间。 董事会第一面的其他几个位置也不太可能出现。 把板的第一面放在一边，球员在第一次传球时，最不可能在10到39之间的某个位置着陆？ （另一个问题：如果你一次掷三个骰子而不是两个，会怎么样？）
q=1/6（x+x ^2+x ^3+x ^4+x ^5+x ^6）； 条形图[ 系数列表[Normal[级数[q^2/（1-q^2），{x，0，40}]]，x]， 图表标签->表格[k，{k，0，40}]，网格线->自动]
有三位候选人想要担任议长。 该党所有221名成员从候选人中随机挑选进行投票。 如果一名候选人获得大多数选票，他们将成为下一位议长。 否则，得票最少的候选人将被淘汰，并用少一名候选人重复该过程。 如果两个或两个以上的候选人获得相同的最少票数，则其中一个候选人将被随机淘汰。 选择一个新的演讲者所需的平均轮数是多少？
额外学分 如果有10名候选人竞选议长怎么办？
