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220
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225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
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313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
#! /
usr/bin/env蟒蛇3
#该程序生成与斯托默定理相关的各种序列,包括:
#A002071号
#A002072号
#A117581-1号
#A117582号
#A117583号
#145604美元
#145606美元
#A175607-1号
#A181471号
从
itertools软件
进口
计数
,
伊斯兰
,
takewhile公司
,
压缩
从
多处理
进口
游泳池
从
数学
进口
触头
,
isqrt公司
从
时间
进口
时间
从
系统
进口
自动变速箱
inf公司
=
浮动
(
“inf”
)
尝试
:
从
gmpy2型
进口
英里/小时
,
isqrt公司
最大功率工作电压
,
int类型
=
2
, (
整数
,
类型
(
英里/小时
(
1
)))
除了
导入错误
:
英里/小时
,
最大功率工作电压
,
int类型
=
整数
,
0
, (
整数
,)
定义
不光滑
(
n个
,
秒
):
对于
对
在里面
秒
:
虽然
n个
%
对
==
0
:
n个
//=
对
如果
n个
==
1
:
返回
真的
返回
False(错误)
定义
引物
(
限制
=
inf公司
):
#从labmath复制(
https://pypi.org/project/labmath网站/
)
"""
通过埃拉托斯坦的分段筛子懒散地生成素数<极限。
内存使用量可能达到一些对数因子O(sqrt(p)),
其中p是最近生成的素数。
输入:limit--一个数字(默认值=inf)
输出:整数序列
示例:
>>>列表(islice(primegen(),20))
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71]
>>>列表(引物(73))
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71]
"""
#我们不筛选2,所以我们应该能够通过将筛子的长度减半来获得显著的节约。
#但这其中所涉及的微小额外计算似乎超过了节省的成本。
产量
从
takewhile公司
(
λ
x个
:
x个
<
限制
, (
2
,
三
,
5
,
7
,
11
,
13
,
17
,
19
,
23
,
29
,
31
,
37
,
41
,
43
,
47
))
pl公司
,
前列腺素
=
[
三
,
5
,
7
],
引物
()
对于
对
在里面
pl公司
:
下一个
(
前列腺素
)
n个
=
下一个
(
前列腺素
);
nn个
=
n个
*
n个
虽然
真的
:
n个
=
下一个
(
前列腺素
)
陆上通信线
,
nn个
=
nn个
,
n个
*
n个
sl(sl)
=
(
nn个
-
陆上通信线
)
筛子,筛子
=
字节射线
([
真的
])
*
sl(sl)
对于
对
在里面
pl公司
:
k个
=
(
-
陆上通信线
)
%
对
筛子,筛子
[
k个
::
对
]
=
字节射线
([
False(错误)
])
*
((
sl(sl)
-
k个
)
//
对
+
1
)
如果
nn个
>
限制
:
打破
#将此条件提升到while语句的TODO可能会提高速度。
产量
从
(
陆上通信线
+
k个
对于
k个
在里面
压缩
(
范围
(
0
,
sl(sl)
,
2
),
筛子,筛子
[::
2
]))
pl公司
.
追加
(
n个
)
产量
从
takewhile公司
(
λ
x个
:
x个
<
限制
, (
陆上通信线
+
k个
对于
k个
在里面
压缩
(
范围
(
0
,
sl(sl)
,
2
),
筛子,筛子
[::
2
])))
定义
简单人(simplepell)
(
天
,
保释
=
inf公司
):
#从labmath复制(
https://pypi.org/project/labmath网站/
)
"""
生成x**2-D*y**2==1的正解。
我们用一些
针对佩尔方程这种情况的优化
比调用pell(D,1)[0]更有效。
请注意,此函数不是
等价于调用pell(D,1)[0]:pell()与
方程,可能有也可能没有平凡的解,因此产生
所有非负解,而此函数仅与
简单的Pell方程,总是有无穷多个正族
从单个基本解决方案生成的解决方案,始终具有
平凡解(1,0);
因为这个平凡的解决方案总是存在的
函数的作用域,我们在输出中省略了它。
输入:
D——假定为正的整数
保释金——不产生x坐标大于此数的解。
默认值==inf。
输出:正整数的2元组序列
示例:
>>>列表(islice(simplepell(2),6))
[(3, 2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), (3363, 2378), (19601, 13860)]
>>>列表(islice(simplepell(3),7))
[(2, 1), (7, 4), (26, 15), (97, 56), (362, 209), (1351, 780), (5042, 2911)]
>>>下一个(simplepell(61))
(1766319049、226153980)
>>>下一个(simplepell(661))
(16421658242965910275055840472270471049, 638728478116949861246791167518480580)
"""
d日
=
isqrt公司
(
天
)
我
,
B0类
,
G0级
,
P(P)
,
问
=
False(错误)
,
1
,
d日
,
d日
,
天
-
d日
*
d日
如果
问
==
0
:
返回
地下一层
=
一
=
(
2
*
d日
)
//
问
G1号
=
一
*
d日
+
1
虽然
问
!=
1
:
P(P)
=
一
*
问
-
P(P)
问
=
(
天
-
P(P)
**
2
)
//
问
一
=
(
P(P)
+
d日
)
//
问
我
,
地下一层
,
B0类
,
G1号
,
G0级
=
不
我
,
一
*
地下一层
+
B0类
,
地下一层
,
一
*
G1号
+
G0级
,
G1号
如果
G0级
>
保释
:
返回
x个
,
年
=
一
,
b条
=
(
G0级
,
B0类
)
如果
我
其他的
(
G0级
**
2
+
天
*
B0类
**
2
,
2
*
G0级
*
B0类
)
虽然
x个
<=
保释
:
产量
(
x个
,
年
)
x个
,
年
=
x个
*
一
+
年
*
b条
*
天
,
年
*
一
+
x个
*
b条
定义
平方根
(
秒
):
#从labmath复制(
https://pypi.org/project/labmath网站/
)
"""
生成ps元素的平方乘积。
输入:ps—素数的可索引迭代
输出:整数序列
示例:
>>>已排序(过滤器(λx:x<100,sqfrgen(列表(质素(12))))
[1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 21, 22, 30, 33, 35, 42, 55, 66, 70, 77]
"""
如果
伦恩
(
秒
)
==
0
:
产量
1
;
返回
对于
n个
在里面
平方根
(
秒
[
1
:]):
产量
n个
;
产量
n个
*
秒
[
0
]
定义
暴风雨工厂
(
数据
):
#源自labmath(
https://pypi.org/project/labmath网站/
)
平方英尺
,
pl公司
,
保释
,
k个
=
数据
安
=
[]
对于
(
n个
(
x个
,
年
))
在里面
列举
(
简单人(simplepell)
(
平方英尺
,
保释
)):
如果
n个
>=
k个
:
打破
#现在,我们检查是否找到了一对平滑的线。
我们不外包给保理商,因为我们只需要划分
#找出小素数,检查是否还有剩余的东西——我们不需要陷入分解RSA数字的困境。
如果
无光泽的
(
x个
-
1
,
pl公司
):
如果
不光滑
(
x个
+
1
,
pl公司
):
安
.
追加
((
x个
-
1
,
x个
+
1
))
否则如果
n个
==
0
:
打破
#Pell解决方案具有一些很好的可分性,允许我们构建一个筛子来排除后续问题
#如果其中一个结果很难解决。
在最简单的情况下,如果基本解很粗糙,
#然后我们可以跳过佩尔方程的所有后续解。
这是一个重大的加速。
#请参见
https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1256067456
第11/67页。
返回
安
定义
暴风雨2
(
秒
,
*
第2页
,
美国广播公司
=
无
,
程序
=
1
):
#源自labmath(
https://pypi.org/project/labmath网站/
)
"""
对于任何给定的素数集,只有有限多对
连续整数(n,n+2)都是ps-光滑的。
斯托默定理
提供了一种方法来查找它们。
我们实现了Lehmer的简化
这种方法。
值得注意的是,完成此迭代的时间
对于前n个素数,n中的素数似乎是超指数级的,而
在第n次光滑数上迭代hamming(),直到最大值(stormer2(1st
n个素数))似乎以指数形式单标度;
然而,最大值(风暴2(ps))
如果不实际执行Stormer-Lehmer,则无法计算
算法。
设S是素数集,x和x+2是S-光滑的,T是
S元素的乘积。那么关于abc猜想,我们有
x+2<k*rad(2*x*(x+2))**d<k*T**d。这可以实现大幅加速。
输入:
ps—元素被假定为素数的可索引迭代
abc—假定形式的有效abc猜想
c<abc[0]*rad(a*b*c)**abc[1]。
默认值==无;
即不做任何假设。
procs——使用这么多进程并行工作。
默认值==1。
当procs==1时,我们不调用多处理
直接在主线程中工作,因为多处理具有
大量开销。
输出:整数对的有限序列
例子:
"""
如果
isinstance公司
(
秒
,
int类型
):
秒
=
[
秒
]
+
列表
(
第2页
)
pl公司
=
[
英里/小时
(
x个
)
对于
x个
在里面
设置
(
秒
)]
k个
=
最大值
(
三
, (
最大值
(
pl公司
)
+
1
)
//
2
)
保释
=
2
+
2
*
美国广播公司
[
0
]
*
触头
(
pl公司
)
**
美国广播公司
[
1
]
如果
美国广播公司
其他的
inf公司
如果
程序
==
1
:
对于
平方英尺
在里面
平方根
(
pl公司
):
对于
(
n个
,(
x个
,
年
))
在里面
列举
(
简单人(simplepell)
(
平方英尺
,
保释
)):
如果
n个
>=
k个
:
打破
#现在,我们检查是否找到了一对平滑的线。
我们不外包给保理商,因为我们只需要划分
#找出小素数并检查是否还有剩余的东西——我们不需要在分解RSA数时陷入困境。
如果
不光滑
(
x个
-
1
,
pl公司
):
如果
不光滑
(
x个
+
1
,
pl公司
):
产量
(
x个
-
1
,
x个
+
1
)
否则如果
n个
==
0
:
打破
#Pell解决方案具有一些很好的可分性,允许我们构建一个筛子来排除后续问题
#如果其中一个结果很难解决。
在最简单的情况下,如果基本解很粗糙,
#然后我们可以跳过佩尔方程的所有后续解。
这是一个重大的加速。
#请参见
https://project欧几里得.org/download/pdf_1/eucled.ijm/12256067456
第11/67页。
返回
具有
游泳池
(
程序
)
作为
procpool程序
:
分块(chunksize)
=
最大值
(
1
,
2
**
(
伦恩
(
pl公司
)
//
2
))
对于
安
在里面
procpool程序
.
imap_unordered(无序)
(
暴风雨工厂
((
平方英尺
,
pl公司
,
保释
,
k个
)
对于
平方英尺
在里面
平方根
(
pl公司
)),
分块(chunksize)
=
分块(chunksize)
):
产量
从
安
#现在我们解析参数。
打印
(
“将此程序调用为”
)
打印
()
打印
(
“./stormer.py[abc=x,y][p=z]”
)
打印
()
打印
(
“参数的顺序可能会互换。”
)
打印
(
“如果abc=x,y存在,那么我们假设一个abc猜想c<x*rad(abc)^y。”
)
打印
(
“如果存在p=z,则使用z进程。默认情况下,z=1。”
)
打印
()
打印
(
"------------------------"
)
打印
()
尝试
:
美国广播公司
,
个人电脑
=
无
,
1
对于
参数
在里面
自动变速箱
[
1
:]:
一
,
b条
=
参数
.
分裂
(
"="
)
如果
一
==
“abc”
:
x个
,
年
=
b条
.
分裂
(
","
)
美国广播公司
=
(
整数
(
x个
),
整数
(
年
))
如果
一
==
“p”
:
个人电脑
=
整数
(
b条
)
除了
:
打印
(
“分析参数时出错。”
)
出口
()
#将分析参数。
现在告诉用户他们是如何解释的。
打印
(
“假设没有abc推测。”
如果
美国广播公司
==
无
其他的
“假设一个abc猜想:c<%d*rad(abc)^%d。”
%
美国广播公司
)
打印
(
“使用1个进程。”
如果
个人电脑
==
1
其他的
“使用%d个进程。”
%
个人电脑
)
打印
(
“使用本机算法(找不到gmpy2)。”
如果
伦恩
(
int类型
)
==
1
其他的
“使用gmpy2。”
)
打印
()
#现在我们开始计算。
#注意,每个平滑对(x,x+1)在加倍时产生一个平滑对(x,x+2),
#每个偶数光滑对(x,x+2)在减半后产生一个光滑对(x,x+1)。
素数
=
[]
对于
(
n个
,
对
)
在里面
列举
(
引物
(),
开始
=
1
):
素数
.
追加
(
对
)
旧时代
=
时间
()
全部的
,
最大溶胶
,
新的总数
,
maxnew(最大新)
,
总计1
,
最大值1
,
总计1个新
,
max1新
,
总计2
,
最大值2
,
总计2个新
,
max2新
,
总计1sq
,
总计1万亿
=
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
对于
(
x个
,
年
)
在里面
暴风雨2
(
素数
,
美国广播公司
=
美国广播公司
,
程序
=
个人电脑
):
断言
x个
+
2
==
年
, (
x个
,
年
,
素数
,
美国广播公司
)
断言
不光滑
(
x个
,
素数
), (
x个
,
年
,
素数
,
美国广播公司
)
断言
不光滑
(
年
,
素数
), (
x个
,
年
,
素数
,
美国广播公司
)
#总计=A#?=
x的个数,使得x和x+2都是素数-光滑的。
#最大值=A#?=
最大x,使得x和x+2都是素数-光滑的。
#totalnew=A181471=x的个数,这样x和x+2都是素数-光滑的,一个可以被p整除。
#maxnew=A175607-1=最大x,这样x和x+2都是素数-光滑的,一个可以被p整除。
#total1=A002071=x的个数,使得x和x+1都是素数-光滑的。
#x的个数,使得x和x+2都是素数-光滑和偶数。
#max1=A002072=最大x,使得x和x+1都是素数-光滑的。
等效地,
#最大的x,使得x和x+2都是素数-光滑和偶数。
#total1new=A145604=x的个数,这样x和x+1都是素数-光滑的,一个可以被p整除。等价地,
#x的个数,使得x和x+2都是光滑偶数素数,并且一可以被p整除。
#max1new=A145606=最大x,使得x和x+1都是素数-光滑的,一个可以被p整除。等价地,
#最大的x,使得x和x+2都是素数-光滑且偶数,一个可以被p整除。
#总计2=A#?=
x的个数,使得x和x+2都是素数-光滑和奇数。
等效地,
#x的个数,使得x和x+2都是素数-光滑的,并且(x,x+2)不是由(x,x+1)对产生的。
#最大2=A#?=
最大的x,使得x和x+2都是素数光滑和奇数。
等效地,
#使得x和x+2都是素数光滑的,并且(x,x+2)不是由(x,x+1)对产生的。
#total2新=A#?=
x的个数,使得x和x+2都是素数-光滑和奇数,一个可以被p整除,
#x的个数,使得x和x+2都是素数-光滑的,并且(x,x+2)不是由(x,x+1)对产生的。
#max2new=A#?=
最大的x,使得x和x+2都是素数-光滑和奇数,一个可以被p整除,
#x的个数,使得x和x+2都是素数-光滑的,并且(x,x+2)不是由(x,x+1)对产生的。
#total1sq=A117582=x的个数,这样x和x+1都是素数-光滑的,x+1是平方的。
#total1tri=A117583=x的个数,这样x和x+1都是素数-光滑的,x+1是三角形的。
全部的
+=
1
如果
x个
>
马克索尔
:
马克索尔
=
x个
如果
x个
%
2
==
年
%
2
==
0
:
总计1
+=
1
2个
,
第2年
=
x个
//
2
,
年
//
2
如果
2个
>
最大值1
:
最大值1
=
2个
如果
第2年
==
isqrt公司
(
第2年
)
**
2
:
总计1sq
+=
1
yroot公司
=
isqrt公司
(
年
)
如果
年
==
yroot公司
*
(
yroot公司
+
1
):
总计1万亿
+=
1
其他的
:
断言
x个
%
2
==
1
或
年
%
2
==
1
, (
x个
,
年
,
素数
)
总计2
+=
1
如果
x个
>
最大值2
:
最大值2
=
x个
如果
x个
%
对
==
0
或
年
%
对
==
0
:
新的总数
+=
1
如果
x个
>
maxnew(最大新)
:
maxnew(最大新)
=
x个
如果
x个
%
2
==
年
%
2
==
0
:
总计1个新
+=
1
如果
x个
//
2
>
max1新
:
最大1新
=
x个
//
2
其他的
:
断言
x个
%
2
==
1
或
年
%
2
==
1
, (
x个
,
年
,
素数
)
总计2新
+=
1
如果
x个
>
max2新
:
max2新
=
x个
打印
(
'
\b条
'
*
1000
,
n个
,
素数
[
-
1
],
全部的
,
马克索尔
,
全新
,
maxnew(最大新)
,
总计1
,
最大值1
,
总计1个新
,
max1新
,
总计2
,
最大值2
,
总计2个新
,
max2新
,
总计1sq
,
总计1万亿
,
结束
=
' '
,
脸红
=
真的
)
打印
(
时间
()
-
旧时代
)
"""
在我的计算机上运行此代码生成以下数据。
注意,n>=20的结果是以有效的abc猜想c<rad(abc)**2为条件的。
A117581-1号
A000040 A181471 A175607-1 A002071 A002072 A145604 A145606 A117582 A117583
n pmax总计maxsol总计new maxnew总计1 max1总计1 new max1 new总计2 max2总计2 new max2 new总计1sq总计1tri假设时间
1 2 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0无9.870529174804688e-05
2 3 5 16 4 16 4 8 3 8 1 1 1 2 1无0.00014143798828125
3 5 13 160 8 160 10 80 6 80 3 25 2 25 5 3无0.0003108978271484375
4 7 29 8748 16 8748 23 4374 13 4374 6 243 3 243 10无0.0008060932159423828
5 11 49 19600 20 19600 40 9800 17 9800 9 243 3 75 15无0.0018792152404785156
6 13 83 246400 34 246400 68 123200 28 123200 15 1573 6 1573 24 16无0.004002571105957031
7 17 130 672280 47 672280 108 336140 40 336140 22 2023 7 2023 34无0.018591403961118164
8 19 202 23718420 72 2371840 167 11859210 59 11859210 35 3969 13 3969 46 29无0.018877267837524414
9 23 297 23718420 95 10285000 241 11859210 74 5142500 56 1447873 21 1447873 57 35无0.0306851863861084
10 29 423 354365440 126 354365440 345 177182720 104 177182720 78 26578123 22 26578123 74 39无0.06382274627685547
11 31 591 3222617398 168 3222617398 482 1611308699 137 1611308699 109 287080365 31 287080365 90 50无0.17664265632629395
12 37 799 9447152317 208 9447152017 653 346319999 171 3463199999 146 9447151317 37 9447152316 114 57无0.6038854122161865
13 41 1061 127855050750 262 1278550550750 869 63927525375 216 6392752.5375 192 9447152317 46 2470954913 141 68无2.3266193866729736
14 43 1404 842277599278 343 842277699278 1153 421138799639 284 421138799639 251 9447152317 59 1181631185 174 84无10.393783569335938
15 47 1837 2218993446250 433 221899344 6250 1502 1109496723125 349 110949672 3125 335 9447152317 84 4768304959 208 100无56.3782160282135
16 53 2344 2907159732048 507 290715973 2048 1930 1453579866024 428 145357986 6024 414 9447152317 79 907922169 244 112无382.6211712360382
17 59 2978 41257182408960 634 41257182 408960 2454 20628591204480 524 206285912480 524 122187528125 110 1221875225 287 127无3632.322960615158
18 61 3777 63774701665792 799 637747011665792 3106 31887350832896 652 3188735832896 671 122187528125 147 375173435 334 151无55125.35413146019
19 67 4753 63774701665792 976 25640240468750 3896 31887350832896 790 12820120234375 857 932784765625625 186 932784365625 387 167无968867.9461529255
19 67 4753 63774701665792 976 25640240468750 3896 31887350832896 790 12820120234375 857 932784765625625 186 932784365625 387 167 abc=(1,2)19.819456577301025
20 71 5899 238178082107392 1146 23817802107392 4839 119089041053696 943 119089041053696 1060 932784765625 203 430188203733 433 186 abc=(1,2)58.99822473526001
21 73 7338 4573663454608288 1439 457366354608288 6040 2286831727304144 1201 228683127304144 1298 2704807796873 238 27049096873 494 204 abc=(1,2)125.97661519050598
22 79 9036 191829374703818750 1698 191829374 7470381850 7441 95914687351909375 1401 959146373519093751595 6774628298373 297 67746282 98373 561 230 abc=(1,2)280.4326667856445
23 83 11118 191829374703818750 2082 34903240221563712 9179 9591468737351909375 1738 17451620110781856 1939 473599589105797 344 47359959105797 635 253 abc=(1,2)612.6705558300018
24 89 13489 191829374703818750 2371 332110803172167360 11134 9591468737351909375 1955 166055401586083680 2355 473599589105797 416 211089142289023 709 275 abc=(1,2)1440.6109733581543
25 97 16223 191829374703818750 2734 99913980938200000 13374 9591468737351909375 2240 49956990469100000 2849 473599589105797 494 151377426693205 787 304 abc=(1,2)2827.5365343094
26 101 19583 191829374703818750 3360 821651793147901998 16167 9591468737351909375 2793 4108258965739505499 3416 30945502301275315 567 30945502031275315 871 327 abc=(1,2)1839.5827414989471(p=5)
27 103 23605 38632316754147847668000 4022 38632316354147847868000 19507 19316158377073923834000 3340 1931615837073923834000 4098 30945502301275315 682 2728575616834375 973 354 abc=(1,2)3429.167060136795(p=5)
28 107 28242 38632316754147847668000 4637 773079686222382448 23367 19316158377073923834000 3860 3865398431111924 4875 30945502301275315 777 15562980136200913 1096 394 abc=(1,2)6616.486833810806(p=5)
29 109 33817 38632316754147847668000 5575 181101212761682433220 27949 19316158377073923834000 4582 9055060638841216610 5868 31584322190711673 993 3158432190711673 1227 432 abc=(1,2)13841.13929772377(p=5)
30 113 40241 38632316754147847668000 6424 410284126426376207278 33233 19316158377073923834000 5284 205142063213188103639 7008 95281435950754443 1140 95281435075443 1355 462 abc=(1,2)29441.672268152237(p=5)
31 127 47509 38632316754147847668000 7268 106469590255765459648 39283 19316158377073923834000 6050 532347951278827298224 8226 767308615386551775 1218 7673085153865511775 1498 496 abc=(1,2)608489534378(p=5)
32 131 55860 38632316754147847668000 8351 82286088912372032062 46166 19316158377073923834000 6883 411430445616636016031 9694 684543317873063473 1468 68454313178730663473 1619 529 abc=(1,2)124984.86140799522(p=5)
33 137 65521 248451871690466638878346 9661 24845187 1690466688878345 54150 124225935845233319439173 7984 1242259358 2333194373 11371 68454331787306473 1677 342568483380442539 1773 551 abc=(1,2)263680.98630714417(p=5)
"""
此时无法执行该操作。