谜语人

再见，谢谢所有的谜团

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年6月30日上午8:00

欢迎来到Riddler。在过去的八年中，我们每周都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。通常，每周都会有两个谜题：一个是Riddler Express，为那些想要比特大小的东西的人准备，另一个是《Riddler Classic》，为那些喜欢慢动作的人准备。提交正确答案，¹你可能会大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发封电子邮件.

一切都好…

时间到了。这确实是《谜语》的最后一篇专栏，在这里是“五三八”。我谨代表我自己和奥利弗·罗德，以及现任和前任“五三八”工作人员（尤其是我的编辑：查德威克·马特林、桑图尔·内卡尔和玛娅·斯威德勒），向大家表示感谢你亲爱的读者们，感谢你们所有的谜语想法、解决方案以及其中的一切。写和解决数学难题是一件很有趣的事，但更棒的是参与了这个令人敬畏的难题社区。谢谢你，Riddler Nation！

也就是说，这不是相当地结束。

这一困惑将通过我的全新通讯继续在Subscck上传播，费德勒在证据上被亲切地称为“提琴手”。第一个谜题（以及本周谜题的解答）将于7月7日揭晓。注册（免费！）以保持益智游戏的精彩！

最后的谜语

作为Riddler研究实验室的一名研究生，我的任务是将激光束对准一个完美的圆形镜子。光束从圆周上的一点开始，在圆周内多次反弹，然后返回到同一点。

经过进一步分析，我发现光束创建了一个内切在圆中的184个光子（即具有184条边的多边形），而不是一个有规律的184-gon，注意了。实验室负责人要求我进一步测量光束反弹时的角度，老实说，这似乎是一项繁重的工作。为了减轻负载，我抓起一个实验室，决定把工作分成两半。我们每个人都会测量彼此之间角度。也就是说，如果多边形周围的点标记为ABCDEFGH…，我将测量角度ABC、CDE、EFG等，而我的实验室将测量BCD、DEF、FGH等。

总的来说，我负责测量92个角度。我发现前89个角度都精确到178度。我要测量的最后三个角度的总和是多少？

提交您的答案

重要提示： 由于这是the Riddler的最后一篇专栏，这个谜题的解决方案将于下周五上午在thefiddler.substack.com网站.

上周的谜语

祝贺马里兰州列克星敦公园的尼诺·汤姆·汉拉汉尼诺获得上周的Riddler和最终的Riddler民族的统治者！

上周是Riddler Nation的第八场也是最后一场战役，这一次情况有点不同。

在一片被战争蹂躏的遥远土地上，有10座城堡。有两个军阀：你和你的大敌。每座城堡都有自己的战略价值，对未来的征服者来说。具体来说，这些城堡值1分、2分、3分、……、9分和10分。你和你的敌人每人有100名士兵，可以按照你喜欢的方式分配，在10座城堡中的任何一座进行战斗。无论谁派更多的士兵去某个特定的城堡，都会征服那个城堡并赢得它的分数。如果你们每个人都派出了相同数量的部队，那么你们就分了分。直到战斗开始，你才知道敌人选择了什么样的兵力分配。得分最多的人赢得了战争。

和往年一样，我决定了所有可能的一对一比赛。一场胜利相当于一个“胜利点”，而一场平局相当于0.5个胜利点。我没有在循环赛后宣布获胜者，而是淘汰了胜分最少的球队，并在少了一名参赛者的情况下重复了整个过程。²

今年，我收到了394个策略。在消除了重复提交和不公平的策略（例如，部署100多名士兵或通过给一些城堡分配负数有效地部署100多名）后，仍保留了364个策略。

像往常一样，我生成了一张热图（深橙色代表更多士兵），按照每种方法在初始循环中的表现来组织，如下图左侧所示。

随着最初的循环赛结束，淘汰赛开始了。在一次一轮的比赛中，我淘汰了其余球队循环赛中表现最差的策略，直到只有一个军阀占据了上风。右侧上方显示了显示这些最终排名的类似热图。

在这些热图的顶部，一些趋势是显而易见的。在最初的循环赛中，实力最强的军阀将士兵聚集在价值8、6、5、4、3和2分的城堡中。这是获得28分的众多方式之一，这足以保证胜利（总共有55分，所以28分超过一半）。在前几年，类似的策略盛行，例如在价值10、9、5和4分的城堡中聚集，或在价值10，9、6和3分的城堡里聚集。

也就是说，这些热图可能很难解释。中间人之友文斯·瓦特（也是前统治者在这里）通过分析去年的类似热图（为文斯使用了他所能支配的所有资源而干杯！）

因此，让我们深入探讨一下最终排名靠前的战略：

这一次，一些“传统”战略（赢得了之前的战斗）表现相当好。本·诺克斯（Ben Knox）为城堡4、5、9和10演出，迈克尔·德海伊（Michael DeHaye）和马丁·斯特恩（Martin Stearne）都为城堡3、6、9和十演出。他们三人在最初的循环赛中表现出色，最终分别获得第七、第八和第九名。与此同时，马蒂厄和JD（分别位列第二和第三）仍然瞄准了总得分为28分的城堡，但在之前的战斗中，他们的组合表现并不好。

但是，最终，许多最好的策略在一开始并没有表现得很好。要想在这种新的格局中获胜，你必须通过每一轮淘汰赛，即使比赛并不总是那么精彩。更具体地说，你想要的战略幸存下来的早先是针对较弱的策略，但后来是针对较好的策略。

因此，在最顶尖的位置上，汤姆·汉拉罕只在第6和第9城堡取得了很好的成绩（总共得15分），而在剩下的8个城堡中留下了少量士兵。与此同时，排名第四的塔比莎·托格森（Tabitha Togersen）只为10号城堡（castle 10）打出了一场精彩的比赛。排在第五位的大卫·库普利克（David Kuplic）将士兵分散在各地，每个城堡的士兵不到20人。

虽然这可能是Riddler Nation的最后一战，但看到一套新的战略登上榜首让人耳目一新。事实上，在这种形式下，最终前六名军阀中没有一个在最初的循环赛后进入前40名。下面的图表显示了每个军阀的最初排名和最终排名的比较：

在右上角真正地无论战斗形式如何，糟糕的战略（例如，在城堡1部署100名士兵）都是糟糕的。但除了那些表现不佳的人，事情变得很吵。换言之，最初和最终排名之间的相关性出奇地低（至少对我来说）。

看看这张图的右下角，我必须为“战争胜利者约翰”（John the Warload Winner）颁发特别荣誉（我猜想这里有一个拼写错误），他在最初和最后的排名中进步最大。在最初的循环赛中，约翰排名第306位。但约翰是一个好斗的军阀，避免了数百场淘汰赛，最终在最终排名中排名第16。

祝贺获奖者，以及所有参与这场难忘的《Riddler Nation之战》最终版的人！

想要更多的谜题吗？

嗯，你运气好吗？虽然这可能是《谜语》的最后一篇专栏，在这里是“五三八”，但令人困惑的地方还在继续费德勒在证据上!

想提交谜语吗？

发送电子邮件至Zach Wissner-Grossthefiler@substack.com.

谜语人

Riddler民族的最后一战

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年6月23日上午8:00

欢迎来到Riddler。每周，我都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会推出两款谜题：为那些想要一口大小的谜题的人提供谜语快车，为那些参与缓慢谜题运动的人提供谜语经典。提交正确答案，^三你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发一封电子邮件.

一切都好…

6月30日星期五是《谜》的最后一栏，时间是5点38分。但这不是相当地结束。

我很高兴地宣布，从7月7日开始，Subscck上的数学谜题将继续进行。你可以收听我即将发布的时事通讯，费德勒在证据上被亲切地称为“提琴手”。我希望很快能就此发布一些更令人兴奋的消息。但与此同时，注册（免费！）以保持益智游戏的精彩。

同时，回到本周的谜题，你们中的许多人都会非常熟悉！

本周的谜语

一些读者可能熟悉第一,第二,第三的,第四,第五,第六和第七谜语人国家之战。如果您错过了，您可能需要咨询数千次攻击分布从之前的一些比赛中。

本周是第八次（也是最后一次！）这样的比赛。与前几场战斗一样，我再次调整规则。

在一片被战争蹂躏的遥远土地上，有10座城堡。有两个军阀：你和你的宿敌。每个城堡都有自己的战略价值。具体来说，城堡值1、2、3、…、9和10分。你和你的敌人每人都有100名士兵，可以随意分配，在10个城堡中的任何一个进行战斗。无论谁派更多的士兵到一个给定的城堡，都会征服该城堡并获得胜利点数。如果你们每个人都派出相同数量的部队，你就可以分到几分。直到战斗开始，你才知道敌人选择了什么样的兵力分配。谁得分最多，谁就赢得了战争。

提交一份计划，在10座城堡中分配你的100名士兵。一旦我收到你的所有作战计划，我将决定所有可能的一对一对决。一场胜利等于一个“胜利点”，而一场平局等于0.5个胜利点。在所有一对一比赛完成后，无论谁积累了最少的胜利点数将从锦标赛中取消，比赛结束后将以少一名选手重新开始。

如果两个军阀以最少的胜利点数平局，第一个决胜局将是谁赢了（和更少的平局），第二个决胜场将是上一轮的表现（然后是前一轮，等等）。如果砧板上的两个或多个策略完全相同，我会随机选择要消除的策略。

谁能幸存下来每一个圆将加冕为Riddler民族的最后一位国王或王后！

提交您的策略

最后一条Riddler Express的解决方案

祝贺加利福尼亚州洛斯奥索市的尼诺——马特·卡尔顿尼诺获得上周的Riddler Express.

上周，两支球队开始了一场掷硬币比赛和一卷骰子。也就是说，一队队长掷硬币，而另一队队长则掷骰子。他们继续这样做，直到硬币与三连续翻转或模具上面朝上的数字与二连续滚动。

平均来说，连续投三次硬币需要多少次？需要多少个骰子才能连续得到两个？

让我们从硬币开始，可以说这是两种硬币中比较棘手的一种。假设从一开始连续三次所需的预期翻转次数为E类(0). 类似地，当当前序列以一行中的一个结束时，让我们调用剩余翻转的预期次数，以获得三个连续翻转，而不管是正面还是反面E类（1） ，连续两次E类（2） 连续三次E类(3).

从那里，求解者艾米莉·米切尔（Emilie Mitchell）在这些值之间建立了一个方程系统，使她能够求解每一个值。因为目标是连续获得三名球员，E类（3） 仅仅是零-你不需要任何额外的翻转就可以连续三次。向后看，当你的一系列翻转以连续两次结束时，你的下一次翻转有50%的机会连续三次，有50%的机会恢复到只连续一次。数学上，这意味着E类（2） 等于1+E类(1)/2. 

同时，当你的翻转顺序以一个连续的翻转结束时，你的下一个翻转使你有50%的机会获得两个连续翻转，50%的机会恢复到只有一个连续翻转。数学上，这意味着E类(1) = 1 +E类(2)/2 +E类(1)/2. 最后，当你连翻一次都没有翻的时候，你的第一次翻肯定会给你连续一次。数学上，这意味着E类(0) = 1 +E类(1).

把这些方程式结合起来就可以E类(3) = 0,E类(2) = 4,E类（1） =6和E类(0) = 7. 所以，平均来说，第一个队长七次翻转一排有三个正面或反面。

现在是死亡。在第一次掷骰后，连续两次掷骰子的概率是以后每次掷骰的1/6。这意味着在两卷中连续获得两卷的概率是1/6，在三卷中是（5/6）²因此，预期的卷数为2卷（1/6）+3卷（5/6）+4卷（6/6）²Ð±Ñ’§(1/6) + 5бђ§(5/6)^三бђ§(1/6) + …. 这个的总和算术几何级数结果是7岁。

所以，平均来说，第二个队长七卷连得两个。

我个人认为，这两个事件——三个连续的翻滚有两个结果，两个连续的掷骰有六个结果——发生在平均相同次数的尝试之后，这是非常好的。

但为了获得额外的积分，你被问及哪个事件更有可能发生第一。人们很容易认为这两种情况首先发生的可能性相同，因为它们发生的平均尝试次数相同。然而，如解算器所示，它们的概率分布（即在给定次数的尝试后首次出现的概率）明显不同乔希·西尔弗曼:

对这两种分布进行采样后发现排在第二位的可能性更大概率为29/59，约为49%。相比之下，连续三枚硬币以25/59的概率排在第一位。正如你在这一点上所推测的那样，它们同时发生，概率为5/59。

最后一场Riddler经典赛的解决方案

恭喜科罗拉多州利特尔顿市的尼诺——加里·格肯·尼诺获得上周的Riddler精英赛.

上周，你学习了生成四位数的“中间平方法”伪随机数（看似随机的数字，但却是以确定的序列导出的）。

根据这种方法，您从一个四位数开始，例如9876。当你把它平方时，你得到了八位数97535376。你的下一个伪随机数取自该方块的中间四位数：5353。为了获得下一个伪随机数，你平方5353，得到28654609，中间四位数是6546。

当然，许多四位数都有一个七位数的正方形，而不是八位数。在一系列中间的平方数中，你可能会遇到一些较小的数字，它们的平方只有六位数或更少。在这种情况下，您可以在正方形的开头加上零，直到总共有八位数字，再次取中间的四位数字。

无论您选择的初始四位数是什么，伪随机数序列最终都会在循环中重复。如果您希望在重复出现之前获得这些数字的最长序列，您应该选择哪个起始数字？序列中有多少个唯一的数字？

本专栏中的许多谜题需要敏锐的分析能力，而其他谜题则需要计算能力。（在我看来，一些最好的谜题需要二者都.）这个谜题肯定是在计算方面出错了，因为有10000种可能性需要测试（从数字0000到9999），而且没有明确的直觉来判断哪个四位数会逐渐下降为一个循环。实际上，每个求解器都编写代码或使用数字电子表格来找到答案。

解算器Michael Branicky的Python代码正确地确定答案是6,239导致了一个巨大的111个唯一数字。该序列中最后四个唯一的数字是4100、8100、6100和2100，它们一起构成了一个四位数循环。

解算器Tom Conroy绘制了一张定向地图，显示了此处的更广泛结构：

汤姆发现有三个四个数字周期和五个不动点（即中间的平方产生自己的数字），其中最令人惊讶的是3792，其平方为14379264。根据汤姆的图表，似乎大多数四位数的数字都落入了与6239相同的最终循环中。

想要更多的谜题吗？

嗯，你运气好吗？有一整本书都是这个专栏中最好的谜题，还有一些以前从未有过的头条。它叫“Riddler”现在在商店里!

想提交谜语吗？

电子邮件Zach Wissner Grossrillerrcolumn@gmail.com.

谜语人

你能解决中间方的疯狂吗？

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年6月16日上午8:00

欢迎来到Riddler。每周，我都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会有两个谜题：一个是Riddler Express，适合那些想要比特大小的东西的人，另一个是《Riddler Classic》，适合那些喜欢慢动作的人。提交正确答案，⁴你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发一封电子邮件.

所有美好的事物…

6月30日星期五将是《谜》的最后一栏，时间是5点38分。但这不是相当地结束。下周，我将为Riddler Nation进行第八场也是最后一场战役，结果将在下周的最终专栏中公布。之后……请继续关注！

现在，不用再麻烦了，回到谜题上来！

Riddler快递

随着《谜语人》在FiveThirtyEight接近尾声，我终于可以说出来了：用硬币的翻转开始比赛（比如说，确定控球权）太无聊了！

相反，让我们给一队的队长一枚公平的硬币，给另一队的船长一个公平的骰子。拿着硬币的队长将在另一个队长掷骰子的同时掷硬币。他们继续这样做，直到硬币与三连续翻转或模具上面朝上的数字与二连续滚动。

平均来说，要连续投三次硬币需要多少次？需要多少个压模辊才能连续得到两个？

额外学分：虽然掷骰和掷骰的次数通常是相同的，但哪个队——拿硬币的队或拿骰子的队——更有可能赢抛/掷？（也就是说，哪种情况更有可能发生得更快？）

提交您的答案

Riddler经典

感谢推特，我最近意识到了生成伪随机数（看似随机的数字，但却是以确定的序列导出的）。

本周，让我们看看生成伪随机四位数的中间平方法。首先，我们从一个四位数开始，例如9876。如果我们将其平方，我们得到八位数97535376。我们的下一个伪随机数取自该方块的中间四位数：5353。为了获得下一个伪随机数，我们可以平方5353，得到28654609，其中中间四位数是6546。

当然，许多四位数都有一个七位数而不是八位数的正方形。在一系列中间的平方数中，你也可能会遇到一些较小的数字，它们的平方有六个或更少的数字。在这种情况下，您可以在正方形的开头加上零，直到总共有八位数字，然后再加上中间的四位数字。

无论您选择的初始四位数是什么，伪随机数序列最终都会在循环中重复。如果您希望在重复出现之前获得这些数字的最长序列，您应该选择哪个起始数字？序列中有多少个唯一的数字？

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最后一条Riddler Express的解决方案

祝贺纽约宾厄姆顿的Brian Mercurio获得上周的Riddler Express.

上周，你是Riddler航天局的任务指挥官，该航天局正与一家竞争机构进行太空竞赛。这两个机构都试图声称一个新发现的、具有磁场的完美球形月球的区域。月球表面到处都是从北极指向南极的磁力线，平行到月球表面（即，磁场没有指向月球的体积，也没有指向月球外部）。

虽然你知道你的团队会首先到达月球，但负责的政客们与竞争对手达成了一项相当奇怪的协议。无论你的团队在月球上降落在哪里，表面上所有磁力线指向你着陆点方向的点，也就是磁场指向更多的地方朝向你的降落地点比离开从中——将属于Riddler民族。所有剩余的部分都将进入竞争机构所在国。

如果你的团队降落在月球表面的一个随机点上，那么Riddler Nation预计会占据月球表面面积的多少？

起初，这似乎是一个颇具挑战性的难题。对于一些着陆点，所发生的事情非常清楚。例如，如果你降落在月球的磁性北极，谜语人国家什么都得不到。但如果你降落在磁性南极，那么整个月球都将被Riddler民族占领。但对于其他着陆点，确定其场线朝向更多的点的轨迹A类-或其磁场向量有积极的成分A类你可能会说，它的方向更难确定。 

幸运的是，大多数求解者都认识到有一种方法可以绕过这个三维混乱。该地区确实在某一点登陆A类可能很难计算。然而，每一个球体表面上的点有一条场线，该场线要么指向更大的方向A类或更靠近对极属于A类-也就是说，月球正对面的点。（是的，有些点的线条也没有指向任何一个点A类或的对极A类，但在计算概率时，与整个二维曲面相比，这组一维点可以忽略不计。）

所以，在一点之间A类它的对极，整个月球表面都被占领了。这意味着Riddler Nation在A与其对极之间的平均面积为一半表面（即一个完整的表面被两个点分割）。由于整个表面可以分裂成对对的点，这意味着平均而言你声称一半表面。

最后一场Riddler经典赛的解决方案

祝贺加利福尼亚州帕洛阿尔托市的Reid Price获得上周的Riddler精英赛.

上周，你试图过桥时被巨魔拦下。只要你能估计出一个数的阶乘，巨魔愿意允许你通过另一边N个（巨魔善意地提醒您，整数的阶乘（写有感叹号）是从1到该数字的所有整数的乘积。例如，5！是从1至5的整数的乘法，所以它是120。）

当你从口袋里掏出计算器时，你想这没问题。除了10位数字和一个小数点外，您的计算器还可以进行加、减、乘、除和指数运算。它甚至有一个阶乘按钮。或者更确切地说，它过去…

看起来，这个狡猾的巨魔以某种方式从你的计算器中神奇地删除了阶乘按钮，用一个标有“factorial”的按钮替换了它N个，它加载了的值N个当你按下它时，它就会从计算器的内存中消失。虽然你还不知道N个，巨魔告诉你不超过200。

要过桥，你必须用计算器估算N个! 在两个数量级以内-也就是说，你的答案必须在精确值的100倍以内N个!.

你会在计算器中输入什么表达式？

少数读者选择乘法N个通过N个−1，然后根据N个−2，然后根据N个−3，依此类推。虽然从谜题中还不完全清楚你是否可以读出N个从计算器-因此当您到达N个−(N个−1）-将1到的所有数字相乘N个很容易导致错误。即使你没有犯任何错误，巨魔也可能会变得不耐烦，把你从桥上扔下来。

而不是找到N个!, 这个难题实际上是要求你找到一个合适的近似值，即在10倍以内²-对所有价值观都有效N个从1到200。大多数求解者回忆说，当涉及到阶乘估计时，斯特林近似是go-to公式。近似值通常以对数形式表示：ln(N个!) ≈N个在(N个) −N个这里，ln是自然对数功能。

提高e（电子）Stirling近似和使用几个指数恒等式重新排列给出了近似的等效形式：N个! ≈ (N个/e（电子）)^N个。在进一步讨论之前，我只想指出这个近似值有多酷。将1到之间的每个数字相乘N个可以通过乘以一个数字来近似N个次。但那个数字是多少？现在是1/e（电子）次N个，或约37%N个-无论什么价值N个就是这样。整洁，对吗？

无论如何，因为你的计算器没有按钮e（电子）里德（本周的获胜者）使用了2.7。的确，对所有人来说N个都在1到200之间(N个/e（电子）)^N个 和(N个/2.7)^N个在100倍以内N个!, 尽管(N个/2.7)^N个如下图所示，在这个域上是一个更好的近似值。虽然这里有多个正确答案，但我有充分的理由看到你进入(N个/2.7)^N个在你的计算器上，巨魔特别高兴。

当然，斯特林近似只是一个近似，可以进一步细化。而不是提交(N个/e（电子）)^N个对于巨魔，你可以把这个乘以√（2N个)以获得非常精确近似N个!, 如图所示。求解者雅典娜·霍夫（Athena Hough）同样发现(N个/e（电子）+1)^N个是一个比(N个/e（电子）)^N个在感兴趣的领域。

最后，几个人安全过桥没有使用或修改斯特林近似。特别是，求解器Austin Shapiro选择了沿对数图间隔开的五个点(N个!) 在1到200之间，找到了通过这五个点的唯一四次多项式。奥斯汀近似N个! 然后将10提升到这个四次多项式，或10^（0.000000119·N个⁴− 0.0000606·N个^三+ 0.0127·N个²+ 0.82·N个− 1.48). 这是一个噪音更大的近似值，如图中波浪状的紫色点所示，它需要更多的按键。但是巨魔怎么会不欣赏奥斯汀的风格呢？

想要更多的谜题吗？

嗯，你运气好吗？有一整本书都是这个专栏中最好的谜题，还有一些以前从未有过的头条。它叫“Riddler”现在在商店里!

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发送电子邮件至Zach Wissner-Grossrillerrcolumn@gmail.com.

谜语人

你能用计算器打败巨魔吗？

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年6月9日上午8:00

欢迎来到Riddler。每周，我都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会有两个谜题：一个是Riddler Express，适合那些想要比特大小的东西的人，另一个是《Riddler Classic》，适合那些喜欢慢动作的人。提交正确答案，⁵你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发封电子邮件.

一切都好…

6月30日星期五将是《谜》的最后一栏，时间是5点38分。如果我的数学是对的，那么在过去八年中，共有375列（这是第376列），其中四列由奥利弗·罗德（Oliver Roeder）管理，另外四列由我管理。阅读（并试图解决）提交者的谜题，写下我自己的几个谜题，尤其是惊叹于整个Riddler Nation的创造性解决方案和合作，每一刻都是一种绝对的快乐。

但这不是相当地结束。6月23日，星期五，我将为Riddler Nation进行第八场也是最后一场战役，结果将在下周的最终专栏中公布。之后…请继续关注！

如果你想在数学、逻辑和概率（偶尔还有几何、物理和其他方面）方面每周做更多的谜题，请考虑做一次一分钟的调查，这将有助于我规划下一步：

进行调查

现在，不用再麻烦了，回到谜题上来！

Riddler快递

蒂姆·柯威克（Tim Curwick）提出了一个难题：

你是Riddler航天局的任务指挥官，该机构正与竞争机构进行太空竞赛。这两个机构都试图声称一个新发现的、具有磁场的完美球形月球的区域。在月球表面的每一处，磁力线都从北极指向南极，平行到月球表面（即磁场不指向月球体积的内部或外部）。

虽然你的团队将首先到达月球，但负责的政治家们达成了一项相当奇怪的协议。无论你的团队在月球上降落到哪里，表面上所有磁力线指向你的着陆点方向的点——也就是说，磁场指向更多的地方朝向你的降落地点比离开将属于Riddler民族。所有剩余的部分都将进入竞争机构所在国。

如果你的团队降落在月球表面的一个随机点上，那么Riddler Nation将声称月球表面面积的预期比例是多少？

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Riddler经典

有一天，当你过桥时，你发现自己被一个巨魔拦住了。只要你能估计一个数的阶乘，巨魔就会允许你通过另一边N个.（troll善意地提醒您，整数的阶乘（写有感叹号）是从1到该数字的所有整数的乘积。例如，5！是从1至5的整数的乘法，因此它是120。）

当你从口袋里拿出计算器时，你认为这没问题。除了10位数字和一个小数点外，您的计算器还可以进行加、减、乘、除和指数运算。它甚至有一个阶乘按钮。或者更确切地说，它过去…

看起来，这个狡猾的巨魔以某种方式从你的计算器中魔术般地删除了阶乘按钮，用一个标为N个，它加载的值为N个无论何时按下计算器的内存。巨魔并没有向你透露N个，虽然你的计算器知道它是什么，但你做知道这一点N个不超过200。

要通过这座桥，你必须用计算器估算N个! 在两个数量级以内-也就是说，您的答案必须在精确值的100倍以内N个!.

你将在计算器中键入什么表达式？

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最后一条Riddler Express的解决方案

祝贺休斯顿队的尼诺上周的Riddler Express.

上周，你在Riddler赌场赌马。赌场为每匹马提供了投注赔率（美国格式）。例如，-150的赔率意味着每下注150美元，您就额外赢得100美元。与此同时，+150的赔率意味着每下注100美元，您就额外赢得150美元。

现在，为了收支平衡，一匹赔率为-150的马应该在60%的时间内获胜，而一匹赔率为+150的马应该会在40%的时间内赢。（是的，+100和-100都意味着50%的获胜机会。）当然，大多数赌场操纵赔率，以至于在比赛中赌所有的马都会导致你赔钱。

但不是Riddler赌场！在这里，一匹赔率为-150的马确切地获胜概率为60%，而胜率为+150的马确切地40%的机会。

因此，上周，一场五匹赛马吸引了你的眼球。其中三匹马的赔率分别为+100、+300和+400。你不太清楚最后两匹马的赔率，但你可以看到它们都是100的正倍数。最后两匹马中的一匹可能拥有的最高赔率是多少？

既然你知道Riddler赌场提供了公平的赔率，你可以将前三匹马的赔率直接转换为概率。第一匹马的赔率为+100，这意味着你每下注100美元，你就会额外赢得100美元。为了公平起见，这匹马获胜的概率必须是1/2。第二匹马的赔率是+300，这意味着它获胜的概率是1/4。第三匹马的赔率为+400，这意味着它获胜的概率为1/5。一般来说，正概率是100倍x对应于1的概率/(x+1).

你还知道五匹马中必须有一匹马获胜，这意味着它们的概率必须增加到1。前三匹马的总概率为1/2+1/4+1/5或19/20。这意味着最后两匹马总共有1/20的获胜机会。但是什么是他们个人的机会？

我们已经说过正概率是100倍x对应于1的概率/(x+1). 所以什么时候x是一个整数，就像你被告知的最后两匹马的情况一样，这意味着概率是一个单位分数（即分子为1的分数）。这意味着最后两匹马的概率可以写成1/一和1/b条，其中一和b条是整数和1/一+ 1/b条= 1/20.

这个谜题特别要求尽可能高最后两匹马中的一匹马的概率，所以你想最小化这两个概率中的一个，比如说，1/b条。您可以最小化1/b条通过最大化1/一小于1/20的最大单位分数为1/21。设置一等于21给你1/b条=1/20−1/21，即1/b条=1/420，这确实是您可以生成的最小单位分数。（等效地，正如求解器Bowen Kerins所认识到的，1/420是一个明显与最高赔率。）

最后一步是将这个概率转换回下注概率。最后两匹马的赔率为+2000（概率为1/21的马）+41,900（对于概率为1/420的马）。

最后一场Riddler经典赛的解决方案

祝贺田纳西州Old Hickory的尼诺——亚当·理查德森·尼诺获得上周的Riddler精英赛.

上周，在一场游戏秀中，从左到右排列了三扇相同的门。节目主持人“蒙蒂”选择了其中一扇门，并在后面放置了100美元的奖金。其他两扇门后面没有奖金。蒙蒂选择门并把钱放在门后时，你不在场，所以你无法确定奖品在哪扇门后。

然后你被带到舞台上，并被要求从三扇门中选择一扇门打开。如果奖金在后面，那么你赢了！但如果你猜错了，一切都没有丢失。你可以花80美元选第二个门。然而，在你进行第二次选择之前（但在你支付了80美元之后），蒙蒂会给你一个提示，告诉你奖品是在你第一次选择的左边还是右边的门后面。（注意，这个提示只有在你之前选择了中门时才有帮助。）如果奖品不在第二扇门后面，你可以再支付80美元尝试第三次。

你可以假设你和蒙蒂都使用了最佳策略——你要最大化你的预期净收益（奖金减去提示付款），蒙蒂要最小化这一点。你预计平均净收益是多少？

你可能认为你应该先打开中间的门。如果奖品就在后面，那么你就不用花一分钱就赢了100美元，太棒了！但是如果奖品不是在中门后面，你可以花80美元获得一个提示和另一个选择。当然，这个提示告诉了你奖品的确切位置，因为只有一扇门在中间的左边，另一扇门则在右边。在支付了80美元后，你保证会在下一次选择中赢得100美元。因此，采用这种策略，你要么直接赢得100美元，要么获利20美元。

现在，如果蒙蒂采用了你的策略，他肯定会把奖品放在两个侧门中的一个后面，而不是放在中间，这意味着你从未真正赢得过100美元，反而只赚了20美元。所以不是总是先选中门，值得一试混合战略有时你会选择中门，有时选择侧门。蒙蒂可能也会这样做。通过两层混合策略竞赛，这个难题轻松地落入了博弈论的范畴。

假设你选择了中门第页以及每个侧门的概率（1−第页)/2. 同时，假设蒙蒂有可能把奖品放在中门后面q个和一个概率为（1−q个)/2. 你预期的奖金是多少第页和q个?

无论是中门还是侧门，你直接选择奖品门的机会是pq值+ (1−第页)(1−q个)/2，在这种情况下，你赢了100美元。如果您先选择了中间的门，但不正确，这很可能发生第页(1−q个)，这个提示确保了你在下次尝试时总是猜对了，这意味着你的净赢款是20美元。如果您选择了侧门但不正确，则发生概率为（1−第页)q个+ (1−第页)(1−q个)/2，你仍然有两扇门可能隐藏了奖品，结果证明不值得再玩了，这意味着你没有净利润或亏损。

综合这些结果，您的预期奖金（美元）为100pq值+ 100(1−第页)(1−q个)/2 + 20第页(1−q个)，简化为50−30第页− 50q个+ 130pq值。事实证明，这个游戏有一个独特的纳什均衡，由求解器Rohan Lewis绘制如下：

为了分析求解这个平衡，你可以分析前面的表达式是如何随着第页和q个。对于任何值q个（即，无论蒙蒂的战略是什么）第页总是能获得预期的最高奖金。要计算这个值，可以对q个得到130第页− 50. 将此值设置为零可以获得第页（对你来说），那是5/13。类似地，对第页给了你这个表达130q个−30，并将其设置为零，可以获得以下最佳值q个（对蒙蒂来说），是3/13。

根据博弈论，事情是这样发展的：蒙蒂以3/13的概率将奖品放在中门后面，以5/13的概率将奖品放在两扇侧门后面。然后，您选择中门的概率为5/13，而两个侧门的概率分别为4/13。所有这些都很直观——你更可能选择中间的门而不是两边的门，而蒙蒂更喜欢中间的侧门。

插入以下值第页和q个在预期赢款的表达式中，您得到的结果是500/13，或大约$38.46事实上，如果你总是走中路，蒙蒂也明白了你的计划，那么这比20美元还多。

为了获得额外的积分，你和蒙蒂玩了一场类似的游戏，但这次你必须先支付80美元，然后才能选择第一个门。如果奖金仍然是100美元，那么这个游戏就不值得玩了。为了让这个新游戏有价值，奖金应该是多少？

通过类似的分析，只有当奖品超过时，这样的游戏才有价值$144.

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发送电子邮件至Zach Wissner-Grossrillerrcolumn@gmail.com.

谜语人

你能计算出远射吗？

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年6月2日上午8:00

欢迎来到Riddler。每周，我都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会有两个谜题：一个是Riddler Express，适合那些想要比特大小的东西的人，另一个是《Riddler Classic》，适合那些喜欢慢动作的人。提交正确答案，⁶你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示，或者有一个最喜欢的谜题在阁楼里积灰，在推特上找到我或给我发一封电子邮件.

Riddler快递

你在Riddler赌场，你在赌赛马。赌场为每匹马提供投注赔率（美国格式）。例如，-150的赔率意味着每下注150美元，您就会额外赢得100美元。与此同时，+150的赔率意味着每下注100美元，您将额外赢得150美元。

要实现收支平衡，赔率为-150的马应赢得60%的时间，而赔率为+150的马应获得40%的时间。（是的，+100和-100都意味着50%的获胜机会。）当然，大多数赌场操纵的赔率是，在一场比赛中赌所有的马都会导致你赔钱。

但不是Riddler赌场！这里，一匹赔率为-150的马确切地获胜概率为60%，而胜率为+150的马确切地40%的机会。

今天，一场五匹赛马吸引了你的眼球。三匹马的赔率分别为+100、+300和+400。你不太清楚最后两匹马的赔率，但你可以看到它们都是100的正倍数。最后两匹马中的一匹可能拥有的最高赔率是多少？

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Riddler经典

Chris Gerig是著名的蒙提霍尔问题:

在游戏节目中，有三扇相同的门从左到右排成一排。节目主持人“蒙蒂”选择其中一扇门，并在其后面放置100美元的奖金。其他两扇门后面没有奖金。当蒙蒂选择门并将钱放在门后时，你并不在场，因此你无法确定奖品在哪扇门后。

然后你被带到舞台上，必须从三扇门中选择一扇门打开。如果奖金在后面，那么你赢了！但如果你猜错了，一切都不会丢失。你可以花80美元选第二个门。然而，在你进行第二次选择之前，蒙蒂会给你一个提示，告诉你奖品是在你第一次选择的左边还是右边。（注意，只有当你之前选择了中间的门时，这个提示才有帮助。）如果奖品不在第二扇门后面，你可以再支付80美元尝试第三次。

假设你和蒙蒂都使用最佳策略——你要最大化你的预期净收益（奖金减去提示付款），蒙蒂要最小化这一点。你预计平均净收益是多少？

额外学分：假设蒙蒂让你在选择第一扇门之前提前支付80美元，而随后的每一次选择（如果你选择了）都将继续花费80美元。如果奖金仍然是100美元，这个游戏就不值得玩了。奖金应该是多少才能使比赛有价值？

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最后一次Riddler Express的解决方案

祝贺宾夕法尼亚州西切斯特市的瑞安·斯蒂尔获得上周的Riddler Express.

上周，作为Riddler Nation的公民，你访问了美国。当你在美国机场降落时，你想用你的100里德利安卢比兑换一些美国货币。幸运的是，你注意到一个货币兑换站，在那里可以盈利。

当时，人们知道美元比卢比更有价值。现在这个电台说他们会给你D类每卢比美元，其中D类小数小于1，排在第一百位。所以D类可能是0.99、0.50或0.37，但不是0.117或1/。当把美元兑换回卢比时，电台使用的汇率为R（右），其中R（右）等于1/D类 四舍五入到最近的百分之一（是的，最后一部分非常重要。）

例如，假设D类为0.53。在这种情况下，当你交易100卢比时，你得到53美元。当把53美元兑换回来时，电视台使用的汇率为1/0.53，即1.88679…，他们将其四舍五入为1.89。因此，退还53美元可获得100.17卢比的净利润！

的价值是什么D类会为你赢得100卢比的最大利润吗？（记住，D类是一个小数，保留到第一百位，小于1。）

首先，在这个过程中，盈利实际上发生在哪里？因为D类是一个四舍五入到最接近的百分之一的小数，当你兑换100卢比时，你总是会得到等值的美元。这是交换后面从美元到卢比，在那里盈利是可能的。

许多求解者推导出了一个代数表达式，表示你赚了（或损失）多少钱。你从100卢比开始，第一次兑换后你有100卢比·D类美元。当时的汇率是1/D类四舍五入到最接近的百分位，可以用数学形式表示为四舍五位（100/D类)/100，其中“round”是四舍五入到最接近的整数的函数。最后，你有100个·D类·圆形（100/D类)/100卢比，简化为D类·圆形（100/D类).

从那里，大多数解算器要么编写代码来找到此函数的最大值，要么像Lise Andreasen一样，使用电子表格测试D类从0.01到0.99。解算器Bryce Manifold绘制了此函数与初始100卢比之间的百分比差异，如下所示。在这张图中有一些有趣的行为，包括一些明显的振荡和一个圆锥形状，随着D类。最大值出现在D类是0.93在这种情况下，你最初的100卢比净赚了0.93卢比（100/0.93），或100.44卢比，增幅高达0.44%。

虽然0.44%听起来可能不太令人印象深刻，但这一点杠杆作用是你实现套利计划所需的全部。如果你让你的电脑连续快速进行158次这样的交易，你的钱就会翻一番。经过10000次这样的交易，你的资金将超过全世界每年的GDP（尽管到那时可能有人已经理解了你的计划）。

最后一场Riddler经典赛的解决方案

祝贺密苏里州斯普林菲尔德市的比尔·尼格尔获得上周的Riddler精英赛.

上周，你的办公楼后面有一个停车场，有10个车位，可以先到先得。这10个车位总是在早上8点前就被填满了，而停车场在下午5点整很快就清空了。

每天上午8点之前抓到斑点的10只“早起鸟”中，有3只在上午10点到下午3点之间随机离开，当天没有回来。知道一些早起的鸟儿在那五个小时的窗口中离开了，九个“掉队者”在上午10点到下午3点之间随机开车经过停车场。如果有空位，一个掉队者立即停在停车场，直到下午5点才离开。如果没有空位，一个掉队的人立即开车离开停车场，把车停在别的地方，那天没有回来。

假设你是一个在上午10点到下午3点之间随机到达的落伍者，你在停车场中获得一个位置的概率是多少？

这个谜题是一个组合学的练习。总共有12人需要跟踪，他们都在同一时间段内随机、独立地采取了行动——3人离开，9人抵达。这种情况发生的一种方式是，所有早起的鸟儿都离开了，随后所有掉队者（S）都来了，最后一个是你（Y）。我们可以将其记录为EEESSSSSY——三只早期鸟（E），然后是八只掉队鸟（S）和你（Y）。在这种情况下，你会不在停车场有一个位置。但对于其他订单，如EESYESSSSSS，您将得到了一个位置。

这种停车场景可能发生的总方式数等于安排三个E、八个S和一个Y的方式数，即12/（3！·8！·1！）或1980年。

在这些同样可能发生的案例中，Bradon Zhang和Marissa Weichman等解算师根据以下四个字母序列的出现情况，将你得到位置的案例分为四类：

• 安永
• EESY公司
• 易斯（EEESSY）
• EESESY公司

经过仔细考虑，您应该能够说服自己，这四个类别是互斥的（即，一个订单不能包含这些序列中的多个序列），并且具有这些子序列之一的订单正是您可以停放在停车场中的订单。

从那里，你必须计算出1980年的序列中有多少包含了这些子序列。例如，为了找到包括EY的数字，在12个字母的总位置中，有11个可以开始EY子序列。剩下的10个字母包括两个E和八个S，其中有10个/（2！·8！）或45种订购方式。因此，有11·45，或495个这样的订单。同时，有72个订单包含EESY，7个订单包含了EEESSY，另外7个订单同样包含了EESESY。

总共有581个订单包含四个子序列中的一个子序列，这意味着您在该批次中获得一个位置的概率为581/1,980约占29.3%。

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谜语人

你会玩货币兑换游戏吗？

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年5月26日上午8:00

欢迎来到Riddler。每周，我都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会推出两款谜题：为那些想要一口大小的谜题的人提供谜语快车，为那些参与缓慢谜题运动的人提供谜语经典。提交正确答案，⁷你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发一封电子邮件.

Riddler快递

作为谜语人国家的公民，你正在访问美国。当你在美国机场降落时，你想用你的100卢比兑换一些美国货币。幸运的是，你注意到了一个货币兑换站，在那里可能只会盈利。

众所周知，美元比卢比更有价值。现在这个电台说他们会给你D类每卢比美元，其中D类是一个小于1的小数，精确到第一百位。所以D类可以是0.99、0.50或0.37，但不能是0.117或1/。当把美元兑换回卢比时，电台使用的汇率为R（右），其中R（右）等于1/D类 四舍五入到最近的百分之一（是的，最后一部分非常重要。）

例如，假设D类为0.53。在这种情况下，当你交易100卢比时，你会得到53美元。当把53美元兑换回来时，电视台使用1/0.53或1.88679的汇率，四舍五入到1.89。因此，退还53美元可获得100.17卢比的净利润！

的价值是什么D类你会用100卢比为你赚取最大的利润吗？（记住，D类是一个小数，精确到百分位，小于1。）

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Riddler经典

Dave Moran提出了一个实用的停车难题：

Dave的办公楼后面有一个停车场，有10个车位，先到先得。这10个车位总是在早上8点前就满了，而停车场在下午5点整很快就空了。

每天，上午8点之前捕捉到斑点的10只“早起鸟”中，有3只会在上午10点到下午3点之间随机离开，当天不回来。知道一些早起的鸟儿会在五小时内离开，九个“掉队者”会在上午10点到下午3点之间随机开车经过停车场。如果有空位，掉队者会立即停在停车场，直到下午5点才离开。如果没有空位，一个掉队的人立即从停车场和其他地方开车离开，当天不回来。

假设你是一个在上午10点到下午3点之间随机到达的落伍者，你在停车场获得一个位置的概率是多少？

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最后一次Riddler Express的解决方案

祝贺明尼阿波利斯的比利·穆拉尼获得上周的Riddler Express.

在2013-14赛季之前，NBA更改了格式NBA总决赛，七连胜。此前，总决赛采用“2-3-2”的形式：第1、2、6和7场比赛在较高种子队的主场进行，而第3、4和5场比赛在较低种子队的场地进行。随着这一变化，总决赛改为“2-2-1-1-1”形式：第1、2、5和7场比赛在高级别球队的主场进行，而第3、4和6场比赛则在低级别队的主场进行。

上周，你为高种子球队效力，进入总决赛。虽然你的球队在常规赛中取得了更好的成绩，但两支球队势均力敌——在一个中立的场地，两支球队都有可能赢得比赛。当然，总决赛中没有比赛是在中立的场地进行的。两队都有60%的机会赢得每场主场比赛，40%的机会赢得每场客场比赛。

哪种形式（2-3-2或2-2-1-1-1）让您的球队更有机会赢得总决赛？（或者它们是一样的吗？）

一些求解者，如艾米丽·凯利，已经完成了细节，但由于事先进行了一些仔细的思考，结果证明没有必要这样做。我们倾向于根据比赛的场次将最佳的七场系列赛分为不同的情况，可能是四场、五场、六场或七场，每一场都有不同的发生概率。但另一种想象这一切的方式是两队比赛全部七场比赛即使其中一支球队已经赢了四场比赛。打那些潜在的额外比赛不会影响任何一支球队赢得系列赛的概率，因为第一赢得七分之四的球队必须是只有赢得七场比赛中的四场。

因此，如果你想象不管怎样都要打七场比赛，其中四场在主场，三场在客场，那么哪场比赛在主场，哪场比赛正在客场，顺序对你获胜的机会没有影响。因此，这两种格式（2-3-2和2-2-1-1-1）都为您提供了同样的机会获胜的机会。

就这一点而言，系列赛可能是1-1-1-1-1-1-1（每场比赛交替主客场）、4-3（前四场主场比赛）或3-4（最后四场主场赛）。这一切都无关紧要——所有7个选择4（或35）安排都给了你同样的机会赢得系列赛。

要获得额外的积分，你必须确定获胜的机会。这一次，需要像艾米丽那样处理细节。再一次，想象你打了七场比赛，而不是一支球队赢了四场比赛就停下来，可能会更简单。最后，你获胜的概率是8313/15625，或者约53.2%.

有趣的是，当主队拿下50分时+x获胜的概率百分比，那么你赢得系列赛的概率与x。对于较小的值x，连胜的概率徘徊在50%左右。我们已经说过，当主队60%的时候，你有53.2%的机会赢得系列赛。当主队在70%的时间里获胜时，你在57%的时间里赢得了系列赛。当主队赢得80%的时间时，你赢得了系列赛的62.6%的时间。当主队在90%的时间里获胜时，你在73.6%的时间里赢得了系列赛。但当主队100%获胜时，主场优势意味着你一定会赢得系列赛。

最后一场Riddler经典赛的解决方案

祝贺芝加哥的马修·皮科克获得上周的Riddler精英赛.

上周，你只从写在帽子纸条上的数字1开始。你打算从帽子上画画100次，每次画画时，你都有一个选择：如果你画的纸条上的数字是k个，则您可以接收k个美元或加起来k个帽子上的数字越大。

例如，如果帽子里有编号为1到6的纸条，而你画了一个4，那么你可能收到了4美元，也可能没有收到钱，但在帽子里再加上四张编号为7、8、9和10的纸条。无论是哪种情况，带有数字4的纸条都会被放回帽子。

如果你玩得很好——也就是说，为了最大化100回合后你能得到的总金额——你期望平均能得到多少钱？

让这个谜题有趣的是你的选择之间明显的紧张关系：在每一个阶段，兑现你能兑现的东西更有意义吗？还是你最好再投资并投入更多的资金，这可能会提高你以后的收入？大多数求解者通过从只剩下几轮的时候开始倒退来解决这种紧张。 

假设你第100次（也是最后一次）画画N个帽子里的数字。因为这是你最后一次从这个游戏中提取现金的机会，所以你总是拿着钱，而不是往帽子里放更多的数字。您可能会收到从1到N个，或(N个+1） /2美元。

现在假设你第99次画画。再一次，假设有N个帽子中的数字（可能与N个在上一段中），并且您绘制了数字k个.如果你把钱放在口袋里，你会得到k个这一轮美元，然后平均(N个+1） 最后一轮为/2美元，总平均值为k个+(N个+1)/2. 但如果你把k个帽子里有更多的数字，这一轮你会得到零美元，平均(N个+k个+1） 在最后一轮中/2美元。自k个+(N个+1） /2始终大于(N个+k个+1） /2，你最好把钱拿到这里。最后，您可以期望获得k个+(N个+1） /2的所有值k个从1到N个，这是N个+1美元。

接下来，假设你第98次画画。再一次，假设有N个帽子里的数字和你画的数字k个如果你接受k个美元，100张图纸后您的预期总额应该是k个+N个+1.如果您改为添加k个数字越多，100张图纸后的预期总数就越大再一次已经是k个+N个+1，结果完全一样！因此，在第98次抽奖中，你拿了钱或是在帽子上加了更多的数字都无关紧要。不管怎样，你期望的最终总数是（3/2）·(N个+1） 美元。

现在假设你第97次画画N个帽子上的数字和抽出来的数字k个。如果你拿了钱，你预计的总数是k个+(3/2)·(N个+1). 如果您添加了k个更多的数字，你的预期总数是（3/2）·(N个+k个+1). 这一次，你通过在帽子上加数字平均获得了更多的钱，预计总数为（3/2）²·(N个+1） 美元。

当你第96次、第95次、第94次等等抽签时，在帽子里放更多的数字也是一个更好的选择，之前的每一次抽签都会在你期望的总数上再加上一个3/2的因子。

总之，您可以通过以下方式最大化预期收益总是把更多的数字放进帽子里（不管值是多少k个你画的）前97幅画。对于第98届奥运会，你拿了钱或是在帽子上加了更多的数字都无关紧要。最后两幅画，你拿了钱。最后，您预期的总赢款为（3/2）⁹⁸·（1+1），或约361.4万亿美元作为参考，这个数字超过了世界年GDP的几千倍。

Solver Laurent Lessard进一步探索了分布当你玩游戏时，你的赢款可能会最大化平均值。发行版有一个对数正态外观，这就是算术平均值出现在最大值右侧的原因。虽然你平均赚了361.4万亿美元，但你的收入通常低于这个数字（有时很多更多）。

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嗯，你运气好吗？有一整本书都是本专栏中最好的谜题，还有一些以前从未见过的令人挠头的谜题。它叫“Riddler”现在在商店里!

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谜语人

你能从帽子里拿出多少钱？

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年5月19日上午8:00

欢迎来到Riddler。每周，我都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会有两个谜题：一个是Riddler Express，适合那些想要比特大小的东西的人，另一个是《Riddler Classic》，适合那些喜欢慢动作的人。提交正确答案，⁸你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享你的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发一封电子邮件.

Riddler快递

在2013-14赛季之前，NBA更改了格式NBA总决赛，七战三胜制系列赛。此前，总决赛采用“2-3-2”的形式：第1、2、6和7场比赛在较高种子队的主场进行，而第3、4和5场比赛在较低种子队的场地进行。随着这一变化，总决赛改为“2-2-1-1-1”形式：第1、2、5和7场比赛在高级别球队的主场进行，而第3、4和6场比赛则在低级别队的主场进行。

假设你为进入总决赛的高级别球队踢球。虽然你的球队在常规赛中表现更好，但两队势均力敌——在中立场地，两队获胜的可能性相等。当然，总决赛中没有比赛是在中立的场地进行的。两队都有60%的机会赢得每场主场比赛，40%的机会赢得每场客场比赛。

哪种形式（2-3-2或2-2-1-1-1）使您的团队更有机会赢得总决赛？（或者它们是一样的？）

额外学分：在每种形式下，你的球队赢得总决赛的机会有多大？

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Riddler经典

Yonah Borns-Weil提供了一个（可能）赢得很多钱的机会：

你只需要从写在帽子纸条上的数字1开始。最初，帽子里没有其他纸条。你将从帽子上画画100次，每次画画时，你都有一个选择：如果你画的纸条上的数字是k个，然后您可以接收k个美元或加起来k个帽子上的数字越大。

例如，如果帽子里有数字1到6的纸条，你画了一个4，你可以收到4美元，也可以不收到钱，但可以在帽子里再加上四张数字7、8、9和10的纸条。无论是哪种情况，带有数字4的纸条都会被放回帽子。

如果你把这个游戏玩得很好，也就是说，为了最大化100回合后你会得到的总金额，你平均期望得到多少钱？

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最后一条Riddler Express的解决方案

恭喜日本Toyooka选手、上周的Riddler Express.

上周的拼图灵感来自游戏数字聚会，其中您将25位数字一次一个地放在一个五乘五的板上。每当两个相同的数字被放置在相邻的方块中时（无论是水平、垂直还是对角相邻），您都会得到与这两个数字的值相等的点数。

例如，如果你在一行中放置四个1，你会得到三个点，因为有三个相邻的点。如果你把这些1放在一个二乘二的正方形中，你会得到6个点，因为现在有六个相邻的点（包括两条对角线）。

在上周的拼图中，您必须将16个1放置在最初为空的无限网格上。你能获得的最大积分是多少？

为了最大化1之间的连接数，您需要一个整体紧凑的几何体。许多求解者从一个四乘四的正方形开始，这个正方形肯定值很多分：

只是有多少这一安排值多少分？共有12个水平连接、12个垂直连接和9对对角连接。总的来说，四乘四的正方形值42分。

但有可能做得更好！考虑以下布置，而不是正方形结构：

这一次，周边有12个水平连接、11个垂直连接、8对对角线连接和4个附加对角线接头。总的来说，这种安排是值得的43分，比正方形多一个，因此是本周难题的解决方案。

对于额外的学分，您必须安排的1的数量从16增加到100和1000。拼图的提交者（也是数字党的创造者之一）文斯·瓦特分享了最近的一篇文章它更详细地探讨了这个问题。事实证明，给定的最大连接数N个1s的轨迹非常接近N个日志(N个)有一段时间，您可以通过相应的OEIS序列（当然，这种模式不可能永远持续下去，因为通过再加1得到的额外连接数肯定是有界的。）

文章接着推测，最佳排列可以通过“八边形螺旋”产生，如下所示。

文章进一步指出，八边形螺旋中的连接数N个1等于4N个−⌈√(28N个−12)⌉. 什么时候？N个是100，这个表达式是347以及何时N个是1000，这个表达式是3,832.

最后一场Riddler经典赛的解决方案

祝贺英国伦敦奥运会冠军、上周的Riddler精英赛.

上周，外星人造访地球，宣布他们打算炸毁地球。（很可爱。）

然而，他们向你提出了挑战。如果你成功完成了挑战，他们会炸毁另一个星球。（可能是海王星，因为为什么不。）

外星人通过心灵感应给地球上80亿人中的每一个人分配了一个独特的随机数，均匀分布在0到1之间。每个人都知道自己的号码，但没有其他人知道。你面临的挑战是找出数字最高的人。

外星人允许你向所有80亿人提出一个“是”或“否”的问题。这个问题必须对每个人都是一样的，每个人都会同时回答。外星人礼貌地同意为你汇总数据，看看是谁回答了你的问题。

你会问什么问题？你拯救世界的机会有多大？

与相同之前的Riddler经典，您的策略是询问所有80亿人的人数是否超过某个阈值，t吨然后，在那些回答肯定的人中，你会随机挑选一个人，希望他们是数字最高的人。

从那里，你要做的就是找出t吨最大化你拯救世界的机会。要做到这一点，你必须找到这个概率的表达式t吨.

随机选择的人数小于或等于的概率⁹ t吨嗯，t吨他们的数量大于t吨为1−t吨所以概率每个人的数字小于t吨是t吨^{8,000,000,000}.发生以下情况的概率正好一个此人的数字大于t吨（一个能保证你拯救世界的理想场景！）是（800000000）·（1−t吨)·t吨^{7,999,999,999}在这个表达式中，80亿的系数是因为世界上80亿人口中的任何一个都可能是数字大于t吨.

概率正好两个人们的数字大于t吨80亿选择2，或（8000000000）·（7999999999）/2，倍（1−t吨)²·t吨^{7,999,999,998}。但在这种情况下，这并不是你拯救世界的概率t吨，您必须猜测哪个值更大，您有50%的机会正确执行。因此，正好有两个人的数字大于t吨 和你拯救了世界是（8000000000）·（7999999999）/2·（1−t吨)²·t吨^{7,999,999,998}/3.一般来说N个（大于零）人的数字大于t吨 和你拯救了80亿人的世界N个次数（1−t吨)^N个·t吨^{8,000,000,000−N个}/N个.

此时，必须为的所有值添加这些表达式N个在10亿到80亿之间，尽管价值为t吨接近1，其中许多表达式的值较大N个可以忽略不计。一些求解者通过使用计算机对这80亿个项中的大部分或全部进行求和来实现这一点，而其他人，如乔希·西尔弗曼使用的近似值对80亿这样的大人口来说效果很好。最终，当t吨约为1−1.88×10^-10所以，你会问每个人的问题是，“您的数字是否大于1−1.88×10^-10?”

拯救世界的可能性对t吨如下图所示。有趣的是，你拯救世界的几率超过了50%！最佳值为t吨，这个概率大约是51.7%-只是比掷硬币好一点。那么，你觉得幸运吗？

想要更多的谜题吗？

嗯，你运气好吗？有一整本书都是这个专栏中最好的谜题，还有一些以前从未有过的头条。它叫“Riddler”现在在商店里!

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发送电子邮件至Zach Wissner-Grossrillerrcolumn@gmail.com.

谜语人

你能拯救世界吗？

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年5月12日上午8:00

欢迎来到Riddler。每周，我都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会有两个谜题：一个是Riddler Express，适合那些想要比特大小的东西的人，另一个是《Riddler Classic》，适合那些喜欢慢动作的人。提交正确答案，¹⁰你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发封电子邮件.

Riddler快递

文斯·瓦特（Vince Vatter）提出了一个关于最近流行的“派对”游戏的谜题：

在游戏中数字聚会（文斯是其中的创造者之一！），你一次把25个数字一个放在一个五乘五的板上。每当两个相同的数字被放置在相邻的方块中时（无论是水平、垂直还是对角相邻），您都会得到与这两个数字的值相等的点数。

例如，如果你把四个1排成一行，你会得到3个点——有三个邻接。如果你把这些1放在一个二乘二的正方形中，你会得到6个点——现在有6个相邻点（包括两条对角线）。

这个游戏很有趣，本周的《快车》就是从中获得灵感的。

假设您必须将16个1放置在初始为空的无限网格上。你最多可以获得多少积分？

额外学分：假设您必须在一个最初为空的无限网格上放置100个1。你最多可以获得多少积分？1000秒怎么样？

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Riddler经典

保罗·普戴特给了你一个拯救世界的机会：

今年晚些时候，外星人将造访地球，并宣布他们打算炸毁地球。（很可爱。）

然而，他们给你带来了挑战。如果你成功完成了挑战，他们会炸毁另一颗行星（可能是海王星，因为为什么不这样）。

外星人通过心灵感应给地球上80亿人中的每一个人分配了一个独特的随机数，均匀分布在0到1之间。每个人都知道自己的号码，但没有其他人知道。你面临的挑战是找出数字最高的人。

外星人会允许你问一个是或否的问题¹¹给所有80亿人。这个问题对每个人来说都必须是一样的，每个人都会同时回答。外星人礼貌地同意为你汇总数据，以确定谁回答了你的问题“是”或“否”。

你会问什么问题？你拯救世界的机会有多大？

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最后一条Riddler Express的解决方案

祝贺印度孟买选手尼尼·桑塔努·甘加尔·尼诺获得上周的Riddler Express.

上周，一只蚱蜢在数字线上跳跃，从零开始（即“原点”）。它N个第二次跳跃长度为1/2^N个，所以它的第一跳有1/2的长度，第二跳有1/4的长度，第三跳有1/8的长度，以此类推。

然而，在跳跃开始之前，它喝了太多的蚱蜢汁，失去了方向感。对于每一次跳跃，它都以相同的概率沿着数字线向左或向右跳跃。

在无数次跳跃之后，蚱蜢的头又清醒了，它想回到原点。平均来说，它回家的预期距离是多少？（请注意，无论蚱蜢在原点的哪一侧，“距离”都定义为零或正，但不能为负。）

由于蚱蜢在任何给定点向左或向右跳跃的可能性相等，因此通过对称性，其平均位置始终保持为零。也就是说，对原点右侧的各种正着陆位置和原点左侧的负着陆位置求平均值，结果总是为零。因此，一些读者认为零是答案。

然而，这个谜题要求平均值到原点的距离，无论蚱蜢是在左侧还是右侧，都被定义为阳性。因此，虽然平均位置始终为零，但只要蚱蜢第一次跳跃，到原点的平均距离就为正。

假设蚱蜢的第一次跳跃是向右的，这意味着它现在是1/2。由于随后的跳跃很可能是向左或向右的，因此从这一点向前的平均位置保持在1/2。更重要的是，蚱蜢不可能再次越过原点的左侧。即使剩下的所有跳跃都在左侧，蚱蜢也会在1/4，然后是1/8，然后是1/16，依此类推，在无数次跳跃后返回原点。因为你再也不用担心穿越原点了，蚱蜢的平均旅行距离仅为1/2。

现在假设蚱蜢的第一跳是在左边，这意味着它现在是-1/2。这一次，即使所有剩余的跳跃都是向右的，它也不可能回到正的区域。因此，再一次，蚱蜢的平均飞行距离仅为1/2。

第一次跳跃很可能是左跳或右跳，所以总平均距离是1/2和1/2的平均值，当然，1/2.

为了获得额外的积分，蚱蜢的N个第次跳跃不再是1/2^N个，而不是略大的2^N个/3^N个经过无数次跳跃后，蚱蜢现在返回原点的平均距离是多少？

随着跳跃距离的增加，蚱蜢现在有可能穿越原点。例如，假设第一次跳跃是向右的，那么蚱蜢的位置是2/3。如果剩下的所有跳跃都是向左的，那么它们的总数是4/9+8/27+16/81+……，这是一个几何级数，总和是4/5。在无限多次跳跃后，蚱蜢的最终位置是2/3−4/5或-2/15，即在负区域。由于蝗虫可以穿越原点（甚至可以多次穿越），因此计算平均距离要困难得多。

解算器Josh Silverman甚至编写了一个双诗打油诗-我认为这是《Riddler》的第一部，讲述了额外学分的复杂性：

蚱蜢的脚步声秒,
它跳了起来，跳得很巧妙。
使用秒一半以下，
每个点都有一条路径，
一个可以解决的谜语，没有混乱。

但什么时候秒膨胀，
点具有多股。
太长时间无法褪色，
禁止整洁解决，
我们手上乱七八糟。

包括迈克尔·科菲和查理·德林南在内的一些求解者创建了大量的概率树来计算平均值，结果是约0.7421844.

顺便说一句，如果你喜欢这个谜语，你可能会喜欢2003年的报纸。”带有收缩步的随机行走分析了蚱蜢最终位置的概率分布。当连续跳跃的比率是黄金比率时，事情真的会变得疯狂，如下所示：

最后一场Riddler经典赛的解决方案

祝贺加拿大安大略省滑铁卢市的尼诺·艾弗·特拉伯·尼奥获得上周的Riddler精英赛.

上周，你在玩棋盘游戏，但不幸的是，你刚刚玩过骰子。然而，你做有一枚可以用来模拟骰子的硬币。例如，如果你把硬币翻了三次，那么HHH可以代表1，HHT代表2，HTH代表3，HTT代表4，THH代表5，THT代表6。然而，在这个模式中，翻转TTH和TTT并没有分配给骰子掷骰，所以如果它们出现了，你必须重新开始，再将硬币翻转三次。

面对无限次投掷硬币的可能性，你转而投向你手中的一枚魔法硬币。您可以选择的任何值第页在0到1之间，这枚硬币有可能落到正面第页。但一旦您为选择了该值第页，无法更改。

使用这个神奇的硬币，您最多可以模拟一个骰子k个翻转，以便全部的序列k个翻转可以分为六组，概率相等。

的最小值是多少k个（即翻转次数）你可以使用吗？相应的值是多少第页?

你马上就知道了k个不可能是1或2，因为这甚至没有生成足够的不同案例来表示六个骰子辊。所以要检查的第一个值k个为3。再一次，有八种可能的翻转序列，可以分为四类，概率相等，而不考虑第页:

• HHH（小时）
• HHT、HTH和THH
• HTT、THT和TTH
• TTT公司

然而，尝试各种组合后，您发现无论第页你用过了。当k个为4。（解算器Dan Swenson在解出类似Riddler Classic几年前。）

但什么时候k个是5，不可能突然变成了可能。有32种可能的翻转顺序，可分为六类：

• HHHH小时
• 四头一尾（五排列）
• 三头两尾（10种排列）
• 两个头三个尾（10个排列）
• 一头四尾（五排列）
• TTTTT公司

您可以形成五个不同的组，每个组由第二类的一个排列组成（例如，HHHHT），第三类的两个排列，第三类别的两个排，第四类的一种排列。这五组人的总概率相等第页这些是第页⁴(1−第页) + 2第页^三(1−第页)²+ 2第页²(1−第页)^三+第页(1−第页)⁴。要组成第六组，您必须结合HHHH和TTTTT，其组合概率为第页⁵+ (1−第页)⁵.

计算的值第页，您必须将前面的两个表达式设置为相等，然后解出一个五次方程。由于这六组翻转序列的组织方式具有对称性，因此有两种可能的解决方案：第页可能约为0.30334或0.69666.

想要更多的谜题吗？

嗯，你运气好吗？有一整本书都是这个专栏中最好的谜题，还有一些以前从未有过的头条。它被称为“谜语人”现在在商店里!

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谜语人

你能帮蚱蜢回家吗？

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年5月5日上午8:00

欢迎收看《谜语人》。每周，¹²我提出了一些与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会有两个谜题：一个是Riddler Express，适合那些想要比特大小的东西的人，另一个是《Riddler Classic》，适合那些喜欢慢动作的人。提交正确答案，¹³你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发一封电子邮件.

Riddler快递

受与Matan Protter对话的启发，本周的Express包含一只快乐跳跃的蚱蜢：

蚱蜢在数字线上跳跃，从零开始（即“原点”）。它的第一次跳跃长度是1/2，第二次跳跃长度为1/4，第三次跳跃长度将是1/8，依此类推N个第四次跳跃的长度为1/2^N个.)

然而，在跳跃开始之前，它喝了太多的蚱蜢汁，失去了所有方向感。对于每次跳跃，它都会以相同的概率沿着数字线向左或向右跳跃。

在无数次跳跃之后，蚱蜢的头又清醒了，它想回到原点。平均而言，它返回原点的预期距离是多少？（请注意，无论蚱蜢在原点的哪一侧，“距离”都定义为零或正，但不能为负。）

额外学分：第二天，蚱蜢再次从原点随机跳跃，但这次更热情了，这样N个第次跳跃长度为2^N个/3^N个.无限多次跳跃后，蚱蜢的平均距离是多少现在旅行返回原点？

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Riddler经典

丹尼尔·斯莱特（Daniel Sleator）为那些喜欢玩棋盘游戏但又受不了掷骰子的人提供了一个谜题：

丹尼尔正在和他的朋友们玩棋盘游戏，但不幸的是他还没玩完。他做有一枚硬币，他的朋友鼓励他用硬币来模拟骰子。例如，如果他把硬币翻了三次，那么HHH可以代表1，HHT代表2，HTH代表3，HTT代表4，THH代表5，THT代表6。然而，在这个模式中，翻转TTH和TTT并没有分配给骰子掷骰，所以如果它们出现了，丹尼尔必须重新开始，再将硬币翻转三次。

面对无限次掷硬币的可能性，丹尼尔转而转向他手中的一枚魔法硬币。他可以选择第页在0到1之间，硬币有可能落在正面第页但一旦他为第页，无法更改。

丹尼尔想用这个神奇的硬币来模拟一个骰子k个翻转，以便全部的序列k个翻转可以分为六组，概率相等。

的最小值是什么k个（即翻转次数）丹尼尔可以使用吗？相应的值是什么第页?

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最后一条Riddler Express的解决方案

祝贺缅因州波特兰市的萨姆·汉密尔顿获得最后的Riddler Express.

上周，您的烤面包架上有五个插槽，排列成一个阵列。每个插槽都有一片烤面包，你一次取下一片。然而，你很迷信，你知道把相邻的烤面包片一片接一片地拿走是不吉利的。（什么？你以前从没听说过？这完全是一件事！）

你能用多少种不同的方法去除烤面包片？

在处理五片吐司之前，几个解算者看到了更少的吐司会发生什么，这让他们大吃一惊。这些计算相对简单：

• 用一片吐司，有一种方法可以去掉它。简单！
• 用两片吐司，没法把它们去掉。一旦你选择了第一片，第二片就保证是相邻的。太糟糕了！
• 有了三片吐司，再也没有办法把它们去掉了。如果从中间部分开始，那么第二个部分肯定是相邻的。如果改为从一端开始，则接下来必须选择另一端，然后选择中间（相邻）。太糟糕了！
• 吃了四片吐司，你终于有了一些选择。您不能删除第一个切片，因为接下来您要么必须删除第三个切片（与第二个和第四个相邻），要么删除第四个切片（这意味着您删除的最后两个切片是中间的相邻切片）。一种解决方案是删除第二个、第四个、第一个、第三个，可以用序列2、4、1、3表示。在烤面包架的中间反映出这一序列，给了你第二个解决方案：3、1、4、2。这是四片吐司仅有的两种解决方案。

虽然四片或更少的面包总共有三种解决方案，但一旦你吃到五片面包，解决方案的数量就会显著增加。虽然一些解题者用手解决问题，但其他人编写了一些计算机代码来解决所有的问题。最后，五片吐司共有14个有效序列，其中包括七个序列及其反射：

• 1、3、5、2、4和5、3、1、4、2
• 1、4、2、5、3和5、2、4、1、3
• 2、4、1、3、5和4、2、5、3、1
• 2、4、1、5、3和4、2、5、1、3
• 2、5、3、1、4和4、1、3、5、2
• 3、1、4、2、5和3、5、2、4、1
• 3、1、5、2、4和3、5、1、4、2

解算师马库斯·邓恩（Marcus Dunn）将这个谜题与我们所说的联系起来赫兹普朗问题，它会问：您可以通过多少种方式放置N个N个棋盘上的国王，每排一个，每列一个，这样就不会有两个国王互相攻击了？如果你想象一下把国王一次放在一列中，你不能把连续的国王放在相邻的行中，否则他们会互相攻击。这完全类似于不连续地去掉相邻的烤面包片！例如，以下是如何用棋盘上的国王来表示序列1、3、5、2、4：

为了获得额外的积分，你吃了六片吐司，而不是五片。现在，有多少种不同的方法可以在不逐个移除相邻块的情况下移除切片？虽然许多求解者再次借助计算机进行求解，但也有少数人意识到赫兹普朗的问题与序列相对应A002464美元关于OEIS。当时有90取下六片吐司的独特方法。

那里是删除方法的数量公式N个作为功能的烤面包片N个-但找到这个公式是留给读者的练习。ЁЯШБ

上一个谜语经典的解决方案

祝贺田纳西州纳什维尔市的珍妮·米切尔获得最后一场Riddler经典赛.

上周的谜题与《纽约时报》的新数学游戏有关，数字在游戏的每个关卡中，你都会看到六个数字和四个基本运算（加法、减法、乘法和除法）。例如，下面游戏中的六个数字是2、3、5、14、25和15。

在游戏的每一步中，你首先选择一个数字，然后是一个运算，然后是另一个数字。因此，如果您选择15，然后选择x，然后选择5，那么15和5将消失，并替换为75，如下所示：

此时，您可以像使用其他四个数字一样使用75。游戏的目标是使用数字和运算来达到特定的目标数字。但现在让我们暂时把它放在一边。

考虑到这个游戏，您的挑战是确定可以使用从一个数字本身到所有六个数字的任意位置，或介于两者之间的任意位置的最大不同值。在这个谜题中，你可以选择起始数字。此外，允许使用负数和分数，它们可以是起始数字或沿途生成的值。

对于这样的谜题——大概有很大的答案——我发现计算上限很有帮助。如果上限不是太大（即，如果它在几百万分之一），那么测试每个可能的数字序列和运算的计算方法是一种合理的策略。

如果您使用了所有六个数字，那么您执行了五个操作。对于第一个，您从六个数字中选择，然后从四个操作中选择一个，最后从其余五个数字中进行选择。然后你重复这个过程，直到只剩下一个数字。实现这一目标的方法总数为（6.4·5）·（5.4·4）·（4.4·3）·（3.4·2）·（2.4·1），共计88473600种。如果你没有使用全部六个数字，就没有那么多的情况需要考虑：五个数字是11059200，四个数字是460800，三个数字是9600，两个数字是120，一个数字是6。总共有100003326种组合数字的方法，这是当今个人电脑可以达到的数字。

但是，在这些数亿左右的组合数字的方法中，有许多在数学上是等价的，这就是要解开这个谜团的难题。要看到这一点，假设您有三个数字：一,b条和c。如果你添加了它们，那么添加它们的顺序并不重要，因为加法是可交换的。但如果你减去它们，顺序很重要，有六个潜在的不同结果：(一−b条)−c, (b条−一)−c, (c−一)−b条,一−(b条−c),b条−(c−一)和c−(一−b条). （还有其他方法来对操作进行排序，但它们始终等同于这六个表达式中的一个。）

解算器Jenny Mitchell编写了Python代码来导航这些情况，并对六个起始值使用了不同的质数组合。（如果值较小或重复，您可能会得到不总是等价的等价表达式一·b条不等于一+b条，当a和b都是2时，它们正好相等。）最后，Jenny正确地计算出，在数字游戏中可以生成的最大不同值数为974,860.

你不知道吗，珍妮还发现了一个OEIS序列对于“涉及N个操作数。”取这个序列的元素，再乘以六个起始数字中选择的相应方法的数量，得到的答案是6·1+15·6+20·68+15·1170+6·27142+1·793002，总数再次达到974860。

如果你想通过数字破解你的方法，那么值得知道的是你可以生成近百万个不同的值。所以也许利用你的数字意识是一个更好的方法。

想要更多的谜题吗？

嗯，你运气好吗？有一整本书都是这个专栏中最好的谜题，还有一些以前从未有过的头条。它叫“Riddler”现在在商店里!

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英国王室

谁为查尔斯国王加冕而激动？

签署人阿米莉亚·汤姆森·德沃

2023年5月5日上午6:00

明天是英国的加冕日-这是一个特殊的日子，世界各地的人们可以屏息凝神，思考一些基本问题，比如：

• 多少？限量版馅饼一次庆祝会合理吗？
• 如果凯特·米德尔顿出现了戴上花朵头饰而不是头饰？
• 哪一个更平稳金州队教练还是钻石禧年国家队教练？（提示：其中一个有空调。）
• 将命运之石给它的传统呻吟国王查理三世何时登基？（对不起，您必须单击才能了解。）

也就是说，这是一个奇观。这是一场充满怀旧之情和热情爱国之情的盛会，对一些人和其他人来说，这是对君主制昂贵且丑闻缠身的过去的提醒。随着查尔斯国王正式登上王位，民意调查显示，尽管世界上仍有许多人对王室的盛况和环境情有独钟，但他们往往年纪较大；年轻人（和非白人）对英国君主制在现代社会的作用持怀疑态度。

查尔斯国王最明显的问题是，无论是在国内还是国外，他都远不是公众最喜爱的王室成员。美国成年人民意调查由YouGov于4月29日至5月2日进行的调查发现，虽然他不像其他家庭成员那样不受欢迎，但最受欢迎的是查尔斯王的弟弟安德鲁王子剥夺了他的军事荣誉和“王室赞助”在一名女子指控他在她十几岁的时候强奸了她之后，可以肯定地说，相对而言，很少有美国人对他有好感。事实上，对查尔斯王持负面看法的美国人（40%）略多于持赞成态度的美国人（39%），只有31%的美国人认为查尔斯王应该接替伊丽莎白二世女王。（背景：24%的人说他的儿子威廉王子应该继承伊丽莎白女王，15%的人说没有人应该继承伊丽莎白王后，30%的人说他们不知道。）

幸运的是，查尔斯国王在大西洋彼岸的支持率没有那么令人沮丧。YouGov于4月下旬在英国进行的一项民意调查调查发现，62%的英国人对查尔斯持积极态度，这比他们对他的儿子哈里王子（25%）、儿媳梅根、苏塞克斯公爵夫人（24%）或安德鲁（9%）的感情要好得多。但查尔斯远非王室最受宠爱的成员，即使在家里也是如此。他的另一个儿子和儿媳威廉王子（Prince William）和前凯特·米德尔顿（Kate Middleton）的支持率甚至更高，查尔斯的妹妹安妮公主（Princess Anne）也是如此。也许最糟糕的是，他的净支持率——英国人的支持率减去反对率——比威廉、凯特和安妮低了20多个百分点。

与民选政客不同，查尔斯国王可以看着自己的支持率起起落落，而不用担心如何赢得下次选举——他的工作是终身的。但在某些方面，对他来说风险更大，因为公众对君主的看法通常与整个皇室的观点息息相关，关于英国君主制度是否将在21世纪生存下来至少在目前的形式下。在这些支持率之下，人们对整个君主制的体制漠不关心，对查尔斯国王是否真正理解他应该服务的公众持怀疑态度。

换言之，查尔斯国王的麻烦远远不止他是否会与观众人数相匹配1953年，在他母亲的加冕典礼上估计有300万人蜂拥至伦敦观看她加冕的女王。英国广播公司/YouGov四月份进行的一项民意调查发现，虽然大多数英国人（58%）的人认为英国应该继续实行君主制，只有26%的人希望当选国家元首，这存在巨大的代沟。绝大多数年长的英国人希望继续实行君主制，但最年轻的群体（18至24岁）则被撕裂了：32%的人认为英国应该继续实行君权制，而多数人（38%）希望当选国家元首，30%的人不知道。白人受访者也比非白人受访者（分别为62%和38%）更有可能表示希望保留君主制。即便如此，英国人也不确定他们的政府应该如何支持君主制：YouGov民意调查4月中旬进行的调查发现，极少数（51%）成年人认为政府不应该为庆祝活动买单，这将花费纳税人1亿多美元.

从某种意义上说，英国王室成员还有一些希望——这些民意调查虽然不热情，但也没有显示出特别强烈的反君主主义情绪。然而，查尔斯王是否是引领君主制进入下一阶段的最佳人选，则是另一个问题。英国广播公司/YouGov的这项民意调查发现，英国成年人总的来说更有可能说查尔斯国王“与英国公众的经历脱节”（45%），而不是“接触”（36%），而且年龄差距再次很大。65岁以上的英国人中，只有极少数人认为查尔斯国王与他们的经历息息相关，而18岁至24岁的英国人只有16%这样认为。这一群体中的绝大多数（59%）认为查尔斯国王与外界脱节。

也许一旦他正式登上王位，查尔斯国王最终将能够扭转他的公关问题。多年来，他一直在努力修复他的图像问题-以及君主制的承诺较便宜的皇室和强调他的承诺对于年轻选民来说尤为重要的环境问题。这位美国人不会过早判断他的做法是否包括“可持续”选择重新穿上属于他母亲和祖父的加冕礼礼服，大概是为了把他们从通常会出现金饰王冠的垃圾堆里救出来，这将与英国未来的年轻人产生共鸣。

其他投票片段

• 好莱坞作家本周早些时候举行了罢工合同谈判失败后，开始生产许多电视节目停播.YouGov民意调查周三，即罢工宣布的第二天，调查发现美国人总体上支持罢工：58%的受访成年人表示支持编剧罢工，15%表示反对，27%表示不确定。
• 益普索民意测验上周被问及人工智能可能被滥用的问题，发现许多人担心这项技术在不久的将来会产生什么后果。根据这项调查，72%的美国人担心他们的数据会被共享，或者他们想联系的人无法联系到，70%的人担心人工智能会导致更多的错误信息在网上传播，57%的人认为这些工具会产生歧视或偏见。大多数美国人认为政府应该参与对人工智能的监督，但对于政府应该扮演主要角色（38%）还是次要角色（49%），他们存在分歧。
• 千禧一代的财务状况不佳，根据三月份最新公布的一项调查来自个人金融网站Pymnts和在线贷款人LendingClub。调查发现，超过70%的千禧一代过着挨家挨户的生活，而成年人的总体比例为60%。但这也不全是坏消息：调查还发现，千禧一代的储蓄账户平均比一年前有更多的钱。

拜登批准

根据五三八总统批准追踪,¹⁴42.7%的美国人赞成拜登总统的工作，52.6%的人不赞成（净支持率为-9.7分）。上周这个时候，42.6%的人赞成，52.7%的人不赞成（净支持率为-10.1分）。一个月前，拜登的支持率为42.8%，反对率为52.7%，净支持率为-9.9分。

澄清（5月5日上午9:22）：这篇文章的早期版本指出，英格兰是周六加冕的地点。虽然这在技术上是正确的，但查尔斯三世是英国的新君主，而不仅仅是英国，因此文本已经更新以反映这一点。

更正（5月5日上午9:22）：本文中较早版本的图表显示，这项民意调查是在英国而非英国的居民中进行的。图表已经更新，以反映这项调查是在英国居民中进行的。

谜语人

你能把数字变成数字吗？

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年4月21日上午8:00

欢迎来到Riddler。每周，我都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会推出两款谜题：为那些想要一口大小的谜题的人提供谜语快车，为那些参与缓慢谜题运动的人提供谜语经典。提交正确答案，¹⁵你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发一封电子邮件.

谜语人快车

杰里米·狄克逊（Jeremy Dixon）对一个谜题进行了“烘烤”：

你有一个烤面包架，有五个插槽，排列成一个数组。每个插槽都有一片烤面包，你一次只能取出一片。然而，你很迷信，你知道把相邻的烤面包片一片接一片地拿走是不吉利的。（什么？你以前从没听说过？这完全是一件事！）

你可以用多少种不同的方法去掉烤面包片？

额外学分：假设你有一个有六个插槽和六片吐司的架子，而不是五个插槽。现在有多少种不同的方法可以在不逐个移除相邻块的情况下移除切片？

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Riddler经典

《纽约时报》正在测试一款名为数字在游戏的每个关卡中，你都会看到六个数字和四个基本运算（加法、减法、乘法和除法）。例如，下面游戏中的六个数字是2、3、5、14、25和15。

在游戏的每一步中，您首先选择一个数字，然后选择一个操作，然后选择另一个数字。因此，如果您选择15，然后选择x，然后选择5，那么15和5将消失，并替换为75，如下所示：

此时，您可以像使用其他四个数字一样使用75。游戏的目标是使用数字和运算来达到特定的目标数字。但现在让我们暂时把它放在一边。

相反，这里的问题是：使用一个数字本身、所有六个数字或两者之间的任何一个数字，您可以生成的最大不同值数量是多少？在这个谜题中，你可以选择起始数字。此外，允许使用负数和分数-它们可以是起始数字或沿途生成的值。

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最后一条Riddler Express的解决方案

祝贺加利福尼亚州卡尔斯巴德市的尼诺——史蒂夫·谢费尔尼诺获得上周的Riddler Express.

上周，你考虑了坐标平面上的无限点，并假设每个点都是三种颜色之一：红色、绿色或蓝色。事实证明，必须至少有两个相同颜色的点，它们之间的距离为1。但这取决于你为了证明这一点，只用平面上的七个点。

如果这些点只能是二颜色（例如，红色和蓝色）而不是三种，你只需要三个这样的点，排列成边长为1的等边三角形。所有三个顶点之间的距离都为1，其中至少有两个顶点必须是相同的颜色，无论是红色还是蓝色。

但有了三种颜色，拼图就更加复杂了。一些读者想把这七个点排列成边长为1的正六边形，再加上一个点在其中心。然而，可以用这样的方式给这七个点着色，即距离为1的任何一对点都是不同的颜色。下面显示了这样一种颜色，红色和绿色顶点交替出现，中间有一个蓝色点。

解决方案是一个称为莫瑟纺锤，由解算器Peter Exterkate绘制。

这个“纺锤”由两个边长为1的菱形组成，它们各自由两个等边三角形组成。这些菱形共享一个共同的顶点，但它们围绕该顶点旋转，使其相对的顶点相距1。

无论为公共顶点指定什么颜色，必须为四个相邻点指定其他两种颜色。这意味着与公共顶点相对的两个顶点必须与公共顶点的颜色相同。由于这两个顶点之间的距离为1，因此可以得出结论，主轴至少需要四颜色以避免点之间的距离为1且颜色相同。

这个谜题的一个引人入胜的延伸，被称为Hadwiger-Nelson问题，要求为平面中的每个点着色所需的最小颜色数，以便相距1的点都没有相同的颜色。你可能会直觉地认为这个数字应该很大，但结果却小于8。Moser纺锤排除了3，而4也被以下几个图表排除2018和2020，包含数百或数千个点。

因此，坐标平面的所谓“色数”是5、6或7，但没有人知道这三个数字中哪一个是正确的答案！

最后一场Riddler经典赛的解决方案

祝贺华盛顿州埃弗雷特的尼诺——埃里克·斯奈德·尼诺获得上周的Riddler精英赛.

上周，你探索了新颖的证明路易斯安那州新奥尔良圣玛丽学院的高中生内基亚·杰克逊和加尔西亚·约翰逊提出了毕达哥拉斯定理。

他们的证明应用了正弦定律（正弦定律本身可以从三角形面积的等价表达式中导出，并且具有无依赖性基于毕达哥拉斯定理，从而避免任何循环逻辑）到以下结构：

图的顶部是两个带腿的反射直角三角形一和b条（带有一b） 和斜边c在这些三角形的下面是学生们称之为“华夫圆锥体”的形状，由顶部三角形的一个斜边的延伸部分和垂直于另一个斜角的线形成。

在他们的证明中，他们计算了距离第页和q个，其中第页从两个三角形的最左边顶点延伸到直线的交点，以及q个从两个三角形的顶点延伸到同一个交点。

你的挑战是确定第页和q个依据一,b条和c然而，在这样做的时候，你不能以任何形式使用毕达哥拉斯定理（例如，所谓的“距离公式”等）。毕竟，解决第页和q个是迈向证明勾股定理！

Jackson和Johnson将华夫饼干细分为无数相似三角形，然后使用几何级数计算第页和q个求解者Jim Jacobson采用了类似的方法，生成了以下图表来求解第页和q个:

将沿直线的线段与长度相加第页给了你2交流电/b条·[1+（a/b）²+（a/b）⁴+（a/b）⁶+…]，一个无限的几何级数，加起来第页= 2美国广播公司/(b条²−一²)同时，将沿直线的线段与长度相加q个给了你c+2一²c/b条²·[1+（a/b）²+（a/b）⁴+（a/b）⁶+…]，总计q个=c(一²+b条²)/(b条²−一²).

其他求解者，如Amy Leblang和罗汉·刘易斯，而是将华夫饼干分成两个直角三角形，其中一个与原始三角形相似：

在罗汉的图表中，未着色的三角形与整体结构相似。特别是，Rohan使用了如下所示的边长：

利用这些三角形相似的事实，这意味着c/(2一²/c) =第页/(第页−2ab公司/c) =q个/(q个−c). 第一个表达式和第二个表达式之间的方程允许您求解第页:第页= 2美国广播公司/(c²−2一²)。第一个和第三个表达式之间的方程式允许您求解q个:q个=c^三/(c²−2一²).

为了获得额外的学分，您必须使用以下表达式第页和q个完成毕达哥拉斯定理的证明。杰克逊和约翰逊利用正弦定律做到了这一点。证明定理的另一种方法是将上述两个表达式等同于第页他们有相同的分子，将他们的分母等式得出b条²−一²=c²−2一²可以安排给更熟悉的人一²+b条²=c². 

有很多方法可以证明勾股定理。多亏了杰克逊、约翰逊和本周的解题者，我们现在有了更多！

想要更多的谜题吗？

嗯，你运气好吗？有一整本书都是这个专栏中最好的谜题，还有一些以前从未有过的头条。它叫“Riddler”现在在商店里!

想提交谜语吗？

发送电子邮件至Zach Wissner-Grossrillerrcolumn@gmail.com.

谜语人

你能用你的方式证明吗？

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年4月14日上午8:00

欢迎收看《谜语人》。每周，我都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会有两个谜题：一个是Riddler Express，适合那些想要比特大小的东西的人，另一个是《Riddler Classic》，适合那些喜欢慢动作的人。提交正确答案，¹⁶你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发封电子邮件.

Riddler快递

本周的《快递》是一部老歌，但却是一部好东西：

考虑坐标平面中的无穷多个点，假设每个点都是两种颜色之一：红色或蓝色。事实证明，必须至少有两个颜色相同的点，它们之间的距离为1。

为什么？画任意边长为1的等边三角形。所有三个顶点之间的距离都是1，其中至少有两个顶点的颜色必须相同，无论是红色还是蓝色。

现在假设平面上的每个点都是三颜色：红色、绿色或蓝色。再次证明，必须至少有两个相同颜色的点相距一个距离。

你怎么能用平面上的七个点来证明这是真的？

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Riddler经典

你可能听说过，路易斯安那州新奥尔良圣玛丽学院的两名高中学生——内基亚·杰克逊（Ne'Kiya Jackson）和卡西亚·约翰逊（Calcea Johnson）最近被发现一个新颖的证明毕达哥拉斯定理。

他们的证明应用了正弦定律（正弦定律本身可以从三角形面积的等价表达式中导出，并且具有无依赖性基于毕达哥拉斯定理，从而避免任何循环逻辑）到以下结构：

图的顶部是两个带腿的反射直角三角形一和b条（带有一b） 和斜边c在这些三角形的下面是学生们称之为“华夫圆锥体”的形状，它由顶部三角形的一个斜边的延伸部分和一条垂直于另一个斜角的线组成。

在他们的证明中，他们计算距离第页和q个，其中第页从两个三角形的最左侧顶点延伸到直线的交点，以及q个从两个三角形的最顶部顶点延伸到相同的交点。

你的挑战是确定第页和q个依据一,b条和c然而，在这样做的过程中，您绝对不能使用任何形式的毕达哥拉斯定理（例如，所谓的“距离公式”等）。毕竟，解决第页和q个是迈向证明勾股定理。

额外学分：一旦你决定第页和q个，尝试利用它们完成毕达哥拉斯定理的证明。记住，学生们曾经使用过正弦定律。

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最后一条Riddler Express的解决方案

祝贺加利福尼亚州福斯特市的尼诺·马克斯·柴尼诺获得上周的Riddler Express.

上周，你和你的家人决定装饰10个漂亮的复活节彩蛋。你从冰箱里拿出一盒新鲜鸡蛋，取出了10个鸡蛋。纸箱里还剩下两个鸡蛋，你把它们放回了冰箱。

第二天，你再次打开纸箱，发现鸡蛋的位置发生了变化——或者你是这么想的。也许复活节兔子在你的冰箱周围窥探？

纸箱中的12个插槽排列在一个六乘二的阵列中，该阵列在180度的旋转上是对称的，鸡蛋彼此无法区分。有多少种不同的方法可以把两个鸡蛋放在这个纸箱里？（注意：将两个鸡蛋放在最左边的两个插槽中被认为与将它们放在最右边的两个槽中相同，因为您可以通过纸箱180度旋转在这些安排之间切换。）

首先，有多少种方法可以把两个鸡蛋放在一个有12个插槽的纸箱里？那是12选择2或66。由于这66种方法中的一些在180度旋转后彼此等效，这意味着答案必须小于66。

这66种排列中的大多数可以配对，以便在纸箱180度旋转时相互转换。然而，已经对称的排列并没有配对，因为它们只是在旋转时变回原来的形状。有六种这样的对称排列，如下所示：

剩下的60个排列形成30对，这意味着在纸箱中放置两个鸡蛋的不同方式的数量是30+6，或者36.

为了获得额外的学分，你必须确定其他数量在0到12之间无法区分的鸡蛋的不同排列数量。来自犹他州盐湖城的“Packsize Riddle Solving Team”将两个鸡蛋的方法扩展到x鸡蛋。有12个选择x把鸡蛋放在纸箱里的方法，其中许多是成对的。

现在如果x奇怪的是，在180度旋转后，这种安排无法恢复原状。让自己相信这一点的一种方法是，纸箱的一半（例如，左半部分）必须有偶数个鸡蛋，而另一半必须有奇数个鸡蛋。在轮换之后，上半场现在是奇数，下半场是偶数。这些安排不可能是一样的。所以什么时候x很奇怪，不同排列的数量很简单（12选x)/2.

但什么时候x如果是偶数，则必须先减去对称排列，然后再除以二。有6个选择(x/2） 不同的方法将一半鸡蛋放在纸箱的左半部，每种方法都有一种对称的方法将剩余的鸡蛋放在右半部。所以什么时候x是偶数，不同排列的数量是（12选x)−（6选(x/2） ）/2+（6选(x/2） ），简化为（（12选x)+（6选(x/2)))/2.

不同安排的最大数量（高达472）发生在x为6。以及所有可能的值x从0点到12点，总共有2080个安排。

最后一场Riddler经典赛的解决方案

恭喜日本Toyooka选手、上周的Riddler精英赛.

上周，你担任了三名船员（不包括你自己）的船长：杰迪、西德尼和阿兰德拉。你的船被一个先前未知的敌人占领了，如果你能赢得一场简单的游戏，他决定归还你的船。

三名机组人员中的每一名都将获得一个介于0到1之间的数字，在该范围内随机统一选择。作为队长，你的目标是猜测谁的人数最多。

关键是你只能向每个机组成员问一个是或否的问题。根据你向第一名机组成员提出的问题的答案，你可以更新你向第二名机组成员提的问题。同样，根据前两个问题的答案，你可以更新你问的第三个问题。但最终，你还是要猜出哪个机组成员的人数最多。

你的最佳策略是什么？你夺回飞船的机会有多大？

几位读者将这个谜题解释为，每个船员都知道分配给其他机组人员。在这种情况下，你可以简单地问每个乘务员，“你有最大的号码吗？”从而保证你知道谁的号码最大。 

打呵欠。本专栏中的谜题都是关于“数学、逻辑和概率”的，就像上面说的那样。因此，如果你有一些琐碎的解释，试着用不同的方式阅读这个谜题，或者寻求进一步的澄清。

现在，这个谜题变成了非常当你假设每个船员都知道他们自己的数量，但不他们的队友们。为了了解原因，假设目前只有两名船员，比如杰迪和西德尼，而不是三名。

在这种情况下，你应该找到乔迪，问他唯一合理的问题：你的数字是否大于x? 我还没说那个数字是多少x是的，但想必，有一些价值可以优化你判断吉奥迪数或西德尼数是否更大的总体机会。如果杰迪答应了，那么你会去找西德尼，问她她的号码是否大于年如果她同意，那么你会选择西德尼；否则，你会选择杰迪。如果杰迪说不，你会问西德尼她的数字是否大于z（z）再说一次，如果她答应了，那么你会选择西德尼；否则，你会选择杰迪。

但这些价值观是什么x,年和z（z）? 如果乔迪说是，那么他的数字很可能介于x和1，那么年介于这些极端之间，或者(x+1)/2. 如果乔迪说不，那么他的数字很可能在0到之间x再次强调z（z）介于这些极端之间，或者x/2.由于Geordi和Sidney的数字很可能在0和1之间，下图突出显示了哪些坐标对会引导您猜测不正确地:

该突出显示区域的面积为(x/2)²+ ((1−x)/2)²，或（2x²−2x+1)/4. 当其导数为零时，即当x=1/2，面积为1/8。因此，当只有两名机组人员时，Georgi问题的临界值为1/2，而Sidney的临界值分别为3/4和1/4。在所有这些之后，您正确识别谁的数字更大的机会是7/8。

呼！所有这些都将成为一场极具挑战性的Riddler经典赛。然而，上周的谜题包括第三的机组成员阿兰德拉，关于他的电话号码你可以另外询问。你现在要考虑的不是正方形，而是一个立方体。

最后，本周的获胜者Izumihara（我可能会补充说，他是唯一一个在提交截止日期前解决难题的人）能够确定一系列截止值，从而最大限度地提高您重新获得飞船的机会。下面，我列出了近似值和它们对应的问题：

• 杰迪，你的值大于0.624334吗？
  • 如果没有：西德尼，你的价值是否大于0.460442？
    • 如果不是：Alandra，您的值是否大于0.347818？
      • 如果没有：猜猜吉奥迪
      • 如果是：猜猜阿兰德拉
    • 如果是：Alandra，您的值是否大于0.730221？
      • 如果没有：猜猜西德尼
      • 如果是：猜猜阿兰德拉
  • 如果是：西德尼，你的价值是否大于0.824920？
    • 如果不是：Alandra，您的值是否大于0.813443？
      • 如果没有：猜猜吉奥迪
      • 如果是：猜猜阿兰德拉
    • 如果是：Alandra，您的值是否大于0.918159？
      • 如果没有：猜猜西德尼
      • 如果是：猜猜阿兰德拉

通过这组问题，您正确识别人数最多的机组成员的机会大约为82.395%.

如果你发现你的船被俘了，你必须玩这个游戏来确保你的船被释放，而且你没有足够的时间来决定你的策略，你最好希望你的船员不要超过两三人。你能想象用四机组人员？

想要更多的谜题吗？

嗯，你运气好吗？有一整本书都是这个专栏中最好的谜题，还有一些以前从未有过的头条。它叫“Riddler”现在在商店里!

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波拉帕卢萨

Ceci N'Est Pas Une Pollapalooza公司

签署人纳撒尼尔·拉基奇

2023年4月14日上午6:00

欢迎使用波拉帕卢萨，我们每周的投票综述。

什么是艺术？据俄罗斯作家介绍列夫·托尔斯泰艺术活动是“在自己身上唤起一种曾经经历过的感觉，并在自己体内唤起这种感觉，然后通过动作、线条、颜色、声音或用语言表达的形式，传递这种感觉，使其他人也能感受到同样的感觉。”但是，根据一项新的民意调查，许多美国人认为艺术只是他们自己无法创作的古老绘画和雕塑。

两周前，舆观向1000名美国成年人展示了著名艺术作品的图片，并向他们询问具体的作品以及他们对艺术的总体看法。这是YouGov在线民意调查方法的创造性运用（毕竟，你不能向传统电话民意调查的受访者展示艺术图片），揭示了美国人的艺术品味。

根据民意调查，13%的美国人认为自己很有艺术性，另有36%的人认为自己有点艺术性。然而，48%的人认为自己不太具有艺术性或根本不具有艺术性。只有33%的人说他们天生就有艺术绘画（这个数字很快就会变得很重要）。

只有39%的美国人说他们对著名的艺术运动或风格非常熟悉或有点熟悉。相比之下，58%的人表示，他们对他们不是很熟悉或根本不熟悉。当被问及具体的风格时，对艺术风格非常、有点熟悉或不太熟悉的人最喜欢“经典艺术”。

87%的受访者表示他们喜欢或喜欢“古典艺术”，而只有7%的人表示不喜欢或讨厌它。较新的艺术风格仍然很受欢迎，但净受欢迎度较低。例如，世纪之交的风格表现主义净支持率为+57，超现实主义（开始于1920年左右）的评级为+48波普艺术（20世纪50年代和60年代）达到+42。

当YouGov要求受访者对七幅特定的绘画和雕塑做出反应时，这些偏好再次出现。至少84%的美国成年人表示，他们个人认为四 作品创建之前 1900但只有51%的人认为是皮特·蒙德里安的“红、蓝、黄组合“（1930年）成为艺术，只有43%的人表示与萨姆·吉利亚姆相同”咖啡百里香I” (1980).

YouGov还询问美国人，如果有合适的材料和时间，他们是否认为可以复制这些作品。尽管他们回答了先前关于他们艺术技巧的问题，但65%的美国人认为他们肯定或可能复制吉莉亚姆的画，77%的人认为他们可以复制蒙德里安的画。¹⁷这表明，美国人对现代艺术的相对厌恶与其表面上的简单性有关。至少一些美国人认为，只有在技术上难以制作的东西才能成为艺术。（首先，不要在意为图像想出创意所需的灵感。）

这项民意调查也与政治有关。上个月，佛罗里达州塔拉哈西的一位校长因未能在学校六年级学生上课前通知家长而辞职展示了米开朗基罗的《大卫》（裸体描绘）。这件事引发了一场关于父母权利和艺术本质的辩论。YouGov也问了这个问题。75%的受访者表示这尊雕像不是色情的（支持玛格·辛普森（Marge Simpson）战胜海伦·洛夫乔伊（Helen Lovejoy）)而16%的人认为是这样。但67%的人表示，在向孩子展示裸体艺术作品之前，应通知家长，21%的人则表示无需通知家长。当YouGov直截了当地问到是否应该给不同年龄段的学生看一张“David”的全长照片时，美国人出现了分歧。70%的受访者表示这在高中是合适的，而20%的人表示不合适。但只有48%的人表示这在中学是合适的，而38%的人则表示不合适。只有31%的人认为这在小学是合适的，而55%的人则认为这不合适。

艺术的定义是主观的（事实上，大多数美国人在民意调查中都这么说）。但是，如果你是一个相信多数人应该统治的人，民意测验提供了一种客观答案的手段。这反过来又提出了一个令人不安的问题：即使95%的人认为某件事不是艺术，它还能被视为艺术吗？或者公众对艺术的看法是否重要？我们应该在哪里划界线？

我没有这些问题的答案。但如果我不得不熬夜思考这些问题，你也会这样做。

其他投票环节

• 上周五，德克萨斯州的一名法官暂停了食品和药物管理局对最常用的堕胎药（尽管自那以后高等法院恢复原状，有限制）。根据普物研究中心民意调查然而，就在该决定作出之前，禁止药物流产将不受欢迎。百分之五十三的成年人表示这在他们的州应该是合法的，只有百分之二十二的人表示这应该是非法的。
• 以色列总理本杰明·内塔尼亚胡的有争议的以色列司法改革计划让大多数以色列人反对他。该计划本应赋予内塔尼亚胡政府任命法官的权力，赋予议会推翻其决定的权力，但却引发了大规模抗议、大罢工，并在内塔尼亚胡面前发出民主倒退的呼声暂停上个月底。根据4月4日进行的民意调查早上咨询76%的以色列成年人表示国家走错了方向，而只有24%的人表示国家朝着正确的方向前进。内塔尼亚胡的净支持率令人沮丧——35个百分点（28%对63%），自3月15日以来下降了18个百分点。
• 法国总统埃马纽埃尔·马克龙也面临大规模抗议上个月强行通过了一项不受欢迎的计划：将大多数法国工人的退休年龄从62岁提高到64岁。根据早上咨询截至4月11日，81%至19%的法国成年人表示，他们的国家正走在错误的道路上，而不是朝着正确的方向前进。Macron的净支持率现在为-50点（23%至73%），自去年圣诞节以来下降了24点。
• 根据丕优研究中心，17%的美国成年人表示他们使用过加密货币，其中年轻男性占主导地位（18-29岁的男性中有41%表示他们使用了加密货币）。然而，听说过加密货币的绝大多数美国人（75%）表示，他们对其可靠性或安全性没有信心。18%的人有点自信，只有6%的人非常自信。
• 根据YouGov最新民意调查38%的美国人认为自己内向，22%的人认为自己外向。然而，31%的人表示，他们大约是外向型和内向型的混合体。

拜登批准

根据五三八总统批准追踪,¹⁸43.0%的美国人赞成乔·拜登总统的工作，52.2%的人不赞成（净支持率为-9.2分）。此时此刻上周42.7%的人赞成，52.8%的人反对（净支持率为-10.1分）。一个月前，拜登的支持率为44.0%，反对率为51.1%，净支持率为-7.1分。

谜语人

你能救你的船员吗？

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年4月7日上午8:00

欢迎来到Riddler。每周，我都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会有两个谜题：一个是Riddler Express，适合那些想要比特大小的东西的人，另一个是《Riddler Classic》，适合那些喜欢慢动作的人。提交以下任一项的正确答案：，¹⁹你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发一封电子邮件.

Riddler快递

复活节，你和你的家人决定装饰10个漂亮的鸡蛋。你从冰箱里拿出一盒新鲜鸡蛋，取出10个鸡蛋。纸箱里还有两个鸡蛋，你可以把它们放回冰箱。

第二天，你再次打开纸箱，发现鸡蛋的位置发生了变化——或者你是这么认为的。也许复活节兔子在你的冰箱周围窥探？

纸箱中的12个插槽排列在一个六乘二的阵列中，该阵列以180度的旋转对称，鸡蛋彼此无法区分。在这个纸箱里放两个鸡蛋有多少种不同的方法？（注意：将两个鸡蛋放在最左边的两个插槽中应被视为与将它们放在最右边的两个槽中相同，因为您可以通过纸箱180度旋转在这些安排之间进行切换。）

额外学分：假设有其他数量的鸡蛋在0到12之间无法区分，而不是剩下两个鸡蛋。有多少种不同的方法可以把这些鸡蛋放在纸箱里？

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Riddler经典

尼斯·约根森（Nis Jörgensen）写了一个船长和船员的流浪汉拼图：

你是三名船员（不包括你自己）的船长：杰迪、西德尼和阿兰德拉。你的船被一个未知的敌人占领了，如果你能赢得一场简单的游戏，他决定归还你的船。

三名机组人员中的每一名都将获得一个介于零到一之间的数字，并在该范围内随机统一选择。每个船员都知道自己的号码，但不知道其他船员的号码。作为队长，你的目标是猜测谁的人数最多。

关键是你只能向每个机组成员问一个是或否的问题。根据你向第一名机组成员提出的问题的答案，你可以更新你向第二名机组成员提的问题。同样，根据前两个问题的答案，你可以更新你要问的第三个问题。但最后，你仍然需要猜测哪个机组成员的人数最多。

你的最佳策略是什么？你夺回飞船的机会是多少？

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最后一条Riddler Express的解决方案

祝贺南卡罗来纳州格林维尔市的甜茶多明尼·尼昂获得上周的Riddler Express.

上周的特快专递由高中生马克斯·米斯特卡提交，他是2023年Regeneron科学人才搜索马克斯和我在玩一个游戏，我们都秘密地选了一个号码。让我们拨打Max的电话米和我的号码z（z）在我们都透露了我们的数字后，Max的得分是米^z（z），而我的分数是z（z）^米得分较高的人获胜。

当我们最近玩的时候，Max和我选择了不同的整数。令人惊讶的是，我们打成平局——没有赢家！我们选择了哪些数字？

因为Max和我打平了，这意味着所有数字米和z（z）满足了平等米^z（z）=z（z）^米.通过采取米-th和z（z）-双方的根，这给了你米^1/米=z（z）^1/z（z）。此时，值得仔细查看该函数（f）(x) =x^1/x毕竟米^1/米=z（z）^1/z（z）意思与拥有（f）(米) =（f）(z（z）).

此函数增加了较小的值x，达到最大值时x约为2.718（即。，e（电子）). 超过这个最大值，函数永远减小，渐近接近1。因为函数是先增加后减少的，在这两者之间没有其他方向的改变，这意味着米或z（z）必须小于e（电子），而另一个数字必须大于e（电子）.让我们假设一下米是较小的数字。

此时，没有太多选择：米必须是1或2。如果米已经是1，那么你需要1^z（z）=z（z）¹，这意味着z（z）也等于1。自从谜语说米和z（z）很明显，这不是一个可行的解决方案。如果米而是2，然后你需要2^z（z）=z（z）²当然，这个方程有两个解：z（z）=2（同样没有产生不同的数字），以及z（z）= 4. 因此，Max和我只能选择两个整数2和4，作为2⁴= 4².

为了获得额外的积分，你必须分析另一轮游戏，在这轮游戏中，Max和我都选择了不一定是整数的正数。我告诉了马克斯我的号码，却不知道他的号码，这时他告诉我比赛又是平局。“啊，”我回答道，“这意味着我们一定选了同一个号码！”我们都选了哪个号码？

数学上，这意味着（f）(米) =（f）(z（z）)暗示着米z相等。对于的任何值米介于1和之间e（电子），有一个对应的z（z）大于e（电子）这样的话（f）(米) =（f）(z（z）). 所以对于（f）(米) =（f）(z（z）)暗示米=z、，考虑到他们都至少是1岁米和z（z）必须是e（电子）或者，正如解算器费尔南多·门德斯（Fernando Mendez）指出的那样，它们都可以是正数小于或等于1.

面对一位数学和科学成绩在班上名列前茅的高中生，我只能说我很高兴能在这场比赛中两次平局（而不是输掉）。

最后一场Riddler经典赛的解决方案

祝贺亚利桑那州凤凰城的尼诺——杰森·温尼普·尼诺获得上周的谜语经典赛.

上周，你被介绍到类似数独游戏星战。在游戏的五星变体中，您试图根据特定规则用星星填充21x21网格：

• 每行必须正好包含五颗星。
• 每一列必须正好包含五颗星。
• 每个粗体轮廓区域必须正好包含五颗星。
• 没有两颗恒星可以水平、垂直或对角相邻。

例如，这里有一个已解决的游戏板：

在这个例子中，星星似乎在整个棋盘上分布得相当均匀，尽管有一些空隙。特别是，该板有20个两乘二的空方块，如下所示：

这两个区域中的一些重叠——即使如此，它们仍然被视为不同的。

在星际大战的一个求解板中，空的两乘二方块的最小和最大可能数量是多少？

乍一看，这看起来像是一个相当复杂的组合谜，或者可能需要大量模拟。但事实证明，你可以用一些相对简单的代数来解决这个问题！

Solver N.Scott Cardell从了解情况开始。21行中的每一行都有五颗星，这意味着总共有105颗星。与此同时，有20个²也就是说，网格中总共有400个二乘二的方块。因为恒星不可能相邻，这意味着任何给定的二乘二方块上最多有一颗恒星。

现在，四个角中的一个角上的一颗星正好出现在这两个乘二的正方形中的一块上，而其中一个边上的一颗星出现在两个这样的正方形上，网格内部的一颗恒星出现在四个这样的方形上。如果有C角星，E类边缘星和我内部恒星，其上有恒星的两乘二正方形的数量为C+ 2E类+ 4我.由于总共有400个两乘二的正方形没有一颗星是400−(C+ 2E类+ 4我).

由于恒星总数为105颗，这意味着C+E类+我=105，或我= 105 −E类−C此外，因为每条边（像其他行或列一样）都有五颗星，而边角的星星被计算为两条边，所以您有E类+ 2C=20，或E类= 20 − 2C.

在这一点上，你可以用代数的方法从空的二乘二平方数的表达式中消除变量，400−(C+ 2E类+ 4我). 插入105−E类−C对于我给了你3个C+ 2E类− 20. 最后，插入20−2C对于E类给了你20−C.

经过所有这些工作，这是一个令人惊讶的简单结果。要找出两乘二的空方块的数量，你只需计算四个角上的星星数，然后从20中减去。果然，这与原始拼图中星际大战的解决游戏是一致的：角落里没有星星，有20个两乘二的空方块。

那么答案是什么？空的两乘二方块的最小数量为16当四个角都有星星的时候。最大值为20当四个角落都没有星星的时候。（在我看来，这个谜题比一开始看起来更简单，而《星球大战》本身比看起来要复杂得多。）

想要更多的谜题吗？

好吧，你不是很幸运吗？有一整本书都是这个专栏中最好的谜题，还有一些以前从未有过的头条。它叫“Riddler”现在在商店里!

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发送电子邮件至Zach Wissner-Grossrillerrcolumn@gmail.com.

谜语人

你能挤多少个方块？

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年3月31日上午8:00

欢迎来到Riddler。每周，我都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会推出两款谜题：为那些想要一口大小的谜题的人提供谜语快车，为那些参与缓慢谜题运动的人提供谜语经典。提交正确答案，²⁰你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发一封电子邮件.

谜语人快车

优胜者2023年Regeneron科学人才搜索3月14日宣布。（完全披露：我在很久以前就进入了这场比赛的决赛。你可以在众多选手中找到我纽约人同胞，如果你仔细看的话。）

我很高兴今年的获奖者之一能够在本周的专栏中分享他最喜欢的拼图！

高中生Max Misterka来自弗吉尼亚州哈里森堡，曾就读于量子微积分，也称为q-calculus，将其扩展到他称之为“s-calculus”的版本。本周，Max将量子放在一边，向您挑战一个传统微积分可能无法解决或无法解决的难题：

马克斯和我正在玩一个游戏，我们都秘密地选择了一个数字。让我们拨打Max的电话米和我的号码z（z）。在我们公布数字后，Max的分数是米^z（z），而我的分数是z（z）^米得分较高者获胜。

当我们最近玩的时候，Max和我选择了不同的整数。令人惊讶的是，我们打成平局——没有赢家！我们选择了哪些数字？

额外学分：马克斯和我再打一轮。这一次，我们都选择了不一定是整数的正数。我告诉马克斯我的号码，却不知道他的号码，这时他告诉我比赛又是平局。“啊，”我回答道，“这意味着我们一定选了同一个号码！”我们都选了哪个号码？

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Riddler经典

伊桑·鲁宾（Ethan Rubin）提出了一个在恒星中挤压方块的问题：

伊桑一直在玩星战，一个类似数独的游戏。在游戏的五星变体中，您试图根据特定规则用星星填充21x21网格：

• 每一行必须恰好包含五颗星。
• 每列必须正好包含五颗星。
• 每个粗体轮廓区域必须正好包含五颗星。
• 没有两颗星可以水平、垂直或对角相邻。

例如，下面是一个已解决的游戏板：

玩完游戏后，伊桑注意到星星似乎在整个棋盘上分布得相当均匀，尽管有一些空隙。具体来说，他想知道网格中有多少个明显的两乘二方形没有包含一个星星。下面是同一个游戏板，其中所有20个2乘2的空白方块都高亮显示：

如您所见，其中一些2乘2区域重叠，即使如此，它们仍被视为不同的区域。

在一个已解决的星球大战棋盘中，空的2乘2正方形的最小和最大可能数量是多少？

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最后一条Riddler Express的解决方案

祝贺加利福尼亚州旧金山市的尼诺——托马斯·斯通尼诺获得上周的Riddler Express.

我最近参加了《危险边缘》的比赛，即将进入最后的危险边缘！在这一轮比赛中，挑战者凯伦·莫里斯以11400美元领先，卫冕冠军梅丽莎·克拉珀以8700美元领先，我以7200美元领先。最后的危险！这一类被披露为“美国小说家”，现在是我们三人下注的时候了，从0美元到这最后一条线索的总金额。

尽管比赛中出现了剧烈的波动，但我的评估是，我们三人在知识方面的匹配程度相当。在研究了我的对手之后，我也相信凯伦会下足够的赌注来支付梅丽莎最具攻击性的赌注，梅丽莎也会下足够多的赌注支付我最具攻击力的赌注。

有了这些假设，我把自己的赌注保持在较小的水平是合乎逻辑的，因为我唯一获胜的机会是如果凯伦和梅丽莎都猜错了。我并不特别喜欢这个类别，我选择了下注0美元。在不影响我获胜机会的情况下，我可以下注的最大金额是多少？（同样，你可以假设凯伦下注的金额足以覆盖梅丽莎，而梅丽莎下注的数额足以覆盖我。）

如果梅丽莎把所有的钱都押在赌注上，并且回答正确，她就会加倍赔付，最终得到17400美元。凯伦要想出人头地，至少需要17401美元，这意味着她必须下注至少6001美元。同样地，如果我下了所有赌注并且回答正确，我会得到14400美元。梅丽莎需要下注至少5701美元才能拿到至少14401美元。

正如我之前所说，我希望凯伦和梅丽莎都能获得《最后的危险》！错了。那样的话，凯伦会迷路的至少6001美元，因此她的最终总额最多为5399美元。同样，梅丽莎至少会损失5701美元，因此她的最终总损失最多为2999美元。

为了在这些假设下获胜，我必须以5399美元和2999美元（即5399美元）的更大金额结束比赛。为了保证我在节目结束时最多有5400美元，我应该下注不超过7200美元减去5400美元$1,800.

我这集的所有线索都可以通过J！档案文件，进一步为《最后的危险》提供下注建议！果然，它建议我不要超过1800美元。（它还建议我至少下注1501美元，以支付梅丽莎0美元的赌注，这本来是个好主意。）

最后，凯伦下注6001美元，梅丽莎下注8000美元，我下注0美元——在我看来，这都是非常合理的赌注。为了获得额外的积分，知道这是我们的赌注，你必须进一步假设我们三个人的概率都相同第页获得最终的危险！正确，这三个事件是相互独立的。如果第页随机且均匀分布在0和1之间，我赢得比赛的概率是多少？

考虑到这些赌注，我有两种可能赢：如果我们三个人在《最后的危险》中都出了差错！（被称为“三重树桩”），这种情况发生的概率为（1−第页)^三或者如果我是唯一一个获得《最后的危险边缘》的人！正确，发生概率为第页·(1−第页)²把这些加在一起就得到了（1−第页)²也就是说，凯伦和梅丽莎都错了的概率，因为我的答案无关紧要。自第页很可能是0到1之间的任何值，求解者Paige Kester认识到我的获胜概率是（1−第页)²关于第页从第页=0至第页= 1. 根据对称性，这与第页²从0到1，这是1/3.综合考虑，我有相当大的机会取得胜利！

最后一场Riddler经典赛的解决方案

祝贺英国伦敦奥运会冠军迈克尔·布拉德利·尼昂上周的Riddler精英赛.

感觉在大学篮球比赛中有更多的平等三月疯狂与以往相比，低种子队在比赛中以牺牲最受欢迎的球队为代价取得了更大的进步。

在上周的Riddler精英赛中，你认为每支球队都有可能赢得任何一场比赛。Sweet 16的机会是什么每个种子中只有一个?

解开这个谜团的关键是认识到“三月疯狂”的固有结构。例如，在四个地区中的每一个地区，1号种子在第一轮与16号种子比赛，然后该游戏的获胜者在第二轮与8号种子中的胜者对9号种子比赛。这意味着这四支球队中只有一支（1、16、8和9）能进入四个地区中的16强。有4个⁴，或256种选择这些种子中哪一种进入甜16的方法。但只有4个！，或者24种方法，在一个地区有一个种子，在另一个地区16个种子，另一个地方8个种子，最后一个地方9个种子。因此，拥有1粒种子、16粒种子和8粒种子的概率和Sweet 16中的9粒种子为24/256或3/32。

由于支架的结构，5、12、4和13种子、6、11、3和14种子以及7、10、2和15种子也是如此。对于所有四个种子簇，每种种子中有一个进入Sweet 16的概率为3/32。由于每个聚类彼此独立，这意味着所有16个种子都出现在Sweet 16中的概率为（3/32）⁴，这是81/1,048,576或约0.0077%。

为了获得额外的学分，你现在假设种子A类将击败种子B类概率为0.5+0.033·(B类−A类). 再说一次，Sweet 16由每粒种子中的一粒组成的可能性有多大？

为了弄清楚这一点，让我们仔细看看1号种子。为了晋级甜蜜16强，它必须在第一轮击败16号种子，概率为0.5+0.33·15，即0.995。然后，它必须以0.731的概率击败8粒种子（8粒种子进入第二轮的时间占53.3%）或以0.764的概率击败9粒种子（9粒种子进入下一轮的时间为46.7%）。总的来说，每一粒种子都有74.27%的机会进入甜蜜16强。

对剩余种子的类似分析显示，2粒种子有65.47%的机会进入Sweet 16，3粒种子有56.46%的机会，依此类推。正如解算器Kiera Jones所指出的，要找出每个种子成功的概率，必须将所有这些概率相乘，然后再乘以（4！）⁴解释这些种子可能来自四个地区的所有不同方式。最后，这个概率大约是8.53×10^-10.

奇偶校验或无奇偶校验，它将是非常直到我们看到所有1-16号种子都出现在Sweet 16中。

想要更多的谜题吗？

嗯，你运气好吗？有一整本书都是这个专栏中最好的谜题，还有一些以前从未有过的头条。它叫“Riddler”现在在商店里!

想提交谜语吗？

发送电子邮件至Zach Wissner-Grossrillerrcolumn@gmail.com.

谜语人

Riddler遇到危险！

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年3月24日上午8:00

欢迎来到Riddler。每周，我都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会有两个谜题：一个是Riddler Express，适合那些想要比特大小的东西的人，另一个是《Riddler Classic》，适合那些喜欢慢动作的人。提交正确答案，²¹你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发一封电子邮件.

谜语人快车

上周三，我参加了《危险边缘》（Jeopardy！）的比赛（不，这不是虚构谜语的一部分。这真的发生了。）这是一次难以置信的经历，一个长达十年的梦想成真了——尽管我仍然被那个该死的蜂鸣器的时间困扰着。

进入最后的危险！第二轮，挑战者凯伦·莫里斯以11400美元领先。卫冕冠军梅丽莎·克拉珀获得8700美元。与此同时，我以7200美元的成绩名列第三。最后的危险！这一类被披露为“美国小说家”，现在是我们三人为这最后一条线索下注的时候了，下注金额从0美元到总金额不等。

尽管比赛中出现了剧烈的波动，但我的评估是，我们三人在知识方面的匹配程度相当。在研究了我的对手之后，我也相信凯伦会下足够的赌注来支付梅丽莎最具攻击性的赌注，梅丽莎也会下足够多的赌注支付我最具攻击力的赌注。

有了这些假设，我把自己的赌注保持在较小的水平是合乎逻辑的，因为我唯一获胜的机会是如果凯伦和梅丽莎都猜错了。我并不特别喜欢这个类别，我选择了下注0美元。在不影响我获胜机会的情况下，我可以下注的最大金额是多少？（同样，假设凯伦下注的金额足以覆盖梅丽莎，而梅丽莎下注的数额足以覆盖我。）

额外学分：最后，凯伦下注6001美元，梅丽莎下注8000美元，我下注0美元（我已经说过了）。假设我们三个人都有相同的概率第页获得《最后的危险》！正确，这三个事件是相互独立的。如果第页随机且均匀地分布在0和1之间，我赢得比赛的概率是多少？

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Riddler经典

最近几周，我们遇到了很多组合谜题，但Jeremy Bailin提交的这篇文章太及时了，不能错过：

感觉在大学篮球比赛中有更多的平等三月疯狂与以往相比，低种子队在比赛中以牺牲最受欢迎的球队为代价取得了更大的进步。今年男子方面的Sweet 16包括两颗1号种子、两颗2号种子、两只3号种子、两粒4号种子、一颗5号种子、六号种子、七号种子、八号种子、九号种子和十五号种子。这让杰里米想知道Sweet 16是由每粒种子中的一粒组成的：一粒1号种子，一粒2号种子，等等，多达一粒16号种子。

假设每支球队在任何一场比赛中获胜的可能性相等。Sweet 16确实由每粒种子中的一粒组成的可能性有多大？

额外学分：查看男子方面的历史数据，杰里米估计A类将击败种子B类为0.5+0.033·(B类−A类). 使用这些概率，甜蜜16号由每粒种子中的一粒组成的可能性有多大？

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最后一条Riddler Express的解决方案

祝贺马萨诸塞州阿灵顿市的尼诺——亨利·汉诺·尼诺获得上周的Riddler Express.

上周，你被要求分析音乐作品的一部分。在这首曲子的某一点上，有一段即兴乐段，要求音乐家重复演奏八个音符的序列，标记为1到8。最短的序列是12345678。

然而，音乐家也可以恢复到以前的音符，重放某些子序列以获得更多的天赋。更具体地说：

1. 他们总是必须播放下一个音符（即在前一个音调上加1），除非他们恢复到前一个音。
2. 他们决不能连续两次演奏同一个音符。
3. 音符1和8（第一个和最后一个音符）只能播放一次。
4. 他们最多只能回复一次给定的注释。
5. 一旦他们恢复到一个特定的音符，他们就无法恢复到序列中较早的音符。

以下是有效序列的示例：

• 12345678（这是最短的序列。）
• 1234567-234567-34567-4567-567-678（这是最长的序列。）
• 1234-234567-678
• 1234567-345-4567-5678
• 123-234567-3456-45678

我还提供了以下示例无效序列，由于各种原因：

• 1245678（跳过注释3。）
• 12437568（一些票据出现故障。）
• 12345-34678（这跳过了复归中的一个注释，即使该注释出现在前面。）
• 1234-3456-345678（这两次还原为同一音符。）
• 12345-456-2345678（此音符在还原为后一音符后还原为前一音符。）
• 12345-567-678（连续两次重复一个音符。）
• 123-1234567-5678（重复注释1。）
• 1234-23456-5678-78（重复注释8。）

在这些条件下，八个音符可能有多少不同的序列？

首先，您可能会试图手动列出有效的序列。但在一两次之后，这种诱惑可能就消失了电子表格!)

这个谜题的关键是找到某种唯一识别序列的方法，使用更少的数字来编码整个序列。理想情况下，这些较少的数字将使序列计数的任务更具组合性，也更少需要人工操作。

对于初学者，您可以询问序列是否恢复到给定的注释。它是否恢复到2，是否恢复到3，依此类推，直到7。从2到7的数字由六个数字组成，每个数字都可以还原为或不还原。所以你可能会认为答案是2⁶或64。

但事实并非如此。要了解原因，请考虑所有恢复为4且仅为4的序列。这三个都是：

• 12345-45678
• 123456-45678
• 1234567-45678

当它们全部恢复为4时，您可以根据恢复为4之前的数字来区分它们。这个数字必须大于4但小于8，剩下三种可能性：5、6和7。

纵观所有的数字，有五个数字可能在倒转为2之前，四个数字可能位于3之前，三个数字可能早于4（正如我们刚才所说的），两个数字可能先于5，一个数字可能超前于6。因此，每个数字不仅仅有两种可能性（即恢复与不恢复），每个数字的可能性也不同。例如，数字2有六种还原的可能性：一种情况下序列根本没有还原为2，另五种情况下它还原为2并且前面的数字不同。

这意味着有效序列的总数为6.5·4·3·2或6！，那是720为了记录在案，我接受了这个答案。

但事实证明，对这个谜题还有另一种解释，它允许更多的序列。在上面的解决方案中，我们假设逆转之前的数字必须大于逆转后的数字。但这一定是事实吗？考虑序列1234567-23-5678。我承认这是一个不太美观的序列-它感觉就像第二个3和第二个5之间应该有一个4。但如果你将第二个5标记为反转，那么从技术上讲，这个序列满足所有标准最近的）包括这些类型的序列，一些求解者计算出总计1, 245有效的序列——我也接受了这个答案。

最后一场Riddler经典赛的解决方案

祝贺马萨诸塞州剑桥市的尼尼亚历克斯·克拉菲克·尼诺获得上周的Riddler精英赛.

布雷特和一大群朋友玩扑克。有这么多朋友同时玩，布雷特需要的不仅仅是标准牌组中的52张牌。这让布雷特和他的朋友们对一个有四套以上西装的甲板感到好奇。

假设你有一副纸牌，上面有四套以上的纸牌，但每套仍然有13张牌。进一步假设你在玩一个游戏五卡钉-也就是说，每个参与者被发给五张他们不能交易的卡片。

随着套装数量的增加，每只手的概率也会发生变化。有了四套西装，一个异性恋者比一个完整的家庭更有可能（同一只手上有三套西装和两套不同的西装）。甲板需要多少套西装才能穿直的（不包括齐平的）可能性较小比一间满屋子的房子好吗？

对于一个有四套西装的标准甲板，直线和满屋子的概率并不完全是常识，但它们是现成的。无论如何，让我们简单地计算一下四套西装的数量，因为它们在概括西装数量时会很有帮助。

要直牌，你首先必须选择手上最低的牌，可以是从a到10的任何一张牌。然后，你必须将四个套牌中的一个分配给五张牌中的每一张。总的来说，这给了你10.4⁵或10240只手。然而，这也包括直接（和皇家）冲水，每件西装有10次冲水。这意味着有10200名直人穿着四套西装。泛化为N个西装，10·4⁵变为10·N个⁵而不是直接冲水减去10.4，你必须减去10·N个。这总共给了你10·(N个⁵−N个)直来直去N个套装。你可以进一步对这个多项式进行因子分解，得到10·N个·(N个²+1)·(N个+1)·(N个−1).

同时，为了建造一个完整的房子，你首先必须从13个数字中选择一个代表一类中的三个，然后从剩下的12个数字中选出两个代表一种中的两个。然后你必须选择三套西装，代表三种类型（4选择3种方式）和由同类两种方式代表的两种诉讼（4选择2种方式）。因此，在四套西装中，有13·12·4·6人，即3744名全职员工。果然，有了四套西装，满座房子的可能性要比直座房子小得多，因为人手几乎少了三倍，所以满座房子就有了。泛化为N个再次套牌，13号和12号保持不变，但4选3变成了N个选择3和4选择2成为N个选择2。这一共给了你13个·N个²·(N个−1)²·(N个−2).

从这里开始，要想知道什么时候满屋的概率超过了直线的概率，你必须解多项式不等式13·N个²·(N个−1)²·(N个−2) > 10·N个·(N个²+1)·(N个+1)·(N个−1). 这立即减少到13·N个·(N个−1)·(N个−2) > 10·(N个²+1)·(N个+1). 扩展和简化这个不等式得到了3N个^三−49N个²+16−10>0，当N个至少17岁。换句话说，你需要至少17套一个完整的房子比一条直线更有可能。（这是一副有221张牌的牌组！）

本周的获胜者亚历克斯更进一步，绘制了这些概率随诉讼数量的变化。有趣的是，直屋和满屋都有一个非零渐近极限。你能弄清楚它们是什么吗？

为了获得额外的积分，你被要求分析七张牌而不是五张牌。这一次，你得到了七张牌，其中你必须选择最好的五张牌手。再说一次，甲板需要多少套衣服才能保证直冲（不包括直冲）比满座房子少？

我不再赘述细节，因为这在组合案例中是一个相当残酷的练习。例如，在确定直发的概率时，你必须考虑这两张额外的牌是其他牌的副本，还是其他牌的两张，或者其他牌都不是。对于每种情况，都必须排除刷新。总之，最后，当你有至少八套衣服在甲板上。

想要更多的谜题吗？

嗯，你运气好吗？有一整本书都是这个专栏中最好的谜题，还有一些以前从未有过的头条。它叫“Riddler”现在在商店里!

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发送电子邮件至Zach Wissner-Grossrillerrcolumn@gmail.com.

轮询

哪个泰勒·斯威夫特专辑最受欢迎？

我们实际上并不知道，这可以教会我们一些关于投票的知识。

签署人纳撒尼尔·拉基奇

2023年3月24日上午6:00

欢迎使用波拉帕卢萨，我们每周的投票综述。

我能找到的关于泰勒·斯威夫特最古老的民意调查是从2010年开始的。即便如此，很明显她正在成为一个流行文化现象。什么时候？哥伦比亚广播公司新闻/60分钟/名利场当被问及美国成年人最想和五位音乐家中的哪一位共进晚餐时，22%的人说是斯威夫特，而不是杰伊·Z，苏珊·博伊尔还有Lady Gaga，仅次于Paul McCartney。在18-29岁的受访者中，她排名第一。

十三年和几个 热门专辑 后来斯威夫特巩固了她作为音乐界最大的超级明星之一的地位。根据最近一次上午咨询投票，53%的美国成年人认为自己是斯威夫特的粉丝。上周末，她开球了她广受期待后勤混乱-Eras Tour，一个回顾性评论她的音乐发展史。（如果有人有一张本周末在拉斯维加斯演出的备用票，请DM我。）

但当你问斯威夫特的粉丝们最喜欢哪个时代时，你会得到10个不同的答案。为了庆祝Eras Tour、Morning Consult和另一个民意测验的开始，舆观，要求人们找出他们最喜欢的斯威夫特专辑，他们发现很多分歧。但这些分歧可以教会我们一些关于投票的宝贵信息。

在YouGov的民意调查中，15%喜欢或喜爱斯威夫特至少一张专辑的人认为《情人》是他们的最爱，其次是13%认为《1989》是他们最爱的。但在Morning Consult的版本中，许多自称“狂热”的Swift粉丝更喜欢“1989”，而“Lover”的支持率只有5%。斯威夫特的首张专辑《Taylor Swift》在晨间咨询调查中以14%的得票率位居第二，《无畏》以12%的得票数位居第三。当你看到Morning Consult在所有成年人中的结果时，结果看起来更奇怪，而不仅仅是狂热的粉丝。在那里，《无畏》以7%的得票率与《1989》并列第一，其次是《泰勒·斯威夫特》，得票率为6%。 

这些民意调查似乎到处都是，但他们有充分的理由不同意。首先，这些差异大多在民意调查范围内误差幅度基本上，当你只调查较大人群中的一小部分样本时，一些投票错误是不可避免的，通常足以解释不同投票之间的微小差异。由于Morning Consult对狂热粉丝进行的民意调查的误差幅度为±5个百分点，最喜欢专辑《1989》的粉丝实际数量可能在10%到20%之间。这一范围包括YouGov民意调查中选择“1989”的13%，因此两者并不一定矛盾。 

其次，被调查的人口很重要。毫不奇怪，整个美国成年人的口味与喜欢或喜爱斯威夫特专辑的人以及狂热的斯威夫t粉丝不同。后一组可能会对其中一些专辑有更多的了解，从而帮助他们更欣赏它们。政治民意调查也可能以同样的方式存在分歧（没有分歧）：成年人的民意调查可能与潜在选民的民意调查结果不同。因此，在进行政治分析时，我们会查看与背景相符的民意调查（例如，在预测选举时，我们查看对可能选民的调查）。

第三，民意测验者如何提问很重要。仔细看看这两项民意调查，你会注意到晨报咨询公司（Morning Consult）分别询问了“无畏”和“红色”的“泰勒版本”，这可能会影响到他们的收入。²²如果你把这两个加在一起，19%的Swift狂热粉丝喜欢两个版本中的一个，17%的人喜欢其中一个版本的《无畏》。这比15%的人更喜欢《1989年》（尽管如此，仍然在误差范围内）！ 

同样，政治民调的头条新闻也可能取决于民意调查者的选择，有时是不公平的。例如，2018年，昆尼皮亚克大学发现32%的选民认为国会中的民主党人应对最近的政府关门负责，31%的人认为当时的总统唐纳德·特朗普（Donald Trump）应对此事负责，18%的选民认为议会中的共和党人应对此事负责。一些新闻报道民调结果显示，多数选民指责民主党。但作为本专栏指出当你按党派汇总结果时，选民指责共和党政客胜过民主党，比例为49%至32%。

仔细研究民意调查时，重要的是记住这些准则不要急于下结论。当然，这同样适用于一些严肃的事情，比如预测下一届总统大选，以及一些有趣的事情，例如确定一个音乐传奇最受欢迎的专辑。（顺便说一句，答案显然应该是“1989”。）

其他投票片段

• 上午咨询人口统计分类斯威夫特的粉丝也值得一试。可以说，千禧一代和女性是她的“基础”，其中58%的千禧世代和56%的女性都是Swift的粉丝。有趣的是，62%的民主党人是斯威夫特的粉丝，但只有48%的共和党人是。这与2010年哥伦比亚广播公司新闻调查结果不同，当时共和党人比民主党人更有可能表示他们想与斯威夫特共进晚餐。这可能反映了斯威夫特从乡村艺术家到直言不讳的自由派流行歌星.
• 回到政治：根据益普索/路透社54%的美国人认为特朗普涉嫌向色情演员斯托米·丹尼尔斯（Stormy Daniels）支付封口费，可能被起诉是出于政治动机。相比之下，38%的人认为不是这样。然而，美国人并不一定准备采取行动。77%的成年人表示，如果他被捕，他们什么都不会做，6%的人表示会抗议，6%的人称他们会向他的法律辩护基金捐款，4%的人甚至表示会拿起武器。但这可能是一个例子表达性反应-人们对民意测验问题的反应是情绪化的，而不是字面意义上的。一些研究发现，民意测验可以高估愿意参与政治暴力的人数。
• 佛罗里达州州长罗恩·德桑提斯（Ron DeSantis）最近成为共和党总统候选人激起一些党内反对意见他对援助乌克兰对抗俄罗斯的战争表示怀疑。事实证明，共和党精英在外交政策上的分歧也延伸到了选民身上，但他们中的大多数人都站在德桑蒂斯一边。根据早上咨询上周进行的民意调查显示，46%的共和党初选潜在选民认为支持乌克兰不是美国的重要利益，而37%的人认为是这样。这与共和党人之间的长期转变走向孤立主义。
• 拜登总统最近通过批准新的石油钻井项目在阿拉斯加，但是上午咨询投票这表明，美国成年人赞成这项计划的人数多于不赞成的人数，分别为48%和27%。有趣的是，共和党（54%）和民主党（48%）对该项目的支持率大致相当。然而，这个项目的消息似乎并没有传到每个人的耳朵里；25%的成年人没有意见分享。
• 八个州已经通过立法禁止对18岁以下儿童进行性别确认护理，还有几个国家正在考虑这样做。然而，根据一项新的法案，53%至41%的美国成年人反对这类法案Selzer and Co.民意测验格林奈尔学院。

拜登批准

根据五三八总统批准追踪,²³42.7%的美国人赞成拜登担任总统，52.8%的人反对（净支持率为-10.1分）。此时此刻上周43.7%的人赞成，51.5%的人反对（净支持率为-7.8分）。一个月前，拜登的支持率为43.2%，不支持率为51.7%，净支持率为-8.5个百分点。

谜语人

你能在甲板上堆叠西装吗？

签署人Zach Wissner-Gross公司

2023年3月17日上午8:00

欢迎收看《谜语人》。每周，我都会提出与我们所珍视的事物相关的问题：数学、逻辑和概率。每周都会有两个谜题：一个是Riddler Express，适合那些想要比特大小的东西的人，另一个是《Riddler Classic》，适合那些喜欢慢动作的人。提交正确答案，²⁴你可能会在下一篇专栏文章中大喊大叫。请等到周一再公开分享您的答案！如果你需要一个提示或有一个最喜欢的益智游戏在阁楼上收集灰尘，在推特上找到我或给我发一封电子邮件.

Riddler快递

作曲家格兰特·哈维尔（Grant Harville）创作了一部音乐之谜：

格兰特正在写一篇音乐作品。在这首曲子的某一点上，有一段即兴乐段，要求音乐家重复演奏八个音符的序列，我们可以将其标记为1到8。最短的序列是12345678。

然而，音乐家也可以恢复到以前的音符，重放某些子序列以获得额外的天赋。更具体地说：

1. 他们必须始终播放下一个音符（即在前一个音调上加1），除非他们恢复到前一个音。
2. 他们决不能连续两次演奏同一个音符。
3. 音符1和8（即第一个和最后一个音符）只能播放一次。
4. 它们最多只能恢复到给定的注释一次。
5. 一旦他们恢复到特定的音符，就不能恢复到序列中较早的音符。

这是一大堆规则！为了更清楚地说明这一点，看看一些例子可能会有所帮助。以下是有效序列的示例：

• 12345678（这是最短的序列。）
• 1234567-234567-34567-4567-567-678（这是最长的序列。）
• 1234-234567-678
• 1234567-345-4567-5678
• 123-234567-3456-45678

同时，这里有一些例子无效序列，由于各种原因：

• 1245678（这将跳过3。）
• 12437568（一些票据出现故障。）
• 12345-34678（这将跳过复归中的音符，即使该音符更早出现。）
• 1234-3456-345678（这两次恢复为同一音符。）
• 12345-456-2345678（恢复为后一个音符后，将恢复为前一个音调。）
• 12345-567-678（将一个音符连续重复两次。）
• 123-1234567-5678（重复注1。）
• 1234-23456-5678-8（重复注释8。）

在这些条件下，八个音符可能有多少不同的序列？

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Riddler经典

布雷特·汉弗莱斯（Brett Humphreys）提出了一个刷卡难题：

布雷特和一大群朋友玩扑克。有这么多朋友同时玩，布雷特需要的不仅仅是标准牌组中的52张牌。这让布雷特和他的朋友们想知道一个有四套以上西装的甲板。

假设你有一副纸牌，上面有四套以上的纸牌，但每套仍然有13张牌。进一步假设你在玩一个游戏五卡钉-也就是说，每个参与者被发给五张他们不能交易的卡片。

随着套装数量的增加，每只手的概率也会发生变化。有了四套西装，一个异性恋者比一个完整的家庭更有可能（同一只手上有三套西装和两套不同的西装）。甲板需要多少套西装才能保证平直（不包括平直齐平）可能性较小比一间满屋子的房子好吗？

额外学分：假设你玩的是七张牌，而不是五张牌。你被分到七张牌中，其中你选择了最好的五张牌手。甲板需要多少套西装才能保证平直（不包括平直齐平）可能性较小比一间满屋子的房子好吗？

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最后一条Riddler Express的解决方案

祝贺伊利诺伊州巴顿维尔市的Kris Adams获得上周的Riddler Express.

上周，比尔有四个不透明的袋子，每个袋子里都有三个弹珠。其中三个袋子里有两个白色大理石和一个红色大理石，而最后一个袋子里则有三个白色大理石。这些袋子在其他方面难以区分。

特德看着比尔随机挑选了一个袋子，伸手进去时，并没有想抓住两个弹珠而不更换。碰巧两个弹珠都是白色的。比尔正要伸手去拿袋子里的最后一块大理石。

这个大理石是红色的概率是多少？

与其他与条件概率有关的著名谜语（如蒙提·霍尔和两个孩子的问题)，你的直觉可能会把你引入歧途。

一些读者观察到，在从12个弹珠中去掉两个白色弹珠后，比尔在总共10个弹珠里只剩下三个红色弹珠。因此，最后一块大理石是红色的概率应该是3/10。然而，这是不正确的答案。

其他读者认为，因为所有三个袋子上有两个白色的弹珠，画出的两个白色弹珠并没有提供关于比尔选择哪个袋子的新信息。因为四个袋子中有三个是红色大理石，所以最后一个大理石是红色的概率应该是3/4。然而，这也是不正确的答案。

为了了解原因，假设特德从一个有红色大理石的袋子里随机选择了两个球。在这种情况下，他有三分之二的机会选择一个红色和一个白色大理石，以及三分之一的机会选择两个白色大理石。但对于剩下的三个白色弹珠的袋子，比尔是放心选择两个白色大理石。

这意味着比尔从没有红色弹珠的袋子里挑两颗白色弹珠的可能性是从每个有红色弹珠袋子里挑的可能性的三倍。同时，装有红色大理石的袋子数量是没有红色大理石的三倍。因此，最终的大理石很可能是红色或白色的；红色的概率是50%.

如果你仍然不相信，你可以在家里自己模拟一下。设置四个袋子，随机挑选一个袋子，然后画两个弹珠。但请记住，如果您碰巧绘制了一个红色和一个白色大理石，则应该放弃该模拟。只有当你画两个白色大理石时，最后一个大理石才有50%的几率是白色的。

最后一场Riddler经典赛的解决方案

祝贺佛罗里达州墨尔本的汤姆·辛格获得上周的谜语经典赛.

上周你决定开设一个大理石赛马场。没有特氟龙幸免于难，从而形成了一条有效无摩擦的赛道。

赛道的起点和终点相距1米，两个位置都离地面10厘米。这取决于你设计一条快速赛道。但赛道必须始终位于地面或更高的位置。

你能设计的最快赛道是什么？弹珠需要多长时间才能完成比赛？

从物理学入门课程中，你知道大理石越低，它的势能就越小，动能就越多，因此它移动得越快。所以有一个轨道设计是让弹珠笔直向下，在这一点上，一个极小的唇板使弹珠沿地板水平方向重定向。当它直接到达终点线以下时，另一个无限小的嘴唇将弹珠直接转向上方。

大理石穿过这样的路线花了多长时间？如果最初的下降（对称地，最后的上升）t吨几秒钟后，你就知道了小时=gt公司²/2，其中小时是大理石的初始高度（0.1米）克是由于重力产生的加速度，约为9.8 m/s²在地球表面。解这个方程给了你t吨=1/7 s。同时，大理石沿地板的速度等于2的平方根生长激素，或1.4米/秒。以这种速度穿过地板需要5/7秒。将所有这些时间加起来意味着大理石在1秒后到达终点。但有可能到达那里甚至更快.

上周我说过这个谜题很可能会“打破你的旧习惯”，而最后一个词才是关键。臂索是利用重力在最短时间内将物体从一个地方带到另一个地方的路径。但这条确切的路径一直是个谜，直到解决了的由17世纪末数学界的几个大牌人物所作。结果证明，腕表是摆线（滚动圆上由一个点勾勒出的路径）。让大理石沿着摆线运动比前面提到的直线下降更快。当直线下落使弹珠更快地达到最大速度时，摆线会在弹珠加速时将其移近终点，从而缩短总时间。

当然，这就是Riddler，最佳路径不仅仅是摆线。要行进1米的距离而不发生任何海拔净变化，摆线必须倾斜1/米，或约31.83厘米。这是不可能的，因为谜题说大理石不能穿过起点以下10厘米的地板。

因此，解决方案是通过一个向下的摆线使大理石沿着合理的距离移动，然后以高速水平移动，最后沿着向上的摆线返回终点。正如解算师Paige Kester和劳伦特·莱萨，具有半个完整的摆线周期（也称为等时线)如下图所示，在任何一端都做到了。解算器斯塔文德甚至在跑道上设置了弹珠动画。

穿越任一托时的时间为0.05/9.8秒，或约0.2244秒。大理石再次以1.4米/秒的速度沿着轨道的平坦部分行进，现在轨道的长度为1米/10米。将平坦部分和两个同时线的时间相加，得出的总时间约为0.9387秒，这确实比最初直线下降的轨道更快。（使用不同值的解算器克答案略有不同。）

最后，你必须把你的肱动脉分为两部分——当然是被一条平坦的轨道隔开的。

想要更多的谜题吗？

好吧，你不是很幸运吗？有一整本书都是这个专栏中最好的谜题，还有一些以前从未有过的头条。它叫“Riddler”现在在商店里!

想提交谜语吗？

发送电子邮件至Zach Wissner-Grossrillerrcolumn@gmail.com.

警方

警方脸书页面上有种族偏见

签署人玛吉·科尔斯

2023年3月13日上午6:00

2019年2月，威尔克斯-巴雷镇警察局在其脸书页面上描述了一起抢劫案，对此没有任何明显的偏见。第一条帖子简单描述了一名黑人嫌疑人，据称他用枪威胁受害者，并在宾夕法尼亚州东北部的这个小社区索要现金。随后，脸书上发布了两条关于此案的帖子，祝贺警方抓获了嫌疑人。 

但两年前，当一名白人持枪抢劫加油站并逃离现场时，警察局的社交媒体反应完全不同。芝加哥大学（University of Chicago）法学教授约翰·拉帕波特（John Rappaport）是一个研究执法社交媒体账户中种族偏见的团队的成员，他表示，社交媒体上根本没有提到这起案件。在嫌疑人被捕之前，向公众发出警告并寻求他们的帮助。而不是在此之后，以向社区保证嫌疑人已被抓获。拉帕波特说：“犯罪情况非常相似。”。“（这破坏了）任何认为犯罪严重性直接影响部门发布决定的观点。”

这只是Rappaport的团队在分析了执法机构维护的近14000个Facebook页面遍布美国。他们发现，相对于当地的逮捕率，警方的脸书页面一直高估了黑人嫌疑人的犯罪率：2010年至2019年间，32%的帖子中描述了黑人嫌疑人，但仅占被捕者的20%。它反映了美国白人的统计数据高估美国黑人犯罪的百分比高达20%至30%与实际数字（数字本身已经反映出偏见谁被捕与谁犯罪）。 

科学家们表示，有理由怀疑这两组统计数据是相互关联的。拉帕波特说：“我们真的把这篇论文的重点放在了读者的角度上，而不是“警察部门的表现是好是坏”。这是因为这些有偏见的说法很可能是反馈回路的一部分，反映了社会上更大的问题，因为警方对白人美国人已经相信的神话作出了回应，并使其永久化。

拉帕波特说，威尔克斯-巴雷并不是唯一的问题。他的团队所关注的执法机构并非都有偏见。但总体数据显示出全国范围内的明显模式。与实际逮捕人数相比，只有少数地区黑人嫌疑人的比例没有过高，包括南部黑带地区的部分地区，黑人占总人口的大多数。

与逮捕相比，职位上的种族差异因犯罪类型而异，但在各种严重犯罪中都存在。例如，汽车失窃的差距最小：当地涉及黑人嫌疑人的汽车失窃百分比和Facebook关于涉及黑人嫌疑人汽车失窃帖子百分比之间的差距不到一个百分点。但与其他犯罪相比，差异要大得多。虽然黑人嫌疑人占所有盗窃被捕人数的22%，但在Facebook上发布的有关盗窃的帖子中，有32%涉及黑人嫌疑人。²⁵

总的来说，执法部门在脸书页面上对黑人参与暴力犯罪的报道被高估了11个百分点，而对财产犯罪的报道则被高估8个百分点。 

这些差异似乎很小，但Rappaport和外部研究人员表示，接触这些差异的影响可能是广泛的。我与另外三位与拉帕波特的研究无关的科学家进行了交谈，他们也研究了美国人对种族和犯罪的信仰。他们都告诉我，这篇论文代表了这个国家如何看待种族、犯罪和惩罚等更大的系统性问题。 

加州州立大学Dominguez Hills分校刑事司法管理教授莎拉·布里托（Sarah Britto）表示，在报纸等传统媒体和警方之间的关系变得紧张的时候，社交媒体使执法部门能够重新获得对犯罪叙述的更多控制。在过去的几十年里，研究人员发现了证据属于传统媒体过度渲染黑人作为犯罪者和白人嫌疑人犯下的罪行被低估。这已经改变了——新的研究表明美国黑人现在的代表性不足作为有线电视和网络新闻犯罪的嫌疑人和受害者。

但当研究人员发现传统媒体存在明显的偏见时，研究还表明，将黑人描绘成罪犯会影响观众对罪犯和犯罪的看法。例如，20世纪90年代末的一项研究揭露了洛杉矶被指控的犯罪者被认定为黑人、白人或没有身份信息的新闻报道。研究发现，当犯罪者是黑人时，白人观众对惩罚性法律的支持度增加了6%，而当新闻故事中的犯罪者是白人时，这种支持度只增加了1%。²⁶ 

但公众对种族和犯罪的看法也可能影响警察的职位。加州大学欧文分校犯罪学教授Tony Cheng表示，Rappaport的研究开辟了一个全新的研究方向。程说，他希望看到未来研究的一件事是，警察部门内部在社交媒体帖子中制造种族差异的动机和做法。他怀疑社交媒体的性质会激励警方寻找流量，并像其他任何试图建立受众的团体或个人一样“喜欢”。如果一篇帖子产生了很多参与度，那么这些海报很可能会尝试用类似的内容重复成功。但Cheng说，如果最受欢迎的帖子都是关于黑人犯罪的，那么这就成了一个问题。 

他告诉我，具有讽刺意味的是，通过社交媒体渠道进行公共沟通，往往被誉为提高警务透明度的最佳做法的一部分。“[这表明]这些做法可能会加剧公共信息和犯罪信息中的种族偏见，而我们甚至不会真正考虑到这种情况，”程说。 

密歇根大学政治学教授尼古拉斯·瓦伦蒂诺说，这些偏见是强大的。这里有很多研究表明，越多美国人看待穷人成为绝大多数是黑人他说，他们对旨在帮助穷人的社会福利政策的支持越少。把黑人描绘成比他们实际更容易因犯罪而被捕的人，对美国人看待犯罪政策的方式也会产生类似的影响，这是有道理的。 

瓦伦蒂诺说：“这不是一件有争议的事。”。“有趣的是，这对于政治传播领域来说既不是什么新鲜事，也不是独一无二的。它很普遍，我们对它的了解可能已经有30或40年了。”

党派性

红色州正在与蓝色城市作战

签署人莫妮卡·波茨

2023年3月13日上午6:00

2021年下半年，房价佛罗里达州增长更快比其他任何州都要好。在一些城市，租金飙升高达30%那个夏天。这给居住在佛罗里达州的家庭带来了巨大的压力，这些家庭已经在努力支付房租，尤其是那些在旅游业工作的人中等工资，其中许多人在2020年停工期间失去了收入。驱逐出境开始上升在a之后与疫情相关的暂停令在那年夏天结束.

辛西娅·洛朗（Cynthia Laurent）是佛罗里达州上升政治倡导组织（Florida Rising）的住房司法协调员，她说她收到了全州人民的来信。作为回应，她的组织与其他组织合作，在受影响最严重的城市发起了一场租金稳定法运动。在包括奥兰多在内的奥兰治县，选民通过了公民投票建立某些公寓的租金稳定一年在市场调整和家庭站稳脚跟的同时，让居民留在原地。对许多人来说，这正是地方政府应该如何运作：需求出现了，人们向地方官员施加压力或投票改变当地法律。“我相信这是投票中最受欢迎的项目，”劳伦特说。“这不是民主党人或共和党人，各行各业、党派、阶级的人们都对稳定租金投了赞成票。”

但奥兰治县的租房稳定条例可能永远不会生效，这要归功于先发制人——这是一种允许各州阻止城市制定自己议程的法律。 

优先购买权这是一个古老而广泛使用的工具，在过去十年里，全国各地都通过了先发制人法案，阻止了从文化战争问题到基本城市治理等各个方面的地方立法。在佛罗里达州，上周通过的州参议院法案将阻止地方政府实施租金控制或租金稳定。今年，其他州正在考虑废除法律地方政府对学校课程的管理和惩罚地方检察官他们没有优先考虑州议会通过的法律。其他州威胁要接管整个市政府。城市对此可能无能为力

国家和地方权力之间的拔河比赛由来已久。地方政府的职责在美国宪法中没有明确规定，根据州的不同有不同的权力级别，而且并不总是清楚地方有什么权力。“这是一个非常灰色的区域，”全国城市联盟研究主任克里斯汀·贝克尔·史密斯说。“唯一一个明显不是灰色地带的地方是在某个政策领域有明确的指导。”

过去十年发生的事情被许多专家称为从“极简主义”抢占到“最大主义”抢夺的转变。最低工资是最低优先权法的一个例子。任何州的最低工资都不能低于联邦政府规定的7.25美元，²⁷但他们可以走得更高，城市和县可以通过法律，设定比他们所在的州更高的最低限额……只要他们所在的州没有通过优先购买法禁止。

这种转变始于巴拉克·奥巴马（Barack Obama）总统任期内。他经常努力推进国会的进步目标和共和党人在州议会中赢得选举在全国各地。党派之争也变得更清楚的地理位置：越来越多的城市人口比以往任何时候都更加坚定地支持民主党，而农村地区则变得更加共和党化。随着州和联邦层面的进步优先权受阻，更加自由化城市开始通过法令在枪支管制、提高最低工资、病假和LGBTQ权利等问题上。美国大学公共事务学院教授乔斯林·约翰斯顿（Jocelyn Johnston）表示：“城市地区不能通过立法机构让人们听到他们的声音。”，2015年告诉皮尤。“所以他们将在内部做一些事情。这就是为什么会发生这种情况。大多数州的立法机构不像城市利益那样自由。”

现在发生的是保守组织和红州立法机构的抵制。2015年的一份报告称：“积极分子已经开始以地方政府为目标，制定无法在州议会幸存下来的大政府政策。”RedState中的op-ed他认为，各州应通过优先购买权法，保护这些城市的企业免受过度监管。到那时，各州已经在这么做了2020年经济政策研究所（Economic Policy Institute）的一项分析发现，优先购买权的使用在南部各州更普遍. 

在过去的几年里，至少25个州禁止地方政府提高最低工资。18个州排除了直辖市禁止使用塑料袋.至少20个州制定法律，禁止城市禁止使用燃气灶。奥克拉荷马正在考虑一项法案这将阻止城市禁止内燃机。42个州阻止地方立法者通过枪支法规.²⁸

佛罗里达州是34个抢先许多地方住房法律允许租金稳定只有在紧急情况下; 这个上周州参议院通过的法案将甚至去掉那个能力.账单一致通过，但这很可能是因为房屋优先购买权包含在一个大得多的法案中包括措施鼓励混合用途分区，激励经济适用房的发展。该法案的支持者表示这将有助于解决住房短缺问题. 

在许多情况下，这些优先购买权法律是对城市行为的直接回应。在2020年夏天针对警察部门的广泛抗议之后，各州开始先发制人地进行改革或削减预算佛罗里达州和佐治亚州州长签署法律禁止这样做

优先购买权法也不断扩展到新的主题领域。今年，截至3月8日，至少493份优先购买权法案据当地解决方案支持中心（LSSC）称，已被引入全国各州立法机构处理一系列问题。LSSC是一个跟踪某些优先购买权法律并反对这些法律的组织。LSSC法律团队负责人玛丽萨·罗伊（Marissa Roy）表示，一些最大的争论似乎是关于LGBTQ权利和堕胎的，这符合一种模式。她看到这样的法案来源于美国立法交流委员会和其他智库等组织。但是，无论什么样的文化战争正在肆虐，优先购买权法律也受到了启发。她说：“你可以在[保守党政治行动会议]或福克斯新闻上看到的几乎所有趋势……你可以看到它们先发制人。”。

在堕胎问题上，这场斗争已转向阻止地方检察官决定如何使用检察自由裁量权。去年夏天，最高法院取消了宪法规定的堕胎权，红色州加大了对堕胎程序的严格限制力度，但在城市化、自由化程度更高的地区，一些地方检察官做出了回击，发誓不会优先执行这些新法律。在德克萨斯州，立法者在州议会和参议院这基本上要求检察官执行所有州法律，否则将面临惩罚。佛罗里达州和乔治亚州正在进一步执行先发制人法律，惩罚不遵守这些法律的地方官员。佛罗里达州州长罗恩·德桑提斯停职坦帕州检察官在律师承诺不执行该州新的堕胎法后，德桑蒂斯可能会暂停另一个关于执行州法律的类似问题。佐治亚州议会正在考虑设立一个委员会罢免检察官的权力他们“断然”拒绝起诉州法律要求起诉的罪行。  

但哥伦比亚大学教授、先发制人专家理查德·布里法尔（Richard Briffault）表示，当地检察官长期以来都有权自行确定优先事项。他说：“州政府说，‘不，对于州政府感兴趣的热点问题，你不能这样做。’”。“但在某个时候，他们将不得不设定优先事项，因为他们几乎永远不会有资源起诉所有事情，更不用说其中一些问题确实与当地的强烈偏好背道而驰了。”

城市很难阻止这些举措。罗伊说，许多州的宪法都会站在国家一边。据她说，根植于19世纪的改革赋予地方政府比以往更大的权力，但也允许国家先发制人。罗伊说：“我们的想法是，各州将明智地使用先发制人的做法，只在需要全州一致性的情况下确保一致性。”。“现在，我们已经看到了这种先发制人的滥用……这是各州立法机构利用的例外。”

贝克·史密斯说，优先购买权需要来自州宪法的修改，或是为了争取新的、具体的政策领域的权威。罗伊补充道，也许各州可以通过投票倡议或立法机构本身来修改其中一些法律，她认为他们不太可能这样做。在俄克拉荷马州，州众议院的两名民主党人已经提出二 分离废除该州部分优先购买权法律的法案，但在共和国主导的立法机构中，它们面临着一场艰难的斗争。 

现实是，在今天的美国，城市更有可能是民主和进步的，即使是在红色州。当他们通过更自由的法律时，在该州立法机构中，共和党人可能会成为太诱人的目标。俄克拉荷马州众议员辛迪·蒙森（Cyndi Munson）介绍了其中一项法案，他说：“无论是在竞选中还是在任何情况下，他们都可以强烈地站出来说，‘哦，我反对提高最低工资。下面是我如何阻止的，’或者，‘我如何阻止我们社区的脱口秀’。”。

对于那些反对他们所说的过度使用的人来说，先发制人破坏了地方治理背后的基本理念，即社区可以设定反映自己价值观的优先事项。Laurent说，优先购买权法对当地的参与有着长期的腐蚀性影响。她说，州立法机构经常受到特殊利益的影响，先发制人的地方行动消除了人们必须对抗的工具。她说：“拥有代表的全部目的是让人们去那里，反映你所在社区的需求。”。“但不幸的是，这是沉默。”