Three-dimensional Euclidean nets from two-dimensional hyperbolic tilings: kaleidoscopic examples

Ramsden, S.J.; Robins, V.; Hyde, S.T.

doi:10.1107/S0108767308040592

主要文章

基础
进展

国际标准编号：2053-2733

第65卷| 第2部分| 2009年3月| 第81-108页

网址：10.1107/S0108767308040592

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二维双曲线平铺的三维欧几里德网：千变万化的例子

S.J.拉姆斯登,^一 V.罗宾斯 ^一和S.T.海德 ^一 ^*

^一澳大利亚堪培拉国立大学物理与工程研究院应用数学系，澳大利亚ACT 0200
^*通信电子邮件：stephen.hyde@anu.edu.au

(收到日期：2008年7月29日； 2008年12月2日接受；在线2009年1月28日)

我们提出了一种通过将二维双曲线平铺投影到一系列三次周期极小曲面（TPMS）上来构造周期三维欧氏网的方法。我们的技术扩展了Dress、Huson和Delgado-Friedrichs的组合平铺理论，以列举这些胎压监测系统的简单网状结构。我们包括由万花筒双曲线平铺产生的所有网络的分类，最多有两种不同的平铺类型（及其具有两个不同顶点的对偶），映射到三个相关的TPMS，即Schwarz的基元(P（P）)和钻石(D类)曲面和Schoen回转体(克).

关键词：三维欧几里德网;二维双曲线平铺;三周期极小曲面;万花筒双曲线瓷砖.

1.简介

由于复杂系统和网络之间的密切联系，网络科学已经超越了图论固有的数学兴趣。这些联系现在是统计物理学的主要焦点，在统计物理学中，关于“小世界”和“无标度”系统的有趣结果推动了对随机网络的研究（Watts，2003 ; Barabasi，2002年 ). 对这些努力的补充是对“水晶网”的研究：三维欧氏空间中图形的三次周期嵌入。对水晶网的兴趣源于它们与凝聚材料的基本关联（海德等。, 2008 )来自原子晶体（Wells，1977 ; O'Keeffe&Hyde，1996年 ; 克莱，2004年 )新型框架材料（Ockwig等。, 2005 ; ？hrström&Larsson，2005年 )，包括碳多晶型（强等。, 2004 )，沸石（Treacy等。, 1997 ; 国际沸石协会，2008 )，相关氧化物（Zou等。, 2008 )和磷酸铝（AlPO）材料（Li等。, 2008 )，咪唑（ZIF）框架（Banerjee等。, 2008 )和金属配位聚合物材料（Blatov等。, 2004 ; Batten，2001年 ). 软材料的一些液晶相的微区，包括两亲性和共聚物组装体和衍生介孔固体也通过晶体网络进行表征（Hyde&Schroeder，2003 ).

本文涉及晶体网络（或只是“网络”）的枚举，这是一个近年来受到推动的主题，这得益于我们在这里也利用的瓷砖理论的进步。我们使用的技术是对采用三维瓷砖理论的更传统方法的补充（Delgado-Friedrichs等。, 1999 ; 布拉托夫等。, 2007 )，因为我们主要在非欧几里德（双曲线）二维空间内构建网络，然后投影到三维（欧几里得）空间。晶体网络的任何系统计数都受到组合爆炸问题的限制；因此，不同的方法探索水晶网宇宙的不同区域。事实上，我们的结果在很大程度上是三维技术无法复制的（海德等。, 2006 ).

我们方法的基本方法是用给定复杂度的所有允许的对称平铺来装饰曲面，然后使用平铺边界的拓扑结构及其在曲面中的嵌入来定义网络。为了引导读者了解网络构建的各个阶段，我们采用了这样的惯例：由顶点、边和面组成的所有平铺都用大写名称表示，而仅由顶点和边组成的网络则使用小写名称。

我们的枚举受到了一类特殊曲面的限制。由于本文将描述的各种原因，我们选择了三次周期最小曲面（TPMS），它在二维双曲线贴片和三维欧几里德网之间提供了一个自然的桥梁。TPMS的特定选择提供了一个过滤器，用于控制二维双曲线和三维欧氏空间中的枚举。这里我们使用最简单的（立方genus-3）TPMS，即Schwarz的原语(P（P）)和钻石(D类)曲面和Schoen回转体(克).

胎压监测系统的倾斜，称为电动工具，可以提升到它们的普适覆盖空间，即二维双曲平面 $[{\bb H}^2]$ .我们称之为瓷砖U形瓷砖，产生我们称之为二维双曲线网h网络或者，我们可以形成TPMS的紧致商空间，其中使原始晶格平移等价于恒等运算，并且得到的曲面是闭genus-3三环面.此有限曲面上的平铺定义O型瓷砖; 随后在三维空间中嵌入氚导致特定的边缘穿线，形成o形网最后，TPMS的平铺可以产生至少两种不同的网络类型，这取决于使用了多少嵌入信息。TPMS中嵌入的网络（沿着E-tiling的边缘）将共享其三维对称性，我们将这些表面网状结构标记为电子网络.忽略表面，只看网络拓扑，我们可以在三维空间中放松网络( $[{\bb E}^3]$ )给出规范的最大对称形式，称为s网络.

这里我们详细解释了生成各种瓷砖和网格的过程。为了便于参考，我们在表1中对其进行了总结并在图1的流程图中显示枚举的关键步骤具体示例如图2所示.

表1
此处考虑的瓷砖和网类的定义

缩写	期限	嵌入空间	定义
U形平铺	通用盖砖	$[{\bb H}^2]$	特定表面相容对称子群和平移单元内的二维双曲线拼接。这些平铺由展开的D符号表示，并用“cuts”进行扩展。
h-净值	双曲线网	$[{\bb H}^2]$	二维双曲网仅以拓扑来区分，由该拓扑的唯一最大对称D符号表示。
O-平铺	Tritorus表面网状结构	特里托鲁斯	通过将U形转弯投影到三环面上而获得的平铺。
o形网	有限网络	$[{\bb E}^3]$	由嵌入三维空间的O形瓷砖边缘形成的网。这种网络是有限的“分子”网络，相当于环境同位素类。
电子平铺	胎压监测系统表面网状	胎压监测系统	通过将U形转弯投影到周期性最小表面上而获得的平铺。通过将U形平铺与覆盖贴图配对来识别此类平铺。
电子网络	`史诗'	$[{\bb E}^3]$	由E-tiling的顶点和边组成的网络，相当于环境同位素等级。
s网络	`Systre网络	$[{\bb E}^3]$	三维周期网，仅由拓扑定义，由systre键表示。

图1
一个流程图，描述了枚举过程以及此处考虑的不同类别瓷砖和网络之间的关系。1：在特定子组图表中展开D符号（多对多）（§4

). 2：找到最小图像（最大对称）D符号（多对一）（§6.1

). 3：将双曲线平铺映射到tritorus上（一对一）（§5.3

). 4：嵌入三角板，去除表面，在三维空间中保留边缘（§6.4

). 5：将双曲线平铺映射到三周期最小曲面上（一对一）（§5.1

). 6：删除面，保留嵌入边和顶点（多对一）（§6.2

). 7：找到电子网络拓扑的规范、最大对称形式（多对一）（§6.3

图2
此图像表显示了从双曲平面（顶部）到欧几里德空间（底部）的地图中的各个阶段。(一)Delaney–服饰符号枚举 $[\星{\tt 2223}]$ 对称性提供了子组瓷砖，质量控制164，包含五个不同的标志。 $[\星{\tt 2223}]$ 域以橙色边为界；单个域被着色。(b条)h-净值,总部167是由平铺的边缘和顶点定义的网络的最大对称版本质量控制164. (c（c）)我们将子组平铺以形成U形平铺,UQC公司183，这尊重胎压监测系统的局部对称性和平移对称性（在本文中P（P）,D类和克表面）。单身 $[\星{\tt 2223}]$ （阴影）域来自(一)采用一对几何图形 $[\star{\tt 246}]$ 三角形。(d日)U型瓷砖被投影到第三代圆环（tritorus）上O-平铺. (e（电子）)嵌入曲面网格的边缘定义了o形网. (（f）)双曲线平移单元由 $[\星{\tt 2223}]$ 的域(c（c）)由橙色多边形高亮显示。(克)此多边形投影到D类表面提供E-tiling，EDC公司183，其菱形晶胞如图所示。(小时)上的投影平铺边界D类形成三周期的表面电子网络,电子数据中心183，带空间组 P（P）4₂32.一张单人床晶胞如图所示，为清晰起见，四边形循环以紫色突出显示。(我)s网络,平方厘米7388是e-net拓扑的最高对称嵌入空间组 $[Pm\上一行{3} n个]$ .

为了说明双曲tilings，我们需要一个双曲平面的模型，它就像球体的表面一样，不容易在页面上成像而不失真。本文使用Poincarédisc模型（Stillwell，1989）对双曲面进行了说明 ). 巨大的双曲线空间被压缩成一个单位圆盘，代价是距离大大缩短，距离越来越向圆盘的周长收缩。这个模型很有吸引力，因为它是共形的，没有从双曲空间到圆盘的映射引起的角度失真；然而，双曲线被成像为与圆盘边界呈90°相交的圆弧。本导言部分的其余部分提供了论文的大纲。

我们枚举方案的观察结果是，TPMS的内在几何和对称性与二维双曲等距离散群有关。因此，可以像欧几里德平面缠绕圆柱一样，将双曲线平面缠绕到TPMS上。这种包装形式上由覆盖图，详细描述了原语(P（P）)，菱形(D类)和回转体(克)§2中的表面.确定合适的覆盖图是枚举过程的重要组成部分。此外，在无穷多种二维双曲线平铺中，我们选择对称性为 $[{\bb H}^2]$ 与胎压监测系统的局部对称性和平移对称性相称。这些允许的对称性在早期的一篇论文中提出（罗宾斯等。, 2004一 ). 在当前的论文中，我们主要关注其中的一个子集：万花筒的仅由反射生成的组。

适当双曲线瓷砖的枚举涉及组合瓷砖理论的直接应用，该理论由Dress、Huson和Delgado-Friedrichs（Dress，1987）开发 ; Dress&Huson，1987年 ; 德尔加多·弗里德里希斯，1994年 ). 我们在§3中概述了他们的技术; 附录中总结了技术定义B类.

在§4中我们描述了如何在 $[｛\b H｝^2｝$ 因此，它们与覆盖图的对称性是相容的。该过程涉及多个步骤，这些步骤扩展了Delaney–Dress理论，以解释拓扑复杂胎压监测系统上的等效瓷砖。这是本文的技术核心，涉及组合算法和群理论算法。然后我们在§5.1中讨论这些双曲线瓷砖是如何投影到TPMS上的，并呈现出由此产生的表面网状结构的空间组对称性。

在§6中我们丢弃了平铺信息，并检查了由边和顶点定义的网络的拓扑结构。

为了进一步阐明我们的技术，我们通过§7中一个完整的示例来从头到尾说明程序.

万花筒瓷砖计数过程的输出总结在§§6中和9，并强调由此产生的e-和s-网络的多样性。这些结果太过广泛，无法在出版物中捕捉到任何细节。因此，我们建立了在线史诗数据库（Ramsden等。, 2005 )该网站提供了链接瓷砖和网络的数据和图像的详细可搜索目录。

未来，该项目将按照§8中概述的方向，探索非千变万化的瓷砖因此，我们写这篇论文是为了提供一个详细的基础，在这个基础上，我们将构建一套不断发展的网络数据。虽然基础总是会使阅读变得枯燥乏味，但需要它们来解释更丰富、更有趣的内容上部结构。因此，我们敦促读者结合史诗数据库，可从访问网址：https://epinet.anu.edu.au.

2.双曲对称性和覆盖映射

注意在本文中，我们用二维对称群的球状符号来表示它们，这是Conway（1992）引入的一种符号 )并在附录中进行了说明A类.

这个P（P）,D类和克表面（如图3所示和4)每个都具有与 $[\star{\tt 246}]$ 双曲线反射组。该组由三个反射生成，R（右）₁,R（右）₂和R（右）_三，其镜像线将三角形绑定在 $[{\bb H}^2]$ 角角度为π/4,π/6和π/2.此几何体为组导出了一组关系，

$[（R_1R_{2}）^{2}=（R_{2} R（右）_{3} ）^{4}=（R_{1} R（右）_{3} ）^{6}=I，]$

因为操作是反射，所以我们也有R（右）₁²=R（右）₂²=R（右）_三²=我（身份）。萨多克和夏沃林（1989 )定向的确定平移单元P（P）,D类和克在双曲平面中拉回相同十二边形的曲面。这些原始的菱形单位细胞和相应的 $[{\bb H}^2]$ 十二边形如图3所示和5.每个曲面的欧几里德平移向量拉回双曲组，该双曲组是由对十二边形相对边的六个平移生成的。这些译文最初在Sadoc&Charvolin（1989）中给出)并在此根据 $[\star{\tt 246}]$ 反思：

$[\eqalign{t_{1}&=（R_{3} R（右）_{1} 对_{3} 对_{1} R（右）_{3} R（右）_{2} ）^{2}，\cr t_{2}&=R_{1} R（右）_{3} R（右）_{2} （右_{3} R（右）_{1} R（右）_{3} R（右）_{1} R（右）_{3} R（右）_{2} ）R_{3} R（右）_{1} R（右）_{3} ，\cr t_{3}&=R_{3} R（右）_{2} （右_{3} R（右）_{1} R（右）_{3} R（右）_{1} R（右）_{3} R（右）_{2} ）R_{3} R（右）_{1} R（右）_{3} R（右）_{1} ，\cr\tau_{1}&=（R_{3} R（右）_{1} R（右）_{2} 对_{3} R（右）_{1} R（右）_{2} R（右）_{3} R（右）_{1} ）^2，\cr\tau_{2}&=R_{1} R（右）_{3} 对_{1} （R）_{3} R（右）_{1} R（右）_{2} R（右）_{3} R（右）_{1} R（右）_{2} R（右）_{3} R（右）_{1} ）R_{3} R（右）_{1} R（右）_{2} R（右）_{3} R（右）_{2} ，\cr\tau_{3}&=R_{1} R（右）_{2} R（右）_{3} R（右）_{1} R（右）_{2} R（右）_{3} R（右）_{1} （右_{3} R（右）_{1} R（右）_{2} R（右）_{3} R（右）_{1} R（右）_{2} R（右）_{3} R（右）_{1} ）R_{3}.}]$

它们满足以下身份：

$[\tau_{1} t吨_{2} \陶{3}^{-1}吨_{1} ^{-1}\tau_{2} t吨_{3} \tau_{1}^｛-1｝t_{2} ^｛-1｝\tau_{3} t吨_{1} \陶{2}^{-1}吨_{3} ^{-1}=I.\eqno（1）]$

这个子组 T型由生成吨_我和 $[\tau_i]$ 翻译与第三类环面的基本群同构，因此具有球形符号 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ .

图3
的平移单位单元格P（P）,D类和克最小曲面。在左栏中，我们显示了原始的菱形单元，它们是由96个三角形构成的双曲十二边形的图像（如图5所示

). 在每种情况下，这些基本单位单元用于定向曲面的空间组，即，曲面法线方向（以及两侧的着色）由空间群对称性保持。在右栏中，我们显示了每个表面的2×2×2个常规立方单位单元，其中嵌入了菱形单元。传统的立方体单元是非定向单元的空间群，其中包括交换曲面侧面的对称性。

图4
放大的P（P）,D类和克表面（见图3

)曲面上标记了三维欧几里德对称运算。弧线AB公司,不列颠哥伦比亚省和加利福尼亚州对应于二维面内（非欧几里德）反射R（右）₂,R（右）₁和R（右）_三分别适用于所有三个曲面（参见正文）。左图：P（P）曲面，具有 $[Im\超线{3} 米]$ 对称性（包括交换曲面侧面的等轴测图；为了清晰起见，这些图的颜色不同）：A类,B类和C类位于12d日（场地对称 $[\覆盖线{4} 平方米]$ ), 24小时(米米2)和8c（c）( $[\上划线{3} 米]$ )地点；AB公司和不列颠哥伦比亚省位于正交的镜面中，加利福尼亚州是一个双轴。中间：D类表面( $[Pn\上划线{3} 米]$ ):A类,B类和C类位于6d日( $[\上划线{4} 200万]$ ), 12（f）(222)和4c（c）( $[\上划线{3} 米]$ )地点；AB公司和不列颠哥伦比亚省是两个轴，加利福尼亚州位于镜像平面中。右图：克表面( $[Ia\overline（上）{3} d日]$ ):A类和C类位于24d日和16一站点，具有点组对称性 $[\上划线{4}]$ 和 $[\上划线{3}]$ 分别为；B类位于垂直于曲面的双轴上。

图5
双曲平面的十二角区域，形成了原始菱面体单元的共同前像P（P）,D类和克曲面。深色和浅色三角形是 $[\star{\tt 246}]$ 域&十二角平移单元中有96个这样的三角形。将十二边形的对边配对的平移生成双曲线平面的不规则（12，12）平铺，如右图所示。11个额外的十二边形（淡蓝色和亮蓝色交替出现）在中央三角形十二边形的每个顶点相遇。

覆盖图， $[\Phi]（菲律宾）$ ，来自 $[{\bb H}^2]$ 在中的曲面上 $[{\bb E}^3]$ 是一个连续函数，使得曲面上的任何小圆盘都会拉回可数无穷个同构副本，这些副本在双曲平面上形成周期图案。我们构造的覆盖映射具有保角的额外性质，并且与曲面的对称性兼容。这意味着给定曲面的欧几里得对称性 $[S:{\bb E}^3\到{\bbE}^3]$ ，双曲平面具有相应的对称性， $[s:{\bb H}^2\到{\bbH}^2]$ ，因此 $[\Phi\cdot s=s\cdot\Phi]$ 因此，覆盖映射定义了双曲对称群之间的关系（群同态） $[\star{\tt 246}]$ 和欧几里德学派空间组表面的。

在P（P）曲面，双曲线反射R（右）₁和R（右）₂分别映射到（110）和（100）镜面中的欧几里德反射，同时R（右）_三映射到位于曲面上的[110]方向的双重旋转轴（因此交换曲面的边）。在D类表面R（右）₁和R（右）₂在[110]和[100]方向上映射到曲面上的两个旋转轴，以及R（右）_三映射到（110）平面中的反射。欧几里德对称克曲面与旋转子组 246属于 $[\star{\tt 246}]$ 双曲线反射是克曲面，它们不对应于整个曲面的欧几里德等距线。相反，旋转R（右）₁R（右）₂映射到[110]方向的双轴，垂直于克表面，R（右）₁R（右）_三映射到 $[\上划线{3}]$ Wyckoff站点的反演中心16一的空间组 $[Ia\overline（上）{3} d日]$ [111]方向，以及R（右）₂R（右）_三映射到 $[\overline｛4｝]（上一行｛4｝）$ Wyckoff站点的反转24d日[001]方向。这些对称性如图4所示更多详细信息可在其他地方找到（罗宾斯等。, 2005 ; 莫尔纳，2002年 ).

这个 $[{\bb H}^2]$ 翻译子组 T型，映射到每个定向曲面的欧氏平移格空间组。我们可以通过描述覆盖图的六个生成器如何T型映射到三个独立的欧几里德翻译一,b条,c（c）。对于P（P）,D类和克我们选择表2中给出的映射的曲面（其他选择也是可能的，并给出相同的结果）。

表2
来自的映射 $[{\bb H}^2]$ 定向的欧几里德格向量的转换P（P）,D类和克曲面

对于P（P）将向量曲面化，形成正交集。对于D类表面{一,b条,c（c）}是面心立方（f.c.c.）菱面体晶格矢量，以60°相交，具有长度1/(2^1/2)。的平移晶格克表面为体心立方（b.c.c.），菱形晶格矢量以109.47°的角度相交，且具有长度(3^1/2)/2。在每种情况下，给定的长度与标准（非基本）立方单元有关。

表面	吨₁	吨₂	吨_三	τ₁	τ₂	τ_三
P（P）（立方）	一	b条	c（c）	c（c）−b条	一−c（c）	b条−一
D类（f.c.c.）	一−c（c）	b条−一	c（c）−b条	−b条	−c（c）	−一
克（公元前）	−b条	−c（c）	−一	b条+c（c）	一+c（c）	一+b条

只有当平铺的对称性与所选的覆盖图相称时，双曲线平面的平铺才会映射到曲面上的离散网格。这意味着瓷砖应至少具有基本群体表面的[即，一阶同伦群 $[\pi_1（{\cal S}）]$ ]. 自从P（P）,D类和克曲面有无界亏格，其基本群有无穷多个生成元。这些群是同构的，通过覆盖图，到不同的子群T型.只有对称的瓷砖 $[\pi_1（P）]$ 例如，将映射到P（P）表面，并且将与D类和克曲面。本文研究双曲线贴片T型对称性，因为这些瓷砖与所有三个表面兼容，并在 $[{\bb E}^3]$ 。原则上，我们可以使用T型子组作为平铺枚举的起点，但为了方便起见，我们枚举了位于 $[\star{\tt 246}]$ 和T型; 我们早先确定了131个不同的亚组是合适的（包括 $[\star{\tt 246}]$ 和T型)（罗宾斯等。, 2004一).

在131个亚组中 $[\star{\tt 246}]$ ，到目前为止，我们已经列举了那些对称性仅由反射生成的平铺，即万花筒的子组。有14个这样的子组，由表3中给出的生成器指定. The子组关系如图6所示万花筒子群是数学家所知的一类更广泛的群的例子Coxeter组为了符合即将推出的二维圆形类家族的分类方案，我们将万花筒群的圆形称为考克塞特圆形在14个千变万化的亚组中，只有11个不同的Coxeter圆形。本文给出的结果是从这些万花筒子群导出的，但这些概念和技术适用于（稍作修改）具有其他对称类型的子群。

表3
14个万花筒对称组与P（P）,D类和克曲面

罗宾斯的号码等。（2004年一)	子组名称	索引在 $[\star｛\t246｝]$	子组生成器
131	$[\star{\tt 246}]$	1	R（右）₁,R（右）₂,R（右）_三
127	$[\star{\tt 266}]$	2	R（右）₁,R（右）_三,R（右）₂R（右）_三R（右）₂
125	$[\星{\tt 344}]$	2	R（右）₂,R（右）_三,R（右）₁R（右）_三R（右）₁
124	$[\星{\tt 2223}]$	2	R（右）₁,R（右）₂,R（右）_三R（右）₁R（右）_三,R（右）_三R（右）₂R（右）_三
123	$[\星{\tt 2224}]$	三	R（右）₁,R（右）₂,R（右）_三R（右）₂R（右）_三,R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三
119	$[\star{\tt 2323}]$	4	R（右）_三,R（右）₁R（右）_三R（右）₁,R（右）₂R（右）_三R（右）₂,R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₂R（右）₁
107	$[\star{\tt 2244}（{\rm a}）]$	6	R（右）₂,R（右）_三R（右）₂R（右）_三,R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三,R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁
103	$[\star{\tt 2244}（{\rm b}）]$	6	R（右）₁,R（右）_三R（右）₂R（右）_三,R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三,R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂
102	$[\star{\tt 2^5}（{\rm a}）]$	6	R（右）₁,R（右）₂,R（右）_三R（右）₂R（右）_三,R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三,R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三
101	$[\star{\tt 2^5}（{\rm b}）]$	6	R（右）₁,R（右）₂,R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三,R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三,R（右）_三R（右）₂R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三
96	$[\星{\tt 2626}]$	8	R（右）₁,R（右）_三,R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂,R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂ R（右）_三R（右）₁R（右）_三 R（右）₂R（右）₁R（右）_三R（右）₂
64	$[\star{\tt 4444}]$	12	R（右）_三R（右）₂R（右）_三,R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三,R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁,R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂
83	$[\star{\tt 2^6}（{\rm a}）]$	12	R（右）₁,R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三,R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三,R（右）_三R（右）₂R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三,R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂,R（右）₂R（右）_三R（右）₂R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₂
55	$[\star{\tt 2^6}（{\rm b}）]$	12	R（右）₂,R（右）_三R（右）₂R（右）_三,R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁,R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三,R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三 R（右）₂ R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁,R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三 R（右）₂ R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三

图6
14个万花筒子群的极大子群格 $[\star{\tt 246}]$ 矩形节点表示正规子群椭球节点表示a共轭类的子组。右栏中的数字是子组索引位于 $[\star{\tt 246}]$ .

在以下§3中我们从组合平铺理论出发，对相关算法进行了概述。然后我们在§4中讨论如何获取这些抽象表示并生成 $[{\bb H}^2]$ 与表面覆盖图兼容的。

3.列举Delaney–双曲线瓷砖的服饰符号

瓷砖的研究历史悠久（Grünbaum&Shephard，1987）)但直到20世纪80年代，才发现一个有限符号可以唯一地编码无限周期平铺的拓扑和对称性。这是由于Andreas Dress（Dress，1987）)使用马修·德莱尼（Matthew Delaney）早期的作品，因此我们将瓷砖的描述称为Delaney–服饰标志Dress的两名学生Daniel Huson和Olaf Delgado-Friedrichs扩展了他的数学形式主义，并开发了高效的算法来枚举球面、欧几里德平面和双曲平面以及三维欧几里得空间的瓷砖（Huson，1993 ; 德尔加多·弗里德里希斯，2003年 ; Delgado-Friedrichs&Huson，1999年 ). 这部分工作通常被称为组合平铺理论.

二维瓷砖的对称性和拓扑结构都由二维Delaney–Dress符号有效编码，详见附录B类实际上，这些符号代表了一个球体的三角剖分。因此，二维平铺的枚举相当于给定球体的所有可能三角剖分（具有某些属性）的系统枚举。

Delaney–Dress（D）符号允许对对称组中的瓷砖进行详尽枚举，达到所需的复杂程度。复杂性最初通过瓷砖的不同对称类（也称为及物性类）的数量进行量化。因此，其中每个瓷砖通过整个瓷砖的对称性与其他每个瓷砖相关联的瓷砖是平铺1-传递.A瓷砖k个对称明显的瓷砖平铺-k-传递。平铺的及物性类增量为分裂所选磁贴的所有对称副本。我们允许的分割操作包括向平铺内部添加一条边，可以是在顶点和非重合边之间，也可以是在两条不同边之间，或者是在两个非重合顶点之间。

复杂性的第二个区别与瓷砖的内部对称性有关。瓷砖是基本的如果整个平铺没有对称性，则将其映射到自身上。如果瓦片具有内部对称性，则定义为非基础的非基础瓷砖通过以下方式获得胶合基本磁贴的副本。如果边缘与镜像线重合，或者在其中点具有双重旋转对称中心，则可以在基本瓷砖的边缘上进行粘合。或者，如果顶点是旋转对称的固定点，则可以将基本瓷砖的副本粘在顶点周围(即在圆顶的圆锥体或角点处）。

继胡森之后（1993)，我们按照以下顺序列举Delaney–服饰符号。我们的计数与Huson（1993）的略有不同)以及Balke&Huson（1996）)，因为我们排除了少于三个边的瓷砖（原因如下）。

（1）从具有给定orbifold的tile-1传递基本平铺开始。这些平铺称为F平铺。Coxeter orbifolds（万花筒类）只有一个这样的F-tiling；所有其他orbifold家族都有一个以上的家族。

（2）通过对F-瓷砖进行粘合操作来确定所有额外的瓷砖-1-过渡瓷砖，以获得FG瓷砖。FG瓷砖的一些示例如图7所示.

图7
球面对称双曲平面的三个tile-1传递拼接 $[\star{\tt 246}]$ ：基本瓷砖(一)和六种可能的胶合瓷砖中的两种(b条,c（c）). (b条)通过顶点粘合获得(c（c）)从边缘胶合。背景色方面 $[\star{\tt 246}]$ 对称性。

（3）通过对每个F-平铺应用拆分操作来确定所有平铺2-可传递的基本平铺。由此产生的病例是FS tilings。

（4）通过对FS-tiling应用胶水操作，确定所有可能的tile-2-transitive非基础瓷砖。应用于单个平铺类的粘合操作的结果称为FSG-tilings。当粘合操作应用于这两个tile类时，我们得到一个FSGG-tiling。见图8有关这些拆分和粘合操作的说明。

图8
一系列平铺说明了平铺的方式-k个-传递平铺由基本平铺（F）通过分割（S）和粘合（G）操作创建。这个 $[\星{\tt 2223}]$ 基本平铺1传递F平铺分为FS类型的平铺2传递平铺。两个互补的粘合操作产生了两个新的FSG型瓷砖2-传递瓷砖。最后，通过应用这两种粘合操作，我们获得了FSGG型瓷砖。

（5）继续使用由两个分割操作生成的平铺3传递基本平铺，然后执行最多三个粘合操作，依此类推。

上述过程形成了按tile-transitivity类排序的平铺。在表4中，我们给出了11个Coxeter orbifold中每个tile-1和tile-2传递平铺的D符号数。

表4
D符号枚举的总结

瓷砖在每个对称圆形内枚举，并根据生成瓷砖符号所需的粘合和/或分割操作进行分组。如文中所述，每个平铺符号有效地表示两个平铺：平铺传递版本及其顶点传递对偶。还列出了在每个orbifold中发现的不同平铺符号的总数。

	1-传递		2-传递
Orbifold符号	F类	前景	可行性研究	FSG公司	FSGG公司	瓷砖数量
$[\star{\tt 246}]$	1	6	6	42	56	204
$[\star{\tt 266}]$	1	4	4	22	30	112
$[\星{\tt 344}]$	1	4	4	22	38	128
$[\star｛\t2223｝]$	1	5	10	71	115	366
$[\星{\tt 2224}]$	1	5	10	71	115	366
$[\star{\tt 2323}]$	1	三	7	37	67	216
$[\星{\tt 2244}]$	1	5	9	69	123	394
$[\star{\tt 2^5}]$	1	2	5	34	68	201
$[\星{\tt 2626}]$	1	三	7	37	67	216
$[\star{\tt 2^6}]$	1	2	7	53	130	375
$[\星{\tt 4444}]$	1	2	4	19	39	128

总计	52		1398			2706

生成附加平铺而无需进一步拆分或粘合操作的简单方法是引入双重操作定义为用顶点替换每个平铺，如果原始平铺相邻，则用边连接这些顶点。图9中给出了一些示例.双重平铺与原始平铺具有对称性。此外，它具有反转的二维拓扑特征：对偶顶点的度数等于原始多边形块中的边数，对偶块是一个与原始顶点度数相等的有序多边形。这就是为什么我们要求平铺至少有三条边：以便双顶点至少为三度。

图9
二元性图解。每列在其双顶点2-传递平铺上方显示平铺-2传递平铺，以及orbifold和平铺类标签（其中F、S和G分别表示基本平铺、分割和粘合操作）。对称瓷砖 $[\star{\tt 266}]$ 说明了在初始tile-transitive枚举中不存在对偶D符号的一般情况。相反，具有对称性的瓷砖 $[\星{\tt 344}]$ 都是平铺2和顶点2传递的。每个都是生成的通过不同的FSGG序列应用于 $[\星{\tt 344}]$ 基本平铺，这对平铺称为“相互对偶”。第三列对称瓷砖 $[\star{\tt 2323}]$ 显示了一个自对偶示例。

通过附加顶点，我们并没有将D符号的数量增加一倍-k个-瓦的传递对偶-k个-传递符号。这是因为有些瓷砖自对偶，而其他符号可以作为相互对偶的; 示例如图9所示从11个Coxeter orbifold中的tile-1传递平铺列表中，我们发现了三个自对偶D符号：规则的{6,6}平铺（在 $[\star{\tt 266}]$ )，半规则（6，6）瓷砖( $[\star{\tt 2323}]$ )，和规则的{12,12}平铺( $[\star｛\t2626｝]$ ).¹在平铺2传递平铺中，我们发现17个自对偶符号。来自原始tile-transitive枚举的一对D符号被称为“相互对偶”，当它们是彼此的对偶时——即还获得了对偶符号通过基本瓷砖传递瓷砖的一系列劈开和粘合。这样的一对只产生两个不同的D符号，而不是四个。我们发现了三对tile-1-和vertex-1-transitive，15对tile-1-vertex-2-transitivetiling和tile-2-vertex-1-transitives，以及69对tile-2-，vertex-2-transitivative。因此，从我们对1450个平铺1和2传递D符号的枚举中生成通过分裂和粘合操作，在考虑了它们的对偶之后，我们总共获得了2706个不同的D符号，对应于对称性为131个子群之一的平铺。在这些不同的子组平铺，95个示例是顶点1或平铺1传递。

为了便于参考，我们为2706个D符号中的每个符号指定了一个不同的形式名称QCn（质量控制编号），其中n个=1，2，3，…，特征子组平铺。我们将字母大写以表示平铺（与网络相反，网络的名称将包含小写字母）`Q’是指P（P）,D类和克立方对称TPMS系列；字母“C”表示子组瓷砖来自（第3代）立方胎压监测系统的Coxeter orbifold系列。名称的最后一部分是索引，n个，根据以下排序键对2706个不同的D符号进行排序：

$[（\ min\{v，t\}，v，t，\hbox{D符号}）。]$

在这里五是顶点传递性，吨是瓷砖的及物性，D符号具有Delgado-Friedrichs（2003）讨论的自然顺序). 因此子组瓷砖质量控制1–质量控制95是与P（P）,D类和克表面，以及质量控制96–质量控制2706都是2传递瓷砖。如果我们选择继续拆分-粘贴序列并枚举tile-3传递tilings新的生成的符号可以附加到这个列表的末尾，因为任何碰巧具有较低顶点传递性的对偶都已经出现在第一个2706中子组瓷砖。

4.嵌入和展开Delaney–服饰符号

在上一节中，我们描述了如何枚举对瓷砖的对称性和拓扑进行编码的Delaney–Dress符号。我们的下一步是采用瓷砖的这些抽象表示，并确定双曲平面中与P（P）,D类和克表面覆盖图。我们称此过程为嵌入.

嵌入操作是从单连通二维双曲空间中的分片到多连通三周期极小曲面上的分片的多对多映射。首先，单个D符号可以有多个投影到不同表面网格的实现。其次，两个嵌入的D符号（例如来自不同的子组）可以生成相同的表面网状结构。对嵌入过程的澄清涉及到一些微妙之处，需要我们超越Delaney–Dress-tiling理论，因为标准理论仅适用于简单连接的空间。为了枚举多连接TPMS的不同分片，我们需要在 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ 平移域。找到这样的表示称为展开我们称这些嵌入和展开瓷砖U形瓷砖.

在进一步讨论之前，我们必须澄清我们所说的“同一表面网状结构”是什么意思。由于我们的周期最小曲面具有高度对称性，因此如果它们的Delaney–Dress-chamber系统相关，我们说两个曲面贴片是等效的通过表面对称，否则它们是不同的。曲面的对称性拉回（通过覆盖贴图）到 $[\star{\tt 246}]$ 双曲线平面上的对称性，因此如果D室相关，则两个U形瓷砖投影为等效的表面网格通过对称性来自 $[\star{\tt 246}]$ .²

生成展开的D符号的过程涉及多个步骤，其复杂程度取决于原始D符号的对称性。为了澄清说明，我们首先讨论了瓷砖的施工 $[\star{\tt 246}]$ 对称性（§4.1); 后面将讨论其他Coxeter圆形瓷砖（§4.2).

4.1. 中的平铺 $[\star{\tt 246}]$

首先，我们引入了一种三角剖分法，称为 $[\星{\tt 246}/T]$ 图表。此图表在中的几何图形之间架起了一座桥梁 $[｛\b H｝^2｝$ 和集团结构 $[\star{\tt 246}]$ 模 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ 平移域。然后我们描述如何在 $[\star{\tt 246}]$ 基本域。最后，我们使用 $[\星{\tt 246}/T]$ 图表作为展开 $[\star{\tt 246}]$ D符号与 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ 对称性。

4.1.1. 这个 $[\星{\tt 246}/T]$ 图表

这个 $[\星{\tt 246}/T]$ 图表是一个三角图，三角图上有96个不同的三角形 $[\star{\tt 246}]$ 表示中元素的单词 $[\星{\tt 246}/T]$ 商组。此图表构成了展开D符号的基础 $[\star{\tt 246}]$ 对称成D符号 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ 对称性。我们在 $[\star{\tt 246}]$ 三角测量和反射组，使用下面描述的过程（图10将有助于可视化）。

图10
96种不同的翻译 $[\star{\tt 246}]$ 三角形 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ 的域P（P）,D类和克表面为浅色和深灰色阴影。与中心十二边形接壤的12个域是平移后的中心多边形的图像吨₁,吨₂,吨_三,τ₁,τ₂和τ_三.标记的三角形R（右）₁,R（右）₂和R（右）_三是身份三角形的合适图像吗我经过反思。标记的三角形V（V）是的图像我在a下π/2绕圆圈顶点旋转。这个R（右）_三三角形的邻域V（V）,虚拟现实_三，位于中央十二角形的外面，是标记的三角形的平移W公司,即,虚拟现实_三=吨₂W公司.

（1）首先，我们列出了商组的96个不同元素 $[\星{\tt 246}/T]$ 。我们使用间隙包裹千兆赫（单体和群中Knuth–Bendix的缩写），尽管有陪集枚举算法就足够了（GAP Group，2002 ; 霍尔特，1998 ). 商群陪集由反射中的最小单词表示R（右）₁,R（右）₂,R（右）_三. The千兆赫枚举使用从给定的生成器顺序派生的短lex顺序。附录中完整列出了96个元素C类，表15。

（2） $[\star{\tt 246}]$ 基本域是一个三角形，由以一定角度相交的镜像线包围π/2,π/4和π/6.基本瓷砖 $[{\bb H}^2]$ 由这些域组成，其中4个、8个和12个三角形在 $[\星号{\tt 2}]$ , $[\星号{\tt 4}]$ 和 $[\星号{\tt 6}]$ 角点。我们选择一个初始三角形并给它标识元素的标签，我.

（3）自从反射R（右）₁,R（右）₂和R（右）_三将身份三角形映射到它的三个邻居上，这些三角形会相应地进行标记。这个R（右）₁三角形是与 $[\星号{\tt 4}]$ 角点，R（右）₂位于最短边（与 $[\star{\tt 6}]$ 角），以及R（右）_三邻居共享身份的斜边吗 $[\star{\tt 246}]$ 三角形，与 $[\星号{\tt 2}]$ 点。

（4）我们继续按最小值标记每个三角形R（右）-将身份三角形映射到其上的单词。通过连续性 $[\星号{\tt 4}]$ , $[\star{\tt 6}]$ 和 $[\star｛\tt 2｝]$ 给定三角形的角，V（V），将是虚拟现实₁,虚拟现实₂和虚拟现实_三例如R（右）₁是R（右）₁R（右）₁=我,R（右）₁R（右）₂和R（右）₁R（右）_三和的邻居R（右）₂是R（右）₂R（右）₁=R（右）₁R（右）₂,R（右）₂R（右）₂=我和R（右）₂R（右）_三.转换每个相邻字的过程虚拟现实_我其最小版本称为单词缩减，并使用千兆赫包裹。

（5）翻译周期通过在 $[\星{\tt 246}/T]$ 商组，而不是全部 $[\star{\tt 246}]$ 组。图10中的图表例如，显示了 $[\星号{\tt 2}]$ -三角形的邻域V（V），带标签虚拟现实_三位于十二角形的96个元素之外。实际上是三角形虚拟现实_三是三角形的图像W公司在翻译下吨₂在商组词约简中，我们发现 [VR_3至t_2W] 因此，在紧凑的tritorus中，三角形V（V）和W公司是他们对面的邻居吗 $[\星号{\tt 2}]$ 角。我们附上吨₂转换到该邻接信息以标记边界或切割线，从而使我们能够将紧凑曲面三角剖分转换为中的通用覆盖 $[{\bb H}^2]$ 。我们还使用切割线从 $[{\bb H}^2]$ 至表面网状结构 $[{\bb E}^3]$ 第5.1节对此进行了说明.

如上所述 $[\star{\tt 246}]$ 等距将身份三角形映射到某个图像三角形上，并从我例如等距将身份三角形映射到W公司三角形是R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁，见图10根据惯例等距操作从左侧开始，因此从右向左读取连续反射的顺序。相比之下，通过与此相关联的三角测量的路径 $[\star｛\t246｝]$ -这个单词是从左向右读的。它开始于我，访问其`R（右）_三-邻居'（与其相对的三角形 $[\星号{\tt 2}]$ -角），然后这个三角形`R（右）₁-neighbor（与a相对的三角形 $[\星号{\tt 4}]$ 角）等，结束于标记的三角形W公司类似地，三角形V（V）由起始于的路径到达我然后（从左到右阅读）根据单词拜访邻居R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁，图10中围绕圆圈顶点的两倍旋转.

最后，映射的翻译W公司到上面虚拟现实_三可以通过三角剖分中的路径进行编码W公司到虚拟现实_三通过我,

$[W^{-1}\cdot V\cdot R_3=R_1R_3R_2\，R_1R_3R_1R_2\cdot R1R_3R_1\，R_2R_3R_1\cdot R_2=t_2。]$

表达式的单词缩减吨₂方程式（1）中给出使用身份(R（右）₁R（右）_三)⁶=我这意味着单词的中心部分会减少为

[R_1R_3R_1R_3R_1R_2R_1=R_3R_1R_3R_ 1R_3。]

4.1.2. 嵌入 $[\star{\tt 246}]$

现在我们回到Delaney–服饰符号和将其嵌入双曲线平面的问题。不熟悉Delaney的读者——着装理论应参考附录B类相关定义。

D符号的嵌入 $[\star｛\t246｝]$ 对称性比其他子组简单有两个原因。首先，基本域的几何结构是由双曲三角形的角度唯一确定的。其次，三个不同的角度只允许一种方法将D符号嵌入到这个基本域中。

例如，考虑瓷砖1-过渡胶合瓷砖（如图7所示b条). 此瓷砖的D符号如表5所示并嵌入到 $[\star｛\t246｝]$ 基本域如图11所示.D符号有两个标有一和b条形成了 $[\star{\tt 246}]$ 球形。嵌入此符号相当于确定两个腔室如何位于 $[\star{\tt 246}]$ 三角形。每个三角形室都有一个0、1和2顶点，分别对应于瓷砖的顶点、边缘中点和瓷砖质心。首先注意，D符号指定一和b条沿其0边相邻，即与瓷砖顶点相对的房间边缘一和b条在其1和2边上是自邻接的。这意味着0边位于 $[\star{\tt 246}]$ 域和1边和2边沿镜像边界分布。拓扑指数米₁₂指定位于每个房间的0顶点处的平铺顶点的阶数。所以的0顶点一具有度6和0顶点b条拥有4级学位。这告诉我们一必须坐在 $[\star{\tt 6}]$ 的角点和0-顶点b条必须坐在 $[\星号{\tt 4}]$ 角落。最后，索引米₀₁指定以腔室的2顶点为中心的平铺顺序。在本例中，单个平铺是四边形和2-顶点（两者都是一和b条)坐在 $[\star｛\tt 2｝]$ 角落。

表5
The Delaney–粘合瓷砖的连衣裙符号 $[\star{\tt 246}]$ 前景3

	一	b条
0-丁腈橡胶	b条	一
1-国家广播公司	一	b条
2个-国家广播公司	一	b条
米₀₁	4	4
米₁₂	6	4

图11
胶合（FG）瓷砖的腔室系统 $[\star{\tt 246}]$ (囊性纤维变性。图7

b条和表5

). 只有一个 $[\star{\tt 246}]$ 基本域如图所示，有两个腔室一和b条用蓝色标记，用红色标记其0、1和2顶点。瓷砖边缘和顶点用粗黑线和点表示。细长的黑线位于1-邻室之间，虚线位于0-邻室之间。

一般来说，我们知道D符号的腔室必须形成 $[\star{\tt 246}]$ 基本域。因此，我们需要确定沿镜面边界的腔室边缘，以及围绕每个角点跟踪电路的腔室行走 $[\star{\tt 246}]$ 三角形。该信息来自相邻信息和D符号给出的拓扑指数。一旦确定了镜面边界和角点，我们就可以推断剩余腔体嵌入到基本域中。

4.1.3. 展开到tritorus中

一旦我们知道D符号如何位于 $[\star{\tt 246}]$ 基本域，我们可以使用 $[\星{\tt 246}/T]$ 图表展开这个D符号以覆盖tritorus，从而获得一个更大的D符号 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ 对称性。该过程涉及一个简单的平铺重写过程，如下所述 $[\star{\tt 246}]$ 基本瓷砖，如图12所示.

图12
展开基本面的D符号 $[\star｛\t246｝]$ 拼接成具有对称性的拓扑等价拼接 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ （展开的D符号）。插图显示了三个基本域的腔体标签（较深的标签）。根据 $[\star{\tt 246}]$ 对称性具有模6的相同标号。红色标签标记腔室系统的0、1和2个顶点。

的D符号 $[\star{\tt 246}\，\，{\rm F}]$ 包含标记为0到5的六个腔室。自从 $[\星{\tt 246}/T]$ 图表有96个三角形 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号源自 $[\star{\tt 246}\，\，{\rm F}]$ 将有576个房间。这些腔室贴有标签，以便腔室n个与燃烧室对称等效n个[模数（6）]，见图12。在本例中，与0和1顶点相对的腔室邻接正是从 $[\star{\tt 246}\，\，{\rm F}]$ 符号。两条边上的邻接关系从一个图块映射到其相邻图块，因此这些关系是从 $[\星{\tt 246}/T]$ 图表结构。上定义的切割 $[\star{\tt 246}]$ 图表也附在适当的D腔邻接处，并记录为标准D符号形式的附加信息。这些切割有效地定义了嵌入 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号插入T型子组属于 $[\star{\tt 246}]$ .

这个胶和分裂§3中所述的操作保持对称群，使其腔体覆盖相同的基本orbifold域。因此，与平铺相关联的展开D符号生成通过分割和粘合操作的进行方式与上面描述的基本平铺几乎相同。

4.2. 其他万花筒子群中的平铺

接下来考虑对称性为的万花筒子群的D符号的构造 $[\star{\tt 246}]$ 这些D符号的嵌入和展开基本上以与所述相同的方式进行 $[\star{\tt 246}]$ 然而，我们将看到 $[\star{\tt 246}]$ 可以以多种方式嵌入，使施工更加复杂，但会产生额外的表面网状物。

4.2.1. 正在构建子组图表

这个 $[\star{\tt 246}]$ 图表是根据商群结构的知识构建的，即的显式表示吨_我,τ_我翻译R（右）₁,R（右）₂,R（右）_三反思。虽然我们构建了131个子组吨_我,τ_我翻译为元素，我们没有吨_我,τ_我翻译为单词子组生成器，因此使用组合过程获得子组图表。对于14个千变万化的亚组来说，这是可行的，因为每个亚组子组基本域是从k个整体 $[\star{\tt 246}]$ 三角形，其中k个是子组的索引。

获得万花筒的基本域子组我们使用陪集标签 $[\star{\tt 246}]$ 三角形子组行动。一组连续的k个不同的陪集元素为我们提供了一个基本域。例如， $[\star{\tt 2323}]$ ，订单-4子组属于 $[\star{\tt 246}]$ ，有一个从四个方面构建的基本域 $[\star｛\t246｝]$ 标记的三角形我,R（右）₁,R（右）₂和R（右）₁R（右）₂，如图13所示.这个 $[\star{\tt 2323}]$ 域是通过其边界上的反射来复制的，我们使用累积算法一次获得一个基本域。例如，相邻的基本域是标记的三角形集{R（右）_三,R（右）_三R（右）₁,R（右）_三R（右）₂,R（右）_三R（右）₁R（右）₂}，即，下面的图像R（右）_三初始域的。的数量子组覆盖tritorus的基本域是96/k个，所以 $[\星{\tt 2323}/T]$ 图表有24个四边形。

图13
这个 $[\star{\tt 2323}]$ 子组图表。基本领域 $[\star{\tt 2323}]$ 是从四个 $[\star{\tt 246}]$ 标记的三角形我,R（右）₁,R（右）₂和R（右）₁R（右）₂。需要四分之二十的四边形域来填写平移单位单元格。一组可能的24个四边形是高亮显示的（18边）多边形域。由黄色边缘包围的十二角标志着平移晶胞如图10所示

。请注意高亮显示的域与（黄色）十二边形的区别，它将三角形从一条边替换为对角相对的边。

构建 $[\星{\tt 2323}/T]$ 图表是为了识别接下来的新切割线 $[\star{\tt 2323}]$ 领域边界。从首字母开始 $[\star{\tt 2323}]$ 领域，我们成长为一个 $[\star{\tt 2323}]$ 域，目的是使该区域在双曲平面中尽可能保持圆形。该区域如图13所示最终，生长区域将在genus-3表面上相遇。发生这种情况的边定义了新的切割线，用于将三环面展开到双曲面中。通过跟踪通过底层的路径，可以找到与每条切割线相关的平移 $[\星{\tt 246}/T]$ 约束为通过我三角形和剖切边。路径定义了 $[\star{\tt 246}]$ -简化为 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ 翻译依据千兆赫单词缩减。

4.2.2. 在中嵌入和展开子组图表

将D符号嵌入和展开到子组chart使用与前面描述的相同的特征标识和平铺重写过程 $[\star{\tt 246}]$ 但是，子组的基本域没有 $[\star{\tt 246}]$ 三角形，这意味着一些D符号有多个嵌入与覆盖图兼容。生成这些多重嵌入有两种途径：具有相同orbifold的不同子群和子组基本域。我们在下面分别说明了这些情况。

首先，从表3中回忆那三个球形( $[\星{\tt 2244}]$ , $[\star{\tt 2^5}]$ 和 $[\star{\tt 2^6}]$ )以不同的子群对出现 $[\star｛\t246｝]$ .不同之处子组结构保证这些对具有不同的子组图表。因此，其中一个圆形的每个D符号都有两个不同的嵌入 $[｛\b H｝^2｝$ 。中的一个示例 $[\star｛\t2^5｝]$ 如图14所示。虽然两个嵌入具有相同的拓扑结构，但它们之间不存在对称关系 $[\star{\tt 246}]$ 从而投影到不同的表面网格。差异也很明显通过各自展开子组图表：嵌入两个不同的D符号子组图表生成不同的 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号。

图14
球形的 $[\star{\tt 2^5}]$ 显示为以下两个不同的子组 $[\star{\tt 246}]$ 。顶行显示由子组贴标签于 $[\star{\tt 2^5}（{\rm a}）]$ 在表3中

; 下面一行显示了以下类似情况 $[\star{\tt 2^5}（{\rm b}）]$ .双曲线平面上的基本瓷砖子组如左图所示。在每种情况下，我们都显示了一个分为 $[\star{\tt 246}]$ 三角形和高亮显示的平移域。中央列显示包裹在P（P）使用覆盖贴图创建曲面，形成E-tilings（其边和顶点描述E-nets）。形状不规则的单元与左侧双曲平面图像中高亮显示的区域完全对应。右栏显示了通过形成E-net拓扑的最对称欧几里德嵌入从E-tilings派生的s-net。§§5.1中描述了瓷砖和净标签

和6.3

其次，万花筒子群的自同构表现为其基本域的抽象对称性，这可能与 $[\star｛\t246｝]$ 。当子组域具有非由元素诱导的自同构 $[\star{\tt 246}]$ 。如果平铺没有显示相应的自同构它有两个不同的嵌入物，与 $[\star{\tt 246}]$ 对称性，因此映射到不相等的表面网状结构。具有自同构的万花筒子群可以产生不同的D符号嵌入 $[\星{\tt 2224}]$ , $[\star{\tt 2^5}（{\rm a}）]$ , $[\star{\tt 2^5}（{\rm b}）]$ , $[\星{\tt 2626}]$ , $[\星{\tt 4444}]$ 和 $[\star{\tt 2^6}（{\rm a}）]$ .

我们用一个例子来说明这种情况。小组 $[\星{\tt 2223}]$ 和 $[\星{\tt 2224}]$ 都有四边形基本域和自同构交换了两个对立的 $[\星号{\tt 2}]$ 角点（见图15). 这个自同构属于 $[\星{\tt 2223}]$ 通过与 $[\star{\tt 246}]$ R（右）_三反射，因此D符号的自同构嵌入将投影到等效的表面网格。The geometry of the $[\星{\tt 2224}]$ 子组域显示自同构其域的不是 $[\star｛\t246｝]$ 夫妻关系。现在假设我们有一个嵌入在 $[\星{\tt 2224}]$ 域，并考虑子组自同构。显然，这会导致D符号的新嵌入，这可能与原始嵌入等效，也可能不等效。只有当D符号具有自同构对应于自同构的子组域。因此，额外边缘将域划分为两个四边形的分割平铺（如图16所示)将有两个不同的嵌入，但两个相对顶点之间的拆分不会。

图15
基本瓷砖 $[\star｛\t2223｝]$ 和 $[\星{\tt 2224}]$ 子组，每个子组都显示有一个细分为 $[\star{\tt 246}]$ 三角形。这个自同构交换两个相反的 $[\星号{\tt 2}]$ 的角 $[\星{\tt 2223}]$ 由 $[\star{\tt 246}]$ 等距，但事实并非如此 $[\星{\tt 2224}]$ 。这导致一些D符号在 $[\星{\tt 2224}]$ .

图16
左：两个U平铺 $[\星{\tt 2224}]$ 获得对称性通过从 $[\星号{\tt 2}]$ —— $[\星号{\tt 2}]$ 相反的边缘 $[\星号{\tt 2}]$ —— $[\星号{\tt 4}]$ 边缘，然后在另一个边缘上涂上胶水 $[\星号{\tt 2}]$ —— $[\星号{\tt 4}]$ 边，衍生自质量控制2566.这些瓷砖是单个D符号的独特嵌入，因此产生不同的表面网状结构。为了说明这一点，我们将投影显示在P（P）曲面（中心）和生成的s网（右）。§§5.1中描述了瓷砖和净标签

和6.3

我们通过讨论子组自同构论翻译子组， T型，以及相应的展开 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号。有两种可能性：子组自同构可能会或可能不会诱发自同构属于T型.如果T型保留，则子组D符号将展开为同构 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号。如果T型未保存，然后是不同的 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ 生成D符号。唯一的万花筒子群在那里，我们看到了平铺的不同嵌入，这些嵌入展开为等价的 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号为 $[\星{\tt 2626}]$ 。这是由于自同构属于 $[\星{\tt 2626}]$ 交换了吨_我和τ_我发电机T型.这个自同构不是由 $[\star{\tt 246}]$ 等距但仍然保留了T型子组，所以展开了 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号是同构的。示例如图17所示.

图17
分体式瓷砖的两个嵌入件 $[\星{\tt 2626}]$ ，相关通过一个自同构属于 $[\星{\tt 2626}]$ 交换角色吨_我和τ_我中的翻译T型子组。平铺标签如§5.1所述

5.表面瓷砖

到目前为止，我们的列举已经从每个Coxeter orbifold中提取了不同的D符号，发现了这些符号在万花筒中的所有可能嵌入子群域，并将其展开为相应的tritorus图。结果是14个列表子组瓷砖及其展开 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ 添加了“cuts”的D符号，决定了它们嵌入T型分组。由于获得了这些tilings通过展开和嵌入在普遍的我们称之为三周期极小曲面的覆盖U形瓷砖。在本节中，我们描述了如何确定每个不同U型瓷砖的唯一代表。这些平铺与曲面覆盖贴图兼容，因此投影到P（P）,D类和克曲面给定电子平铺最后，我们还考虑了tritorus的平铺，或O型瓷砖，从这些U形瓷砖中获得。

5.1. U形瓷砖

在§4中我们描述了如何在每个万花筒中生成不同的D符号嵌入子组属于 $[\star{\tt 246}]$ 。每个U平铺由一个 $[｛\circ｝｛\circ｝｛\circ｝]$ 用切割及其前身D符号扩充的D符号。此额外信息定义了平铺在 $[\星{\tt 246}/T]$ 域。我们确定哪些U形瓷砖产生等效的表面网格，如下所示。

回顾§4导言如果胎压监测系统的燃烧室系统相互关联，则胎压监测器系统的两块瓷砖是等效的通过表面的对称性。因此，如果两个U平铺具有不同的 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号，或者如果它们是相同的不同嵌入 $[｛\circ｝｛\circ｝｛\circ｝]$ D符号。第一种情况很容易使用组合平铺算法进行测试。第二个要求提供有关U形瓷砖嵌入T型子组，无论是从切割，还是从对嵌入和展开过程的理解。通过构造，在特定的子群图表与众不同。但是，定义了两个U平铺通过不同的子组图表可能有相同的 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号和等效的“cuts”。当两个前兆D符号及其嵌入通过在 $[\star{\tt 246}]$ 子组晶格（见图6). 示例如图18所示，其中我们看到了具有对称性的顶点1传递平铺 $[\星{\tt 2224}]$ ，以及两个不同的对称性降低到子群中的顶点2-传递平铺 $[\star{\tt 4444}]$ 和 $[\star{\tt 2^6}（{\rm b}）]$ 三个U型瓷砖具有同构性 $[｛\circ｝｛\circ｝｛\circ｝]$ D符号和等效嵌入。

图18
U平铺等价类中的三个子组平铺UQC公司24.对称瓷砖 $[\star{\tt 4444}]$ 和 $[\star{\tt 2^6}（{\rm b}）]$ 是对称瓷砖的两种不同的对称降低 $[\星{\tt 2224}]$ 在每种情况下，突出显示单个基本域。

接下来，我们考虑14个U-tilings列表的并集，通过比较 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号，并且发现存在6079个不同的U形线。我们给他们指定表格的名称UQCn公司，其中“Q”和“C”代表立方体的和考克塞特.运行指标n个通过对不同的U型线进行排序来确定 $[｛\circ｝｛\circ｝｛\circ｝]$ D符号(囊性纤维变性。§3). 如果两个不同的U形平铺具有相同的 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号，与 $[\星{\tt 2626}]$ 图17的示例，它们以任意顺序列出。在表6中，我们给出了在每个万花筒中发现的U形瓷砖的数量子组。我们只计算一次U平铺的每个等价类子组具有最高对称性的前体瓷砖。

表6
14个万花筒双曲对称群与P（P）,D类和克曲面

第二列中给出了每个子组生成的不同U平铺数(囊性纤维变性。表4). 这个P（P）,D类和克平铺柱列出了由每个双曲对称性产生的表面网状结构的欧几里德空间群。

子组名称	U型瓷砖数量	P（P）平铺	D类平铺	克平铺
$[\star{\tt 246}]$	204	$[Im{\overline 3}m]$	$[Pn{\overline 3}m]$	$[Ia{\overline 3}d]$
$[\star{\tt 266}]$	92	$[Pn{\overline 3}m]$	$[Fd{\overline 3}m]$
$[\星{\tt 344}]$	108	$[Pm{\overline 3}n]$		$[I{\overline 4}3d]$
$[\星{\tt 2223}]$	336	$[Pm{\overline 3}m]$	P（P）4₂32	我4₁32
$[\star｛\t2224｝]$	694	我4/米米米	P（P）4₂/n个n个米	我4₁/一c（c）d日
$[\star｛\t2323｝]$	183	P（P）4₂32		我2₁三
$[\star{\tt 2244}（{\rm a}）]$	366	P（P）4₂/米米c（c）		$[I{\overline 4}2d]$
$[\star{\tt 2244}（{\rm b}）]$	370	P（P）4/n个米米	我4₁/一米d日	我4₁/一
$[\star{\tt 2^5}（{\rm a}）]$	889	P（P）4/米米米	P（P）4₂22	我4₁22
$[\star{\tt 2^5}（{\rm b}）]$	893	F类米米米	C类米米一	F类d日d日d日
$[\星{\tt 2626}]$	396	$[R{\上划线3}m]$	$[R{\上划线3}m]$
$[\star{\tt 4444}]$	211			$[I{\overline 4}]$
$[\star{\tt 2^6}（{\rm a}）]$	1026	C类米米一	我米米一	C类2/c（c）
$[\star{\tt 2^6}（{\rm b}）]$	327	P（P）米米米	P（P）222	我2₁2₁2₁

5.2. E-瓷砖

现在，我们将每个U平铺从双曲线平面映射到P（P）,D类和克周期最小曲面，形成电子平铺，其中“E”表示Epinet。每个不同的U形瓷砖UQCn公司正好映射到三个E-tiling，我们给它们直接对应的名称，EPC编号,EDCn公司和EGC编号; 见图19E tilings是我们的枚举方案所围绕的二维和三维结构之间的桥梁。它们是二维的，因为它们几乎完全由U平铺定义；三维结构由覆盖图和特定TPMS的几何结构给出。更具体地说，我们在双曲线平移上使用覆盖贴图操作， $[t_i，tau_i\在t中]$ （如表2所示第§2条)映射附加到 $[｛\circ｝｛\circ｝｛\circ｝]$ D符号转换为欧几里德翻译。因此，E-tiling由同一对子组瓷砖和 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号作为U平铺，但切割是以欧几里德翻译，而不是双曲线翻译。

图19
单个双曲线平铺–此处为顶点2传递 $[\star{\tt 246}]$ 由一系列拆分和粘合操作形成的平铺–在P（P）,克和D类曲面。E-tilings的边和顶点描述了E-net(电子产品控制473,废气再循环473和电子数据中心分别为473）。由e-net拓扑引起的规范嵌入导致了不同的s-net，如e-tiling先行项下面所示。

通过更详细地考虑覆盖映射作用，可以找到E-tilings的空间群对称性。从§2召回覆盖图会导致群同态， $[\phi:\星{\tt 246}\到S]$ ，其中S公司是空间组非定向表面。地图 $[\phi]（磅）$ 是双曲线反射之间的显式关系R（右）₁,R（右）₂和R（右）_三和欧几里德等距S公司.如果我们现在限制 $[\phi]（磅）$ 对于万花筒般的亚组之一， $[\Gamma\subset\star{\tt 246}]$ ，然后是图像 $[\phi（\Gamma）]$ 是一个子组欧几里得的空间组 S公司给出了二维双曲（离散）群和三维欧氏空间群之间的优雅对应。这一程序将在未来的出版物中详细探讨。我们给出了对应于每个万花筒的表面空间组子群在表6中.

5.3. O-瓷砖

我们的双曲线平铺也定义了tritorus的平铺，我们称之为O-tilings。这些瓷砖是通过将U型瓷砖包裹在tritorus上而形成的，tritorus的结构如§4.1.3所述。我们通过不同的 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号。在我们当前的枚举中，我们发现5912个O-tilings。这小于不同U平铺的数量（6079），因为 $[\星{\tt 2626}]$ §4.2.2末尾讨论的示例.

6.瓷砖网

在本节中，我们考虑从平铺的顶点和边导出的网络。文献中可以找到“net”一词的各种定义；我们在这里用这个词来表示嵌入度量空间的图。具体来说，我们研究了嵌入双曲平面、tritorus和周期极小曲面中的网络，称为h网络,o型网络和电子网络分别是。最后，我们丢弃了e网中可能存在的边缘纠缠，以研究它们的拓扑结构和最大对称嵌入 $[{\bb E}^3]$ ，并调用结果结构s网络.h网仍嵌入其父空间（双曲平面）中，而o-网、e-网和s-网则嵌入三维欧氏空间中。

有一个简单的标准形对于允许在双曲线平面上容易区分不同网络拓扑的h-网。然而，在定义三维嵌入式网络的等价类时必须谨慎，即e-net、o-net和s-net类别。我们对特定嵌入的琐碎几何变形不感兴趣。非琐碎变形可能包括那些改变图中边的纠缠或图拓扑的变形。我们为定义等价类o型网络和电子网络包括与不涉及边交叉的变形相关的所有图形嵌入。因此，我们的目标之一是确定环境同位素下网络的等效类别：即，如果两个网络的嵌入空间可以连续变形，从而将一个网络映射到另一个网络上，而不允许边相互穿过，则这两个网络是等价的。这导致了网络的不同纠缠版本之间的区别，即不等价的o网或e网，类似于空间中环路的不等价纠缠之间的区别，即不同的结。最后，的等价类s网络包括具有相同图形拓扑的所有网络。对于h-net，有一个标准形对于s网络，它允许容易识别大多数不同的示例。

6.1. h-网络

如图20所示，许多平铺可以承载相同的网络拓扑。由于Delaney–Dress符号对拓扑和对称进行编码，因此此类瓷砖具有不同的D符号。显然，不同h-net拓扑的数量将少于不同h-net的数量子组表4中列举的瓷砖第3节.

图20
三个具有相同拓扑结构的双曲线U形平铺[Schäfli符号（6，4）]，但具有不同的对称性，通过背景阴影突出显示。所有三个示例都具有相同的h-net，总部9，最对称的嵌入( $[\star{\tt 246}]$ )双曲线（6,4）网。

我们采用的约定是，h-网应该由具有最大可能对称性的平铺表示。使用组合平铺理论，找到给定平铺的最高对称版本的过程相当简单——它相当于计算最小图像^三D符号（Delgado-Friedrichs，2003). 由于最小图像D符号将网络分类为双曲平面上的同胚，因此它们是一个规范形式用于h网络。

通过将最小图像算法应用于2706，我们获得了2451个不同h-net拓扑的列表子组表4中提到的瓷砖结果如表7所示和由最小图像D符号的圆形组织。尽管我们从来自的万花筒子群的D符号开始 $[\star｛\t246｝]$ 例如，生成的h网具有更广泛的对称类型 $[{\tt 2}\星{\tt 26}]$ ，一个帽子具有单锥点和镜像边界的球形。此外，h-网对称性不必是 $[\star{\tt 246}]$ 例如， $[\星{\tt 248}]$ 这是因为D符号的最小图像可能会形成一个平铺，其对称性为超群初始平铺的对称性。该h网络目录将使我们能够比较不同类别胎压监测系统的网络。

表7
通过对称化子组尽可能多地贴瓷砖

Orbifold分为三类。人口最多的类是来自与P（P）,D类和克曲面。还列出了另外两个类（由空白行分隔）：P（P）,D类和克类和帽子圆形。从表4中列举的符号派生出的h网络总数为2451；其中只有126个具有不同于原来11个球体的对称性。

奥比福尔德	h网络数量
$[\star{\tt 246}]$	204
$[\star{\tt 266}]$	92
$[\星{\tt 344}]$	108
$[\星{\tt 2223}]$	336
$[\星{\tt 2224}]$	326
$[\star{\tt 2323}]$	167
$[\星{\tt 2244}]$	358
$[\star｛\t22222｝]$	161
$[\星{\tt 2626}]$	168
$[\星{\tt 222222}]$	314
$[\星{\tt 4444}]$	91

$[\星{\tt 248}]$	28
$[\star{\tt 446}]$	14
$[\星{\tt 488}]$	14
$[\star｛\tt 2（12）（12）｝$	11
$[\star第24（12）条]$	10
$[\star{\tt 2226}]$	4
$[\星{\tt 288}]$	三
$[\星{\tt 23（18）}]$	2
$[\star{\tt 238}]$	2
$[\star{\tt 239}]$	2
$[\star{\tt 245}]$	2
$[\星{\tt 334}]$	2

$[{\tt 2}\星{\tt 23}]$	10
$[{\tt 2}\星{\tt 26}]$	10
$[{\tt 2}\星{\tt 222}]$	6
$[{\tt 2}\星{\tt 44}]$	6

总计	2451

6.2. 电子网络

我们称之为三周期极小曲面E-tilings的边骨架电子网络，其中“e”再次指Epinet。回想一下，不同的电子网的特点是嵌入在三维空间中，如果没有边缘交叉或底层图形拓扑的改变，则无法相互变形。因此，特别是不同的电子网可能具有相同的拓扑结构。这种情况类似于环的明显打结，其特征是环境同位素（Adams，2004）).

由于e-net继承了e-tiling在拓扑复杂的TPMS中的嵌入，因此其边缘可能在三维空间中表现出复杂的纠缠，这些纠缠是由表面信道的绕组引起的；例如，电子网可以是自连锁的（如图24所示）。

电子网也可以是多图，有多条边连接一对顶点。这些多重图可以由两个来源产生。这两种场景的区别在于E-tilings中出现的不同类型的边循环：那些绑定瓷砖并完全位于曲面中的边循环，称为“null-homotopic环”，以及那些不绑定曲面片的边循环。前一个循环出现在二维万能覆盖中，后一个循环则没有。因此，第一个例子是由h-网引起的，它本身就是多图；这些生成如下。我们的Delaney–Dress tiling枚举允许相邻瓷砖共享多个边缘；示例很容易通过穿过入射到 $[\星号{\tt 2}]$ 顶点。这种瓷砖的示例如图21所示(一). 这些平铺的对偶必然是多图，有一对边连接与原始平铺中的多边共享面相对应的顶点（图21b条).

图21
(一)对称的FSGG瓷砖 $[\star{\tt 266}]$ 。请注意，相邻瓷砖的两个边缘是共用的，因此边缘装饰由具有单个内部边缘的风筝组成。(b条)的双重平铺(一)由风筝和星星组成。共享两个顶点的相邻恒星的边缘必然会扭结，以容纳与风筝双重的间隙拉长的风筝状面(一). 这些（无顶点）边使h-net成为多重图。

或者，一些本身是简单图的h-net由于覆盖映射操作而产生e-net多重图。最简单的示例发生在通道相对侧的两条边连接相同的两个顶点时。因此，生成的电子网包含一个双键。

我们给电子网络贴标签epcN公司,edcN公司和egcN公司其中，“e”表示Epinet，“p”、“d”和“g”表示三个胎压监测系统之一，“c”表示Coxeter orbifold系列。指数的值，N个，取决于网络嵌入 $[{\bb E}^3]$ ，直至边缘纠缠。例如，考虑从电子平铺生成的电子网络EDCN公司。该电子网络的名称确定如下。首先，我们将候选电子网与由简单平铺生成的不同电子网的累积列表进行比较，即 epcJ公司,egcJ公司和编辑（J），其中 $[J\in\{1，\ldots，N-1\}]$ 如果我们的候选网络与以前的电子网络等效，比如 $[epcN^{\prime}]$ ，其中 $[N^｛\prime｝\，\lt\，N]$ ，平铺不会产生新的电子网络。正式地，电子网络名称被重新映射到 $[epcN^{\prime}]$ 和标签edcN公司未使用。如果候选人与“较低”的电子网络列表不同，则使用新名称进行标记电子数据中心，其中N个与相应的E-（和U-）平铺的索引完全相同。因此，所使用的最大索引数小于或等于电子网络的总数，这是由于电子贴片骨架与之前的电子网络具有环境同位素时的未填充标签所致。该模式允许电子网的索引与电子和U平铺的索引保持一致，从而明确保留与电子网前体平铺的链接。

一个非特征退化的例子是由P（P）和D类曲面。U平铺和E平铺如图22所示这四个案例来源于四个不同的子组瓷砖（见表8)，生成等价的电子网，其最简单的嵌入（与s-net相同，平方码947)如图23所示。由于这些示例中发现的最低E-tiling指数为EDC公司1，所有四个电子网络都映射到电子数据中心1.此示例演示了不同U形和E形平铺向单个电子网络崩溃的现象。

表8
上的电子平铺列表P（P）和D类表面（图22)生成等价的电子网，所有这些都与s网一致(平方厘米947）如图23所示

两个不同的二维双曲线网产生了这些D类和P（P）曲面电子平铺：{4,6}(总部5）和{6,6}(总部10).

质量控制不。	（集团）	总部不。	平铺类型	UQC公司不。	表面
1	( $[\star｛\t246｝]$ )	5	FG（双）	UQC公司1	D类
1905	( $[\星{\tt 2626}]$ )	5	FSGG公司	UQC公司2	P（P）
三	( $[\star{\tt 266}]$ )	10	前景	UQC公司5	P（P）
110	( $[\star｛\t2626｝]$	10	FSGG（双）	UQC公司6	D类

图22
的一些电子平铺P（P）和D类导致等效电子网的表面，其最简单的嵌入如图23所示

相应的U平铺具有（4，6）和（6，6）拓扑，对应于双曲线网总部5和总部分别为10（表8

). 自EDC公司1是这些情况下的最低索引，所有电子网络都使用该名称电子数据中心1

图23
图22所示的电子瓷砖形成的电子网络

–所有边和角均相等的6度立方结构。

这里还有一个重大问题尚未解决，我们希望稍后详细探讨。与h-网和s-网相比，我们还没有产生一种算法来确定e-网的等价性或其他等价性。这个问题与识别不同的结有关，这是结理论的一个中心主题。我们怀疑，我们的问题可以通过为电子网络形成规范嵌入来解决。目前，我们只能通过“检查”来确定电子网络是否为环境同位素。等效电子网也必然具有拓扑等效性；因此，我们首先通过比较e网的拓扑结构来检查图的同构。在许多情况下，这可以通过形成重心嵌入来实现，并给出下一节所述的s-网。如果s网络不同，则e网络必然不同。如果它们是等价的，那么我们就可以确定（目前是通过肉眼）电子网络嵌入是否与它们共同的s网络的规范嵌入具有环境同位素。如果是，两个电子网都是等效的。如果有人不同，他们是不平等的；如果两者都不同，我们必须进一步研究，以确定它们是否可以在没有边缘交叉到公共中间嵌入的情况下相互变形。有些网络无法分析通过这种方法是由于重心嵌入中发生的顶点碰撞造成的。在这些情况下，无法与s-net进行比较。然后，我们必须采用其他方法来比较网络拓扑，包括协调序列（Brunner&Laves，1971 )以及子图的比较，在地形包（Blatov，2006 ).

我们以一个示例结束这一部分，如图24所示，这说明了这里讨论的许多问题。图24所示的两个电子网络(一)由回转体的平铺（位于Coxter类之外）生成，并显示出自连环。无法比较电子网络通过它们的s网，由于它们各自重心嵌入中的顶点碰撞。然而，它们共享相同的协调序列（到shell 24）和某些有限子图，这些子图强烈地表明了它们的拓扑等价性。它们的嵌入是不例如，图24中突出显示的不同链接类型证明了环境同位素(b条). 这些是（2，4）和（2，6）环面链接（Adams，2004)以彼此之间不同的线索区分。因此，这些是不同的电子网，尽管它们的拓扑等价。

图24
(一)一对菱形电子网，顶点为3度和4度。(b条,c（c）)这些电子网的子图给出了不同的双组分（2，4）和（2，6）环面链接，显示为彩色循环。

6.3. s-网络

我们已经注意到，不同的电子瓷砖可以定义相同的电子网络（图22)不同的电子网络可能共享一个公共的周期网络拓扑（图24). 通常，没有有效的算法来确定两个晶体网络何时拓扑相同。然而，对于一大类“无碰撞”欧几里德网系统算法提供了规范形式网的商图（Delgado-Friedrichs&O'Keeffe，2003 ). 我们称这些规范形式s网络.

这个Systre公司算法[作为GAVROG公司一揽子计划（Delgado-Friedrichs，2006年 )]基于找到网络的重心嵌入（或平衡位置）：每个顶点位于其相邻边的质量中心。这产生了周期网络的最高对称嵌入，并允许计算相关的空间组当没有碰撞时。A类碰撞当两个顶点在平衡位置具有相同的坐标时发生（生成碰撞的配置将在本节稍后介绍）。算法的最终输出是systre键–使用最小平移的周期网络的标记商图的规范表示单位单元格。systre密钥为拓扑同构晶体网络提供了唯一的签名（Delgado-Friedrichs&O'Keeffe，2003).

我们推导了电子网络的系统密钥和重心嵌入，以此来识别枚举生成的不同周期网络拓扑。首先，从e-tiling直接导出e-net的商图通过它的切口 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号。通过合并任何多图边，可以稍微调整e-net拓扑。然后，我们计算网络的平衡位置和系统密钥（如果可能）。列举的大多数蚊帐通过我们的双曲线平铺方法是无冲突的：从18285个E平铺（每个上的6095个U形平铺P（P）,克和D类表面）我们发现了2247个具有平衡碰撞的网络。因此，systre密钥是一种有效的工具，虽然有时不足以识别从我们的表面网状结构派生的不同网络拓扑集。事实上，大多数s-net都有一个单独的e-net先行词：在14532个不同的系统密钥中，只有954个是通过多种方式获得的。

s网络按其systre键进行排序，并分配不同的表单名称平方厘米，其中秒,q个和c（c）具有与上述相同的含义，以及索引N个源自systre-key排名。这种排序直观上很吸引人，随着索引的增加，净“复杂性”（一级，基本单元单元中的顶点和边的数量）逐渐增加。例如，根据该方案排名第一的网络，平方厘米1，是简单立方晶格的标准网；菱形网（其e-net前件是一个多重图）是平方厘米6等.

最后，我们讨论了使用重心嵌入分析网络时出现的一些问题。一个小的警告性例子——6度（4，6）圆形瓷砖 $[\star{\tt 2^5}（{\rm a}）]$ (UQC公司42）源于D表面的网状结构，形成（6级）电子网电子数据中心42–如图25所示在这里，网络的重心嵌入没有顶点碰撞，但一对边相交，导致明显的四级顶点：这种情况完全是由于边缘嵌入 $[{\bb E}^3]$ .重心嵌入电子数据中心42给出了s-net平方厘米900，除了6度顶点之外，它还包含虚拟的4度边交叉。在确定相关电子网的环境同位素类别时，s-net中的这些边交叉是有问题的。

图25
电子网络电子数据中心42根据其边缘几何形状嵌入D类表面。弯曲边的中点由不重合的黄色球体标记。重心嵌入电子数据中心42英寸 $[｛\b E｝^3]$ 给出了s-net平方厘米900.成对的弯曲边缘电子数据中心42碰撞，除了6度（绿色）顶点之外，还提供了边交叉（黄色球体）。

顶点碰撞甚至更成问题，可能涉及网络的小子集或三倍周期子图。前者的一个例子是瓷砖，其中包含一个单一的内部边缘的风筝，如图21所示相关电子网的重心嵌入使风筝的内边缘塌陷，并将其两个顶点放置在同一点上。更严重的崩溃是由“梯形”图引起的：由相同的周期网络组成的示例，这些周期网络由梯级状边连接。在这些情况下，相同的组件会完全自行折叠。图24中以两种不同的纠缠形式显示的图形就是一个例子两个网络的图拓扑都是由一对正则度为3的三次周期图构成的梯形图。梯子的每个组成部分都是一个图，化学家称之为开关磁阻传感器图表（O’Keeffe，2008 ). 如§6.2所述我们必须借助其他拓扑签名（如协调序列）来描述包含顶点碰撞的网络。

6.4. o网络

我们对tritorus平铺的计数，称为O-tilings，可以扩展到生成有限图的嵌入 $[{\bb E}^3]$ ，正如电子瓷砖引发电子网络一样。回想一下本节的介绍，与电子网络一样，o-网络是通过其环境同位素类别来区分的。与E–E图不同，由于在中形成tritorus的灵活性，单个O平铺可以诱导无限多个不同的O网络 $[｛\b E｝^3]$ 。o形瓦o形网结构的细微差别很复杂，有待详细探讨。关于这个问题的一些讨论将在即将发表的一篇论文中提出，该论文探讨了利用（第1类）环面的平铺构造纠缠多面体网，我们将向感兴趣的读者（Castle等。, 2009 ). 除了从O平铺到O网络的一对多映射外，还可能出现多对一的崩溃：从不同O平铺派生的O网络可能是等效的，即一个可以变形为另一个，而不需要任何边交叉。因此，O–O映射是多对多的。我们还没有详细探索o-net的分类，但由于它们与其他表面网状物有着密切的联系，因此在这里标记了它们的存在。

7.一个例子

本文描述的路径——从Delaney——服饰符号及其嵌入 $[\star{\tt 246}]$ （U-tilings），然后到TPMS上的E-tilings，给出电子网络及其规范 $[{\bb E}^3]$ 作为s-网的嵌入是一种遍历几何学、群论和贴片理论的方法。因此，航行相当曲折。随着手续的到位，我们提供了一个详细的工作示例-从D符号开始，到从网状结构中获得的三周期欧几里德网结束P（P）,D类和克surfaces–用于说明枚举过程生成的结构之间的连接。

我们从图26中的一系列双曲线平铺开始显示了从基本平铺传递平铺到 $[\星{\tt 2244}]$ 到tile-2-transitive分割和胶合瓷砖，到其顶点2-transiative对偶(囊性纤维变性。§3). 我们采用顶点2传递平铺作为示例的起点。该平铺包含一个三阶顶点和一个五阶顶点，每个顶点周围排列着四个不同的平铺（三个四边形和一个八角形），以形成二维Schläfli符号（4.8.8），（4.4.4.8.8）。这种瓷砖的组合描述需要八个房间，由表9中的Delaney–Dress符号给出(囊性纤维变性。附录B类). 此符号为标签质量控制643根据§3末尾解释的算法。由于此符号是最小的-即对于这种拓扑结构的平铺，它具有最高可能的对称性-它定义了一个h-网，并标记为总部583 (囊性纤维变性。§6.1).

表9
Delaney–顶点2过渡瓷砖的连衣裙符号UQC公司1346如图26所示(c（c）)

	一	b条	c（c）	d日	e（电子）	（f）	克	小时
0-丁腈橡胶	c（c）	b条	一	d日	e（电子）	（f）	克	小时
1-丁腈橡胶	b条	一	d日	c（c）	e（电子）	克	（f）	小时
2个-丁腈橡胶	一	（f）	c（c）	e（电子）	d日	b条	小时	克

米₀₁	8	8	8	8	4	4	4	4
米₁₂	5	5	三	三	三	5	5	5

图26
(一)球叶形的基本平铺传递平铺 $[\星{\tt 2244}]$ . (b条)获得了平铺2传递平铺通过从 $[\star｛\tt 4｝]$ 顶点到基本瓷砖的相对边缘和两个边缘粘合操作，导致删除基本瓷砖中连接相邻边的边缘 $[\star{\tt 6}]$ 网站。(c（c）)对应的顶点2-传递对偶。

我们的平铺可以嵌入两个不同的子组 $[\star{\tt 246}]$ ，如图27所示。下一步是在各自的平铺中展开这些平铺子组图表以获得相应的U平铺：UQC公司1346和UQC公司1345 (囊性纤维变性。§5.1). 的平移域 $[\star{\tt 2244}（{\rm a}）]$ 示例如图28所示.

图27
(一)康威曲轴图（如附录所述B类

)表9的D符号

，已标记质量控制643. (b条)将此平铺嵌入 $[\star{\tt 2244}（{\rm a}）]$ 子组属于 $[\star{\tt 246}]$ 、U形平铺UQC公司1346年(c（c）)相同的符号嵌入 $[\star{\tt 2244}（{\rm b}）]$ ,UQC公司1345.突出显示单个球形区域，并按照曲轴图中的规定准确标记腔室。

图28
我们的示例瓷砖嵌入 $[\star｛\t2244｝（｛\rm a｝）]$ 以突出显示的平移域表示U平铺UQC公司1346.平移域中的顶点用黑色标记为0–15，与表10中的周期图描述一致

。标记为白色的顶点是平移单位单元中顶点的平移副本。

我们暂停片刻，从枚举中查找生成与示例相同U平铺的其他D符号。我们发现了UQC公司1346也是一个独特的D符号的展开，标记为质量控制1442年，在子组 $[\star{\tt 2^6}（{\rm b}）]$ 。此外，UQC公司1345由生成质量控制1442年，但通过嵌入 $[\star{\tt 2^6}（{\rm a}）]$ .初始平铺(质量控制643，对称 $[\星{\tt 2244}]$ )与瓷砖有关质量控制1442，对称 $[\star{\tt 2^6}]$ 通过一个额外的对称性将基本域的面积减半。因此，质量控制1442的h-net与质量控制如果我们现在侧着身子走，我们会发现质量控制1442在子组 $[\star{\tt 2^6}（{\rm a}）]$ ，提供了两个额外的U形瓷砖。所以我们看到这个h-net拓扑(总部583）实际上与两个子组瓷砖，四个千变万化的亚组中的五个嵌入物和三个U型瓷砖。这些关系如图29所示.

图29
此图显示了两个子组tilings之间的关系质量控制643和质量控制1442提升至相同的h型网，以及其各种嵌入和展开 $[\star{\tt 246}]$ 子组。三条U型线是UQC公司1346,UQC公司1345和UQC公司3191

我们现在回到 $[\star{\tt 2244}（{\rm a}）]$ 示例(UQC公司1346）及其投影到P（P）,D类和克曲面(囊性纤维变性。§6). 首先看看周期网，它位于双曲线平面上。携带的网UQC公司1346有16个平移上不同的顶点和32个不同的边，如图28所示使用如图所示的标记顶点标签，我们构建了表10中给出的网络的标记商粒度描述。位于平移的不同副本中的顶点之间的边晶胞通过单元格之间的相对平移进行标记。我们使用表2中定义的覆盖映射操作将双曲线周期网直接映射到三个电子网（每个TPMS上一个）第§2条表10中也给出了生成的三周期网。转换单位单元格P（P）和D类表面修整如图30所示.

表10
从我们的示例平铺中导出的周期图表示UQC公司1346来自子组 $[\star{\tt 2244}（{\rm a}）]$

16个平移上不同的顶点标记为0–15，代表的选择如图28所示每一行定义32个不同边缘中的一个。前两列指定定义边的顶点对。接下来的四列给出了需要应用于第二个顶点的平移，以将其放置在正确的相邻单元格中。这些转换是针对双曲线网给出的，然后是P（P）,D类和克曲面。欧几里德翻译是关于{一,b条,c（c）}表2中规定的基础.

五₁	五₂	$[{\bb H}^2]$	P（P）	D类	克
0	1	我	000	000	000
0	2	我	000	000	000
0	4	我	000	000	000
0	8	我	000	000	000
0	8	吨₂^-1	$[0{\overline 1}0]$	$[1{\overline 1}0]$	001
1	三	吨₁	100	$[10{\overline 1}]$	$[0{\overline 1}0]$
1	5	吨_三^-1	$[00{\overline 1}]$	$[01{\overline 1}]$	100
2	三	我	000	000	000
2	6	$[\tau_2^{-1}t3^{-1{]$	$[{\上划线1}00]$	010	$[00{\overline 1}]$
2	10	我	000	000	000
2	10	$[t1^{-1}\tau_3^{-1{]$	$[0{\overline 1}0]$	001	$[{\上划线1}00]$
三	7	吨₁^-1 吨_三^-1	$[{\overline 1}0{\overrine 1}]$	$[{\上划线1}10]$	110
4	5	我	000	000	000
4	6	$[\tau_2^{-1}t3^{-1{]$		010	$[00{\overline 1}]$
4	12	我	000	000	000
4	12	$[图3\tau_1^{-1}]$	010	001	$[\上划线{111}]$
5	7	我	000	000	000
6	7	我	000	000	000
6	14	我	000	000	000
6	14	$[图3t1\tau_3t2^{-1}\tau_1^{-1{]$	010	$[1{\overline 1}0]$	$[0{\overline 1}0]$
8	9	我	000	000	000
8	10	我	000	000	000
8	12	吨₂	010	$[{\上划线1}10]$	$[00{\overline 1}]$
9	11	$[t_2\tau_3^｛-1｝]$	100	010	$[\上划线{111}]$
9	13	$[\tau_1^{-1}]$	$[01{\overline 1}]$	010	$[0\上划线{11}]$
10	11	我	000	000	000
10	14	$[tau_3 t1\tau_2^{-1}t3^{-1{]$	$[{\上划线1}10]$
11	15	$[\tau_3 t_2^{-1}\tau_1^{-1{]$	$[{\overline 1}1{\overrine 1}]$	000	100
12	13	我	000	000	000
12	14	$[t2^{-1}\tau_3t1\tau_2^{-1}t3^{-1{]$	$[{\上划线1}00]$	$[10{\overline 1}]$	100
13	15	我	000	000	000
14	15	我	000	000	000

图30
我们的示例平铺UQC公司1346个投影到P（P）和D类曲面。曲面片是（非标准）平移单位单元，对应于图28所示双曲线平面中高亮显示的区域

最后，我们应用Systre公司三个e网的算法标准形对于关联的s网络(囊性纤维变性。第6.3节). 两者都是P（P）和D类电子网简化为水晶网，每个只有八个顶点单位电池，而不是电子网络中的16个。这意味着晶体网络可以对称化，以显示额外的平移对称性，而曲面嵌入中没有这种对称性（实际上，这种平移是交换曲面侧面的平移）。相反，从嵌入到克surface保留了全部16个顶点（因为克曲面并没有一个额外的平移对称来交换曲面的边）。表11给出了所得s网络的结晶描述–13 和单位细胞图像如图31所示和32注意，每个s-net都有两个对称的不同顶点和四个不同的边，其重数与 $[\star{\tt 2244}（{\rm a}）]$ 子群平铺。

表11
由UQC公司1346瓷砖投影到P（P）表面，形成工程总承包1346瓷砖

此信息可在线访问，网址为https://epinet.anu.edu.au/sqc1743.对称组P（P）4/米米米,一= 3.41421,c（c）= 1.0 Å.

顶点	学位	x个	年	z（z）
五₁	5	0.14645	0.14645	0
五₂	三	0.35355	0.35355	0

边缘
起点x个,年,z（z）			终点x个,年,z（z）
0.1464	0.1464	0	−0.1464	0.1464	0
0.1464	0.1464	0	0.1464	0.1464	−1.0000
0.1464	0.1464	0	0.3535	0.3535	0
0.3535	0.3535	0	0.3535	0.6464	0

表12
由UQC公司1346块瓷砖投影到D类表面，形成EDC公司1346瓷砖

此信息可在线访问https://epinet.anu.edu.au/sqc2018.对称组 $[P\overline公司{4} 200万]$ ,一= 1.41228,c（c）=3.60072Å。

顶点	学位	x个	年	z（z）
五₁	5	0.23691	0.23691	0.10319
五₂	三	0.36278	0.36278	0.37199

边缘
起点x个,年,z（z）			终点x个,年,z（z）
0.2369	0.2369	0.1032	−0.2369	0.7631	0.1032
0.2369	0.2369	0.1032	0.2369	−0.2369	−0.1032
0.2369	0.2369	0.1032	0.3628	0.3628	0.3720
0.3628	0.3628	0.3720	0.6372	0.3628	0.6280

表13
由UQC公司1346瓷砖投影到克表面，形成EGC公司1346瓷砖

此信息可在线访问，网址为https://epinet.anu.edu.au/sqc7684.对称组 [上一行{4} 二维] ,一= 2.30597,c（c）= 2.31613 Å.

顶点	学位	x个	年	z（z）
五₁	5	0.10435	0.14742	0.17446
五₂	三	0.14603	0.40658	0.92807

边缘
起点x个,年,z（z）			终点x个,年,z（z）
0.1043	0.1474	0.1745	−0.1474	0.3956	0.4245
0.1043	0.1474	0.1745	0.1474	−0.1043	−0.1745
0.0934	0.8540	0.6781	0.3956	1.14742	0.5755
0.0934	0.6460	0.5719	0.1460	0.40658	0.9281

图31
从投影到P（P）和D类的曲面（分别为左侧和右侧） $[\star{\tt 2244}（{\rm a}）]$ U形平铺UQC公司1346

图32
源于 $[\star{\tt 2244}（{\rm a}）]$ U形平铺UQC公司1346投影到克表面。

8.未来方向

这里介绍的工作重点是从万花筒亚群衍生出的瓷砖和表面网状结构，这些亚群与P（P）,D类和克最小曲面。扩展枚举有很多方向，包括与P（P）,D类和克表面；其他三周期最小曲面；以及下文讨论的进一步概括。

在不久的将来，我们打算研究从与P（P）,D类和克曲面。这些球状家族包括混合反射-旋转的例子，我们称之为“帽子”球状，以及纯旋转的“星状”球状（海德等。, 2009 ). 假设有29个和21个不同的亚组 $[\star{\tt 246}]$ 分别使用hat和stellate orbifolds，预期结果会非常显著。其他orbifold类，包括不可定向的“投影”示例，可能会在稍后进行探讨。我们还计划扩展该项目，以探索作为其他胎压监测系统网络生成的网络，特别是剩余的第三代胎压监测S：六边形小时和正方的CLP公司曲面。我们还计划在genus-4立方上研究这个过程I-WP公司表面。与扩展到第4代示例相关的复杂性可能会被示例的新颖性所抵消。我们已经确定了这些表面的双曲线结晶学和覆盖图，并导出了相关的兼容球体（Robins等。, 2004b条 ; 罗宾斯，2006 ).

同时，还将推广功能强大的Delany–Dress装置，以枚举双曲线平面中常见但在欧几里德平面中没有类似物的其他瓷砖。这种tilings包含以带状或树形图案排列的无限边双曲多边形，我们建议称之为“自由tilings”。与P（P）,D类和克表面已被证明可以形成多个连生网（Hyde&Oguey，2000 ; 海德等。, 2003 ); 其他示例在网上进行了总结（拉姆斯登等。, 2004 ). 我们打算利用Delaney–Dress瓷砖理论的扩展来探索自由瓷砖，从而实现复杂网络共生的系统枚举。

除了这里描述的三周期结构外，我们的技术很容易适应有限的，有限的(分子的)网络，通过紧密表面的网状结构。我们已经在§§5.3中提到了这些O形瓦和O形网和6.4。这些网络的具体嵌入是一个丰富的主题，迄今为止几乎没有探讨过。通过定义从双曲平面到欧氏空间中tritorus显式嵌入的覆盖映射，我们可以使用曲面网格的结构来定义o-网的嵌入。一般的例子将被打结、联系和瓦解，由特里托鲁斯岛上丰富的可能循环同伦所支配。在对生成的打结环形多面体的研究中可以看到这种可能性的示例通过环面的网状结构（Hyde&Schröder-Turk，2007）; 城堡等。, 2009)以及最近对杂乱图形的探索（Castle等。, 2008 ).

9.结果讨论

如第6节所述，我们的方法列举了从无限对称二维双曲h网、无限三重周期欧几里德e网和s网到有限o网的一系列网络。

由双曲平面的低传递性平铺形成的欧几里德s网提供了不同网络拓扑在三维中的各种有趣的规范对称嵌入。这些数据与结构化学家（主要是）追求的补充计数方案直接可比，包括O'Keeffe的三维网络和瓷砖的网状化学结构资源（RCSR）数据库（O'Keeve，2008; 奥基夫等., 2008 )和Treacy及其同事的假想沸石数据库 ). 这些集合包括使用三维瓷砖和对称原理构建的三维欧几里德空间中的网络。我们注意到，我们从Coxeter orbifold的平铺中获得的14532个嵌入式s网络包括大约RCSR数据库中发现150个示例，其中包含1500多个不同的结构。这些常见的例子包括14种已知的沸石结构。因此，第一次通过已经提供了大约10%的与网状化学相关的网。我们的s网络的200多个示例也出现在假想沸石数据库中（Foster，2008 ).

通过超越Coxeter球状结构和网状非立方表面，肯定会出现更多具有实际和/或潜在化学意义的结构。然而，我们急于指出，我们从事这项工作的动机超越了列举化学有趣的模式；相反，我们主要感兴趣的是探索在不施加化学限制的情况下出现的各种蚊帐。显然，我们被迫使用过滤器来避免与这种搜索相关的不可避免的组合爆炸；我们选择根据网络的二维双曲对称性对其进行过滤。

我们的方法受二维（而不是三维）平铺枚举的简单性以及二维双曲空间中的对称模式在三维空间中产生对称模式的怀疑的支配。后一个特征已经（并且将在其他地方）进行了讨论；有关s网的三维对称性和顶点传递性变化的一些统计数据可以在Hyde中读取等。(2006). 然而，我们的目标并不是要为其他地方已经列举的内容提供一条迂回的路线。相反，我们希望这条路线能产生新的例子，而不是用更传统的三维方法轻易推导出来的。

例如，我们发现在 $[\星{\tt 2626}]$ FSGG瓷砖类中的orbifold。这个的投影子组贴在陀螺上，通过U形瓷砖UQC公司104，给出了一个电子网络，废气再循环104，其重心形式为菱形( $[R\上划线{3} c（c）]$ )三维欧氏空间中的顶点1-传递（单峰）s-网，平方厘米906，贴标签美国联邦储备基金作者：O’Keeffe（2008年). 这种结构已经在分子框架中被确定（莫尔顿等。, 2003 )然而，三维平铺理论无法找到“合适的”平铺（Blatov等。, 2007)用于此模式。

第二个例子是球形填料3/10/小时4（Sowa&Koch，2006年 )，命名为w个我w个奥基夫（2008）). 这种结构也表现为s-网，平方厘米3054通过3级FSGG子组平铺 $[\星{\tt 2626}]$ 对称性如图33所示.该平铺展开到U平铺UQC公司262，它映射到回转体上形成E-tiling，其E-net，废气再循环262，拓扑等效于平方厘米3054，也如图33所示.三维平铺算法TOPOS公司（布拉托夫，2006年)未能找到适用于此结构的简单瓷砖（Blatov，2007 )由于短环在网中被其他边缘穿过。这种螺纹排除了这些环跨越简单三维瓷砖表面的可能性。

图33
左图：圆形对称双曲线瓷砖 $[\星{\tt 2626}]$ 右：投影到回转体上的立体瓷砖对，放松以形成s-net平方厘米3054，也称为威斯康星州（奥基夫，2008

)，其顶点定义了菱形3/10中相等球体的中心/小时4球形填料。

我们预计枚举技术最强大的方面将随着时间的推移而出现：即找到拓扑同构网的明显纠缠嵌入的可能性。正是这种可能性鼓励我们保留电子网络作为一个独特的类别，因为它们的边缘根据TPMS的平铺而缠绕，而不是重心s网络嵌入件。后一种网络松弛为标准嵌入，可能会丢失原始电子网络的打结性和一般纠缠。

我们枚举的完整结果在在线数据库中进行了整理，可访问网址：https://epinet.anu.edu.au，我们敦促感兴趣的读者在闲暇时探索。最终，我们期望这一不断增长的网络数据库为网络物理特性的一系列研究提供坚实的基础，扩展当前关于渗流、传输和弹性响应的工作（Gibson&Ashby，1997）; Roberts&Garboczi，2002年 ; 杜兰德，2005 ; Durand&Weaire，2004年 ). 这组示例将详细探讨晶体网络的物理、拓扑和几何特征之间的可能相关性。

图34
说明Delaney–Dress瓷砖理论的双曲线瓷砖和腔室系统示例。左上角是具有对称性的双曲平面的平铺 $[\星{\tt 2244}]$ ，由两种五边形瓷砖组成。每个对称不同的腔室在 $[\star｛\t2244｝]$ ，如右上角所示。房间的顶点分别标记为0、1或2，这取决于它们是位于瓷砖顶点、边缘还是中心，以及相邻贴图， $[\sigma_i]$ ，对与类型的顶点相对的腔室的邻接进行编码我。Delaney–Dress符号可以用带拓扑索引对的边色图来描述（右下）(第页,第页)添加到每个节点。另一种可视化方式是显示在左下方的Conway曲轴图，其中连接的组件指示不同的平铺或顶点轨道，每个组件的轨道索引只需列出一次。

附录A

轨形

安球形的将无限重复的二维图案的对称性质与紧凑、连接表面的拓扑特征进行编码。这个概念起源于离散群理论，但这个名字是瑟斯顿和他的学生通过结合轨道和歧管，因为圆形的每个点代表了图案对称操作组下一个点的整个轨道。或者，可以通过在相关的二维均匀空间（球体）上向所有可能的方向“滚动”墨迹球形，反转该过程并在球形的通用覆盖层中生成对称图案， $[{\bb S}^2]$ 欧几里得， $[{\bb电子}^2]$ 或双曲线， $[{\bb H}^2]$ 、平面–按需打印图案。从技术上讲，圆形是商空间图案的对称组，图案是万能盖球形的。

二维对称包括绕点旋转、镜像线反射、平移和滑动反射。在圆形中，反射产生边界分量，旋转产生圆锥体点，而不是由图案的其他对称性产生的平移和滑动则由环、手柄和交叉帽等全局拓扑特征编码。下面将更详细地描述这些关系。

A类锥头这正是它的名字所暗示的。围绕其顶点滚动圆锥体将在该点生成具有旋转对称性的图案。为了使图案精确重复，圆锥体扫出的角度必须是2的整数细分π一个只有三个圆锥体尖端的球形枕头看起来像一个三角枕头。如果唯一的球形特征是两个锥点，那么每个锥点的顺序必须相同，因为它们代表球形图案的相反极。不存在由单个圆锥体点组成的致密球体。

现在假设球体有一个穿孔，因此有一个边界。当在其通用盖上滚动球形表面时，为了继续超出边缘，与覆盖空间接触的球形面必须翻转，以便局部反转图案。因此，边界对镜像反射进行编码。边界必须是闭合环，其中可能包含角点。A类角在圆形中，由两条镜面线以小于π。与锥点一样，为了使图案展开并与自身精确相交，只有作为π是允许的。注意，圆锥体和角点是局部几何特征，用于区分球形流形和真实流形。

平移对称性可能由反射或旋转的组合引起。那些不由其他对称性诱导的平移是由圆形中的一个非平凡环编码的，例如由两端粘在一起的带状物形成的，或围绕圆环体的两个轴。例如，具有两个边界环的有限圆柱体可以在欧氏平面上滚动，在垂直于其轴的一个方向上绘制出平移周期图案。其边界代表镜像线，因此平行反射线会导致欧几里德平面另一方向的延伸。

滑翔反射是平移和反射的（不可约的）组合，由不可定向的表面特征（如Möbius条纹或十字帽）编码在轨道内。十字帽具有实投影平面的拓扑结构，并且可以通过在边界上具有相反点的圆盘来建模。例如，沿着莫比乌斯带的中心进行一次遍历，将您带到缎带另一侧的同一点（初始图案的翻转图像）；需要第二次遍历才能返回到原始边的起点。这种双重遍历与两次应用滑动反射所引起的平移相同。

通过球面、欧几里德平面和双曲平面上任意二维图案的不同曲面特征，我们可以对其独立的对称运算进行编码；即边界、圆锥体和角点、十字帽和把手。这个结果依赖于2-流形拓扑的中心定理，即每个封闭的、紧致的二维流形在拓扑上等价于具有n个附加的控制柄或带有n个交叉帽。

球形的一个简单符号来自约翰·康威（康威，1992）; Conway&Huson，2002年 ). 从中我们可以重建球形曲面拓扑及其所有相关的对称特征。符号对于某些元素的重新排列来说是唯一的。全局拓扑特征是手柄、交叉帽和边界，并由符号表示 $[\circ]$ 、×和 $[\星]$ 。一个手柄在存在另一个交叉帽时会转换为两个交叉帽( $[\circ{\times}={\times}{\times}{\temes}]$ ). 因此，按照惯例，手柄和十字帽是隔离的，圆形符号的前缀可以是 $[\circ]$ ’s或后缀为×’s。非流形特征（圆锥体和角点）具有特定的角度，由其2的整数分数表示π和π分别是。

由于流形的非边界点没有固有的顺序，锥点可以按任何顺序列出。因此，眼眶符号457相当于754甚至是475–事实上，任何排列都是有效的。我们通常使用词法排序规范形式，但这不是符号固有的。然而，角点根据其围绕边界组件的顺序具有不同的顺序。A类镜像字符串由单个给定 $[\星]$ ，表示边界组件，后跟其角点列表（如果有）。这里的顺序很重要， $[\star{\tt 4567}]$ 不同于 $[\星{\tt 5467}]$ 然而，由于镜像边界没有固有的起点或终点，因此任何循环置换都是等价的，即 $[\star{\tt 5674}]$ 和 $[\星{\tt 6745}]$ 表示与 $[\star{\tt 4567}]$ 此外，由于穿孔曲面没有内部或外部，因此可以反转角点的顺序：即 $[\star｛\t4567｝]$ 相当于 $[\star{\tt 7654}]$ 。整个镜像字符串对应于穿孔，并且像锥形点一样，无法对这些特征进行内在排序。因此，镜像字符串的顺序无关紧要。

本文所考虑的万花筒对称群仅由反射生成，因此是Coxeter群的示例。它们的球形有一个镜面串的形状， $[\star{\tt m_1m_2\ldots}]$ .

我们给出了orbifold符号的完整词汇规范，以总结上述讨论： $[\circ]$ 的][任意顺序的圆锥体点][任意次序的镜像字符串][一些数量的×的]写为

$[\circ\circ\ circ\ldots c_1c_2c_3\ldots\star m_1m_2\ldots[\star m_4m_5\ldots]\ldots1{\times}{\times}。]$

请注意，符合上述规范的任何字符串都对应于真正的orbifold，但形式除外c（c）,c（c）₁ c（c）₂哪里 $[c1\neq c2]$ , $[\星号{\tt m}]$ 、和 $[\star{\tt m_1m_2}]$ 哪里 [第1页，共2页] 还要注意，我们使用幂表示法来收缩相同数字的字符串，以提高可读性：例如 22222将被写入2⁵.

Orbifold有一个关联的标量值，可以从符号元素计算，称为曲率指数（也称为成本或特性）。对于千变万化的群体来说，这是

$[\chi（｛\t\t\star m_1 m_2\ldots｝）=1-\textstyle\sum\limits_i｛（｛m_i-1｝）/｛2m_i｝。]$

Conway和Huson（2002）给出了一般公式). 其值决定对称图案必须属于三个二维几何图形中的哪一个：正值表示球形对称组，零表示 $[{\bb电子}^2]$ 和否定意味着 $[{\bb H}^2]$ 在球面或双曲线几何体的情况下，曲率还量化了单位高斯曲率相关平面中球面的单个副本的面积。欧几里德空间是唯一的，因为形状可以任意缩放，同时保持角度，所以欧几里得球面没有相关区域。大多数二维圆形都是双曲线，因此双曲线二维瓷砖的种类远远超过欧几里德或球面空间。

附录B

Delaney–服饰符号

我们在这里讨论并说明双曲线平面的平铺，见图34例如，但这些概念仅适用于球面和欧几里德平面，只做了微小的更改，而基本理论则推广到了高维空间。

以下四个条件构成了双曲线平面平铺的定义：

（1）这些瓦片是闭合的拓扑盘。

（2）瓷砖仅沿其边界相交。两个平铺的相交定义了一条边，三个或更多平铺的交点定义了一个顶点。

（3）瓷砖大小均匀。

（4）瓷砖覆盖整个双曲线平面。

为了描述平铺模式，我们将平铺细分为三角形，称为旗帜或腔室，然后记录这些腔室的不同对称类的相邻关系。为了从平铺生成腔室系统，我们通过在每个瓦片的中心放置一个2顶点、在每个边的中点放置一个1顶点和在每个平铺顶点放置一个0顶点来进行重心细分，然后在每个瓦块内形成0-1-2三角形。根据所面对的顶点类型，腔室的边也标记为0、1和2边。邻里关系是通过三张地图的作用来正式描述的，σ₀,σ₁和σ₂，将每个腔室映射到对应边（或等效地，对应顶点的对面）上的相邻腔室。由于明显的几何原因，这些映射是对合（它们是自己的逆）。

平铺的拓扑是通过描述重复应用相邻地图对时发生的情况来编码的。有三个轨道需要考虑：

（1） (σ₀σ₁)围绕一个2顶点进行轨道贴图，因此访问单个平铺中的房间。如果瓷砖有第页边，然后 $[（\sigma_0\sigma_1）^r]$ 是瓷砖每个房间上的身份图。索引第页也称为米₀₁.

（2） (σ₁σ₂)环绕0顶点进行轨道贴图，因此在平铺顶点处相交的腔室周围行走。如果顶点具有度第页然后 $[（\sigma\sigma_2）^p]$ 是该顶点处每个腔室事件的标识。索引第页也称为米₁₂.

（3）最后(σ₂σ₀)围绕1-顶点的贴图，即瓷砖的边缘。由于正好有四个腔室在一个1-顶点相交，因此我们得到了 $[（\西格玛2\西格玛0）^2]$ 是每个房间的身份。

到目前为止所描述的腔室系统是一个无限复杂的系统，因为需要无限多的有界瓷砖来覆盖双曲面。我们通过在对称群的作用下形成腔室的等价类，得到了瓷砖的有限描述。如果群有一个紧致的圆形，那么将有有限个腔类。这个σ_我映射保留了这些对称类，因此只需要记录有限数量的相邻关系。这些腔类、它们的相邻映射和拓扑指数第页和第页上面定义的是构成Delaney–Dress符号所需的所有信息。

我们用图34所示的示例来说明上述定义此双曲线瓷砖由两种类型的五边形瓷砖构成，顶点为3度、4度和8度，具有对称性 $[\星{\tt 2244}]$ 。在图34的左上角每个五边形瓷砖被细分为三角形的房间。分配标签，以便对称等效的腔室具有相同的字母。有十个对称不同的房间，这些房间覆盖了 $[\星{\tt 2244}]$ orbifold（如右上所示）。室顶点分别根据它们位于瓦片顶点、边或中心而标记为0、1、2。邻居的地图σ_我编码与字体顶点相对的腔室邻接我也如图34所示，右上角。

腔室的完整邻接关系和拓扑指数可以表格形式给出，见表14，或图34所示的两种视觉格式.图34的右下方D符号以图表形式显示，其中节点表示每个腔室类别，彩色边缘表示σ_我对合。拓扑指数(第页,第页)每个腔室也连接到每个节点。

表14
图34所示瓷砖的Delaney–Dress符号

	一	b条	c（c）	d日	e（电子）	（f）	克	小时	我	j个
0-丁腈橡胶	b条	一	d日	c（c）	e（电子）	克	（f）	我	小时	j个
1-丁腈橡胶	一	c（c）	b条	e（电子）	d日	（f）	小时	克	j个	我
2-丁腈橡胶	一	b条	克	（f）	e（电子）	d日	c（c）	小时	我	j个

米₀₁	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5
米₁₂	4	4	4	三	三	三	4	4	8	8

更简洁的描述是曲轴图如图34所示，左下角，另一个由约翰·康威创作的优雅符号。在这个表示法中，每个腔室都是一条断开的水平线，腔室之间的邻接由适当的σ_我列（自邻接由开放端点表示）。的拓扑结构σ_我σ_j个从曲轴图中可以立即看到燃烧室的轨道。这个σ₀σ₁曲柄轨道由曲轴左侧的连接部件表示σ₁σ₂顶点的轨道在右边。这个σ₀σ₂此图中仅隐式表示边缘轨道。每个对称不同的瓦片和顶点由曲轴的单个连接部件定义，因此相应的轨道数(第页,第页)只列出一次。及物性在视觉上很清晰——在我们的tile-2-transitive示例中，有两个连接在一起的σ₀σ₁组件，而σ₁σ₂column告诉我们平铺是vertex-4-transitive。曲轴图的另一个优点是，通过反射关于中心轴的图（在我们的二维情况下，交换σ₀和σ₂列）。

Delaney–Dress符号的威力在于，任何两个具有相同拓扑和对称性的瓷砖都将具有同构符号，并且瓷砖可以从这个有限的信息量中完全重建。此外，可以直接从Delaney–Dress符号计算球形符号和曲率指数；见Delgado Friedrichs（2003年)了解更多详细信息。

附录C

这个 $[\star{\tt 246}/{\circ}{\cick}{\circ}]$ 图表

在这里，我们给出了 $[\star｛\tt 246｝/｛\circ｝｛\circ｝$ 构成我们推导所有展开的基础的图表 $[{\circ}{\circ}{\circ}]$ D符号；参见§4了解更多详细信息。

三角形及其邻域的完整标签 $[\star{\tt 246}/{\circ}{\cick}{\circ}]$ 表15中给出了图表。此列表由千兆赫具有短程排序的单词枚举。这里的生成器顺序是R（右）₁,R（右）_三,R（右）₂，因为这在双曲平面上给出了比排序更平衡的区域R（右）₁,R（右）₂,R（右）_三这里给出的元素所覆盖的域不是图10中所示的半正则十二边形，但与之等价。表15中包含96个单词的三角形定义图35所示的不规则形状三角星上的基本群和三角结构与十二角星给出的结构完全相同，两边都粘在一起。

表15
这个 $[\star{\tt 246}/{\circ}{\cick}{\circ}]$ 图表

不。	标签	R（右）₁-丁腈橡胶	R（右）_三-丁腈橡胶	R（右）₂-丁腈橡胶
0	我	1	2	三
1	R（右）₁	0	4	5
2	R（右）_三	6	0	7
三	R（右）₂	5	8	0
4	R（右）₁R（右）_三	9	1	10
5	R（右）₁R（右）₂	三	11	1
6	R（右）_三R（右）₁	2	12	13
7	R（右）_三R（右）₂	13	14	2
8	R（右）₂R（右）_三	15	三	16
9	R（右）₁R（右）_三R（右）₁	4	17	18
10	R（右）₁R（右）_三R（右）₂	18	19	4
11	R（右）₁R（右）₂R（右）_三	20	5	21
12	R（右）_三R（右）₁R（右）_三	22	6	23
13	R（右）_三R（右）₁R（右）₂	7	24	6
14	R（右）_三R（右）₂R（右）_三	25	7	26
15	R（右）₂R（右）_三R（右）₁	8	27	28
16	R（右）₂R（右）_三R（右）₂	28	26	8
17	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三	29	9	30
18	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂	10	31	9
19	R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三	32	10	33
20	R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁	11	34	35
21	R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₂	35	33	11
22	R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁	12	36	37
23	R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂	37	38	12
24	R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三	39	13	40
25	R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁	14	41	42
26	R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₂	42	16	14
27	R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三	43	15	44
28	R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂	16	45	15
29	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁	17	46	47
30	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂	47	48	17
31	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三	49	18	50
32	R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁	19	51	52
33	R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₂	52	21	19
34	R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三	53	20	54
35	R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂	21	55	20
36	R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三	46	22	56
37	R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂	23	57	22
38	R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三	吨₂^-151	23	58
39	R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁	24	59	60
40	R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₂	60	58	24
41	R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三	吨_三48	25	61
42	R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂	26	62	25
43	R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁	27	吨₁^-156	63
44	R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂	63	64	27
45	R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三	65	28	66
46	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三	36	29	67
47	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂	30	68	29
48	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三	吨_三^-141	30	69
49	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁	31	70	71
50	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₂	71	69	31
51	R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三	吨₂38	32	72
52	R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂	33	73	32
53	R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁	34	吨₁^-167	74
54	R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂	74	75	34
55	R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三	76	35	77
56	R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂	67	吨₁43	36
57	R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三	吨₂^-170	37	78
58	R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₂	吨₂^-172	40	38
59	R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三	吨_三68	39	79
60	R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂	40	80	39
61	R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂	吨_三69	81	41
62	R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三		42	82
63	R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂	44	吨₁^-178	43
64	R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三	$[t1^{-1}\tau_3^{-1}73]$	44	83
65	R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁	45	$[\tau_2^{-1}t3^{-1}79]$	84
66	R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₂	84	83	45
67	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂	56	吨₁53	46
68	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三	吨_三^-159	47	85
69	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₂	吨_三^-161	50	48
70	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三	吨₂57	49	86
71	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂	50	87	49
72	R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂	吨₂58	88	51
73	R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三	$[\tau_3 t_164]$	52	89
74	R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂	54	吨₁^-185	53
75	R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三	$[t1^{-1}\tau_262]$	54	90
76	R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁	55	$[\tau_3 t_2^{-1}86]$	91
77	R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₂	91	90	55
78	R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₂	吨₂^-186	吨₁63	57
79	R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂	吨_三85	$[t_3\tau_265]$	59
80	R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三	$[\tau_187]$	60	92
81	R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三	$[t3\tau_1^{-1}t2^{-1}88]$	61	93
82	R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₂	$[\tau_2^{-1}t190]$	93	62
83	R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₂	$[t1^{-1}\tau_3^{-1}89]$	66	64
84	R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂	66	$[\tau2^｛-1｝t_3^｛-1｝92 ]$	65
85	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₂	吨_三^-179	吨₁74	68
86	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂	吨₂78	$[图2\tau3^{-1}76]$	70
87	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三	$[\陶_1^{-1}80]$	71	94
88	R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三	$[图2\tau_1图3^{-1}81]$	72	95
89	R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₂		95	73
90	R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₂	$[t1^{-1}\tau_282]$	77	75
91	R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂	77	$[\tau_3 t_2^{-1}94]$	76
92	R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₂	$[\tau_194]$	$[图3\tau_284]$	80
93	R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₂	$[t3\tau_1^{-1}t2^{-1}95 ]$	82	81
94	R（右）₁R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）₂R（右）_三R（右）₂	$[\陶_1^{-1}92]$	$[图2\tau3^{-1}91]$	87
95	R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₁R（右）_三R（右）₂R（右）_三R（右）₂	$[图2\tau_1图3^{-1}93]$	89	88

图35
The 96 translationally distinct triangles in the $[\star{\tt 246}/{\circ}{\cick}{\circ}]$ 图表。标签指的是表15中的单词。

脚注

¹Schläfli符号(第页,q个)表示平铺方式第页-gons在度的顶点相遇q个; 符号{第页,q个}用规则多边形表示平铺。

²当考虑投影到克表面；见罗宾斯等。(2005)了解详细信息。手性（英寸 $[{\bb H}^2]$ )这不是问题，因为我们正在研究万花筒对称群。

^三这里，术语“最小”是指符号的长度和顺序，不应与最小曲面混淆。

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