方位角

不久前，我们开始谈论晶体：

•John Baez，钻石和三角石,方位角2016年4月11日。

在那篇帖子的评论中，我们一群人研究了一些与“拓扑结晶学”相关的难题，这是一门融合图论、拓扑和数学结晶学的学科。您可以在此处了解有关该主题的更多信息：

•托西奥·苏纳达，大自然可能会错过创造的晶体,AMS的通知 55(2008), 208–215.

我非常感兴趣，在格雷格·伊根的大力帮助下，我写了这篇关于它的论文：

•约翰·贝兹，拓扑晶体.

我将在这里的一系列帖子中解释基本思想。

首先，几句私人话。

我觉得有点内疚，我应该在网络理论发展到对我们的星球有益的程度时，在这篇论文中投入了这么多工作。我似乎需要一些漂亮的纯数学才能保持理智。但这个项目至少教会了我很多关于图形拓扑的知识。

对于那些不知情的人，申请同源理论图表可能听起来很有趣。对于那些研究了相当数量拓扑的人来说，这听起来可能很简单也很无聊是上的自由阿贝尔群生成器：它是连通图到同伦等价的完全不变量。案件已结案！

但实际上还有更多，因为研究图表直到同伦等价扼杀了大部分乐趣。当我们在现实生活中研究网络时，我们需要对图形有一个更精细的看法。因此，这个项目的某些方面可能会在某一天以与晶体学无关的方式获得回报。但现在我将把它作为一组有趣的自足谜题来讨论。

我将从快速绘制如何构建拓扑晶体开始，并用以下示例进行说明石墨烯，一种二维形式的碳：

我将精确地陈述我们的最大结果，即当这种结构产生一个晶体时，原子不会相互碰撞，原子之间的键不会相互交叉。稍后我可能会回来补充细节，但现在你可以在我们的论文中找到细节。

构建拓扑晶体

图的“最大阿贝尔覆盖”在Sunada的拓扑结晶学工作中起着关键作用。正如万能盖连通图的有基本群 作为其组甲板变换，表示最大阿贝尔覆盖有阿贝尔化属于作为它的一组甲板变换。因此，它覆盖了其甲板变换组是阿贝尔变换。自从是第一个同源群 极大阿贝尔覆盖与同调理论有着密切的联系。

在本文中，Greg和我证明了对于一大类图，最大阿贝尔覆盖可以自然地嵌入到向量空间中我们将此嵌入副本称为“拓扑晶体”。原始图的对称性可以提升为其拓扑晶体的对称性，但拓扑晶体也具有-平移对称的维格子。在二维和三维的例子中，拓扑晶体可以作为实际晶体的蓝图，原子位于顶点，键位于边缘。

拓扑晶体的一般结构由Kotani和Sunada，稍后由伊昂Sunada将“拓扑晶体”用于更一般的概念，但我们只需要一个特殊情况。

以下是它的工作原理。我们从图表开始这有一个空间0-链是顶点和空间的形式线性组合1-链，这是边的形式线性组合。有一个边界操作符

这是线性操作符，将任意边发送到其两个端点的差。该算子的核称为1-圈空间，在1-链空间中有一个内积，使得边形成正交基。这决定了正交投影

对于图形，与第一个同源群同构因此，为了获得拓扑晶体我们只需要嵌入它的最大阿贝尔覆盖在里面我们通过嵌入来实现这一点在里面然后通过

为了实现这一点，我们需要为每条路径在里面从这个基点开始确定1链这些1-链对应于图表有一个边缘从到每当路径通过在此边缘是从该点开始的直线段切中要害

最难的部分是检查投影映射此副本进入之内以一对一的方式。在本文的定理6和7中，我们证明了当图没有“桥”：也就是说，移除会断开连接的边

Kotani和Sunada注意到这个条件是必要的。这其实很容易看到。挑战在于证明它足够了！为此，我们的主要技术工具是引理5，它适用于任何路径分解1-链变成可管理的部分。

我们将结果副本称为嵌入一拓扑晶体.

让我们在一个例子中看看它是如何工作的！

采取如下图所示：

自具有3个边，1个链的空间是三维的。自有2个孔，1圈的空间是这个三维空间中的二维平面。如果我们考虑路径在里面从红色顶点开始，形成1-链将它们投影到这个平面上，我们得到了以下图片：

这里是1-链是白色和红色的点。这些是的顶点而它们之间的线段是将这些顶点和边投影到1圈平面上，我们得到了蓝色圆点来自于将白色圆点投影到1圈平面上，而红色圆点已经位于该平面上。由此产生的拓扑晶体为石墨烯提供了图案：

这就是基本思想的全部内容！但关于它还有很多要说的，还有很多有趣的例子要看：钻石、三氧化二锑、超石英等等。

阅读整个系列

•第1部分–基本理念。

•第2部分–图的最大阿贝尔覆盖。

•第3部分–构建拓扑晶体。

•第4部分–拓扑晶体的示例。

此条目发布于2016年7月22日星期五上午8:08，存档于化学,数学,网络。您可以通过RSS 2.0馈送。你可以留下回应，或追踪从你自己的网站。