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流体
第5卷
第2版
10.3390/液体5020048
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第条

美丽的摆动：钟摆、流体、力和计算机

通过
迈克尔·蒙盖利
1和
尼古拉斯·巴蒂斯塔
2,*
1
计算机科学系，2000 Pennington Road，The College of New Jersey，Ewing Township，NJ 08628，USA
2
数学与统计系，2000 Pennington Road，The College of New Jersey，Ewing Township，NJ 08628，USA
*
信件应寄给的作者。
流体 2020,5(2), 48;https://doi.org/10.3390/fluids5020048
收到的提交文件：2020年1月27日/修订日期：2020年4月2日/接受日期：2020年4月5日/发布日期：2020年4月12日
（本文属于特刊《流体力学教学》第二卷)
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版本注释

摘要

:
虽然钟摆已经存在了数千年，甚至成功地进入了本科课程，但它们仍然提供了一系列复杂的动力，其中一些尚未被开发。为了探讨动力学，我们使用开源流体-结构相互作用（FSI）软件开发了摆锤的计算流体动力学（CFD）模型，IB2d型除了分析仅从FSI模型获得的角位移、速度和力之外，我们还将其动力学与学生熟悉的正则阻尼摆常微分方程（ODE）模型进行了比较。我们只在几个振荡周期后观察到定性一致性，这表明在我们的装置的初始摆动过程中存在增强的流体阻力，而不是由ODE的线性比例速度阻尼项捕获的，这是由斯托克斯阻力定律引起的。此外，我们还能够研究使用ODE模型无法探索的东西，即流体对摆动摆的响应，即系统的基本流体动力学。

1.简介

历史上，钟摆有多种用途。来自两千年前使用的地震仪[1,2]用于提高社会容量效率的设备，如往复式锯和泵[三,4]，以保持时间[5,6]甚至中世纪的刑具[7]钟摆的应用非常广泛。埃德加·爱伦·坡（Edgar Allan Poe）甚至写了一篇关于一个人的短篇小说，坑和钟摆[8]. 受人尊敬的博学家伽利略•伽利略于1637年梦见了第一个钟摆，但直到1656年荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）绘制出计划并进行了设计，钟摆才建成。他聘请钟表匠所罗门·科斯特（Salomon Coster）建造钟摆。钟摆的引入将计时精度从15分钟提高到了1/4分钟[5]-钟摆改变了历史！
毫不奇怪，对摆的研究进入了科学、数学和工程的许多基础课程。学生们在力学、动力学或微分方程等课程中被介绍给摆，在这些课程中，他们首先接触到摆的概念简单的重力摆。一个简单的重力摆是一个理想的摆，一个砝码(鲍勃)连接到一根无质量的绳子上，绳子拴在一个固定的枢轴点上，可以自由摆动，没有摩擦[9]. 它将继续永远摇摆不定。现实？除非人们生活在真空中，否则最终会成为学生探索简谐运动的好地方。
如果 θ ( t吨 ) 表示时间从垂直方向的角位移（弧度）t吨（请参见图1a） ，描述这种简单摆系统的常微分方程（ODE）的形式如下：
我 d日 2 θ d日 t吨 2 + 米 克 L（左） 罪 θ = 0 ,
哪里我,米、和L（左）分别是摆锤的惯性矩、总质量和长度，以及克是重力加速度。由于作用在这个摆上的唯一外力是重力，它将永远摆动，振荡幅度不会损失，参见图1b为例。图1b显示了不同摆锤情况的模拟结果，每个摆锤具有不同半径的圆形摆锤。注意，ODE是数值求解的，因为没有使用小角度近似[9]. 对于半径为R（右），附在一根无质量的长绳上L（左），转动惯量计算为：
我 = 米 1 2 R（右） 2 + 米 L（左） 2 .
有两件事需要注意图1b.首先，随着时间的推移，振幅不会衰减。第二，虽然振荡的振幅不受影响，但振荡的周期会受到不同半径的波波头的影响。较大的波波头有较大的周期，因为它们的惯性矩较大[9].
在一个像我们这样的世界（或教室）中，不存在于真空中，一个桌子大小的钟摆演示最终会导致其角振动达到零，即静止不动。这是由于钟摆在空气中摆动——一种流体。空气抵抗钟摆的运动，有效地将钟摆推回。这被称为流体阻力.
流体阻力的概念你可能已经很熟悉了。这就是降落伞工作的原因。控制摆在流体环境中摆动的方程式如下所示
我 d日 2 θ d日 t吨 2 + b条 d日 θ d日 t吨 + 米 克 L（左） 罪 θ = 0 ,
其中参数b条被视为阻尼参数。这是系统的降阶模型，因为流体对摆的贡献完全包含在参数中，b条也就是说，该方程模拟了流体是如何影响摆的摆动运动的，而没有提供理解底层流体动力学的机制。求解方程的数值模拟结果(三)显示在中图2.
图2a将半径保持为常数第页，相同第页从图1b、 在改变阻尼系数的同时，b条。与相比图1b、 在所有情况下，当 b条 > 0 .由以下因素引起的阻尼 b条 > 0 最终会达到平衡——一个垂直悬挂的固定摆。然而，衰减率取决于b条; 较大的值b条导致振荡更快衰减。请注意b条单位为 公斤 · 米 2 秒 2 在现实情况下， b条 > 0 此外，取决于b条，摆锤系统将呈现三种行为情况之一：
  • 欠阻尼：钟摆将前后摆动，尽管其振幅将稳步下降，直到逐渐接近平衡。
  • 严重阻尼：摆尽可能快地恢复平衡。如果阻尼参数稍大或稍小，则会导致摆锤缓慢返回其平衡位置。
  • 过阻尼：摆向平衡位置的移动速度慢于临界阻尼情况。没有振荡。
中显示的模拟图2b固定阻尼参数( b条 = 150 从图2a） 并改变了摆锤的半径。请注意，更改半径第页将改变惯性矩（见方程式(2)). 该数据表明第页为给定值增加b条，这将导致更多的振荡行为。也就是说，更小第页倾向于使钟摆系统更加阻尼。直观地看，这没有多大意义，因为摆锤的表面积较大，所以较大的摆锤应该会感到阻力较大。这就像从飞机上跳出一个表面面积为 10   米 2 比一个 40   米 2 怎么会这样？
对于中的模拟图2b、 我们固定了阻尼参数b条然后变化第页。我们没有考虑阻尼参数可能取决于半径（在各种其他参数中），即摆锤的几何形状。此外，我们还没有激励方程中的阻尼项(三)来自。让我们解决这个问题。
它来自多产物理学家和数学家乔治·斯托克斯爵士的开创性工作，他甚至用钟摆研究了阻力[10]! 特别是，他推导出了阻力方程，现在称为斯托克斯定律通过研究在低雷诺数流体中运动的球体，即流体运动极慢或流体粘度极高的情况[11,12]. 斯托克斯定律（适用于低球 R（右） e（电子） )如下所示：
如果 D类 = 6 π μ 第页 v（v） ,
哪里 如果 D类 是流体阻力， μ 是流体的动态粘度第页和v（v）是通过流体的球体的半径和速度。注意雷诺数( R（右） e（电子） )取决于两个流体参数，即其密度， ρ 和动态粘度， μ 以及基于所研究物理系统的两个参数，即特征长度和速度标度，L（左）和五分别为。这个 R（右） e（电子） 定义为
R（右） e（电子） = ρ L（左） 五 μ .
因此斯托克斯阻力描述了作用在球体上的阻尼摩擦力与其大小成正比， 如果 D类 ∼ 第页 ，和速度， 如果 D类 ∼ v（v） 。请小心记住，这可能只在低雷诺数的情况下才是正确的，其中v（v）,第页，或者两者都很小。注意，阻尼项在方程式中的形式(三)类似，但使用了角位移( θ ( t吨 ) )和角速度( d日 θ d日 t吨 ). 如上所示的数值模拟所示，该阻尼方程导致角位移指数衰减(图2).
在较高的雷诺数下，即流体粘度较低或物体速度或尺寸较大的情况下，阻力的形式不同。在这些情况下，只有臭名昭著的瑞利勋爵（约翰·威廉·斯特拉特饰）通过量纲分析发现了阻力定律[13]. 对于高雷诺数设置，流体阻力采用以下形式[14,15]:
如果 D类 = ρ 第页 2 K v（v） 2 ,
哪里 ρ 是流体密度，第页是球体的半径，v（v）是球体的速度K是一个基于流体流动的速度和方向、对象相对于流体的形状、大小和方向以及流体的密度和粘度的无量纲数。简而言之，对于特定对象，此常数K如果这些参数中的一个或多个发生变化，则可能会发生显著变化。
这种阻力传统上以以下通用方式表示：
如果 D类 = 1 2 ρ A类 C类 D类 v（v） 2 ,
哪里A类是流动物体的横截面积 C类 D类 是一个称为阻力系数。在此表示中 C类 D类 类似于K以上。
此外，20世纪后半叶和21世纪初的工作表明，在特定情况下，阻力方程中必须包含修正项[16,17]. 此外，还存在未知的小振幅摆动摆动力学[18]. 尽管物理钟摆已经使用了数千年，并且学生在基础课程中学习了一个多世纪，但它仍然是一个活跃的研究领域[19].
随着新技术的出现，例如实验测量和流动可视化工具，研究人员进一步探讨了钟摆及其所处流体环境的复杂相互作用[20,21,22,23,24,25]. 特别是Mathai等人[25]研究了钟摆摆动时，由于与自身涡旋尾迹的动态相互作用，流体在钟摆上的阻力是如何增强的，这是以前没有量化过的！
Mathai等人[25]接着注意到即使包括尾流历史力，当前模型仍然非常基本。实际上，摆的动力学是高度非线性的，方向、曲线轨迹和瞬时雷诺数变化很大……完全解析的直接数值模拟……可以更好地了解流动诱导力这正是我们对钟摆的研究开始的地方，尽管之前有两项研究使用了钟摆的CFD模型[26,27].
本文实现了一个包含球形摆锤（二维圆形摆锤）的摆动摆的流体-结构相互作用（FSI）计算模型。在我们的FSI模型中，我们改变了圆形摆锤的大小，即其半径和质量。然后，我们分析了角位移、摆锤速度和作用于其上的流体力等方面的结果数据，并将我们的FSI模型与阻尼物理摆的标准化约化ODE模型之间的动力学进行了比较，方程式(三). 此外，我们可视化（并定性分析）了流体对摆动摆的响应。
此外，我们在补充材料（项目列于附录A)，目的是简化这项工作在教育环境中的使用。此外，我们还为科学界提供了第一个流体-结构相互作用框架中的开源钟摆模型。这些模型可以在github.com/nickabattista/IB2d在子目录中：
IBM2d→matIB2d→Examples→Examples_Education→Pendulum。
请注意，每个示例都是一个点质量模型bob，与圆形bob（半径非零的bob）相比，选择它是因为它的计算速度。此外，还提供了三个版本，每个版本对应不同的网格分辨率。空间分辨率最低的情况， 256 × 256 ，将是跑得最快的，但也是3人中准确度最低的，而 1024 × 1024 case的空间分辨率最高，但运行速度最慢。默认设置是仅保存摆锤（拉格朗日）数据。为了存储流体（欧拉）数据，可以在input2d文件中选择与所需流体量对应的标志。我们还提供了用于求解方程式的脚本(1)和(三)生产图1和图2.

2.方法

为了研究浸没在粘性、不可压缩流体中的二维摆锤的摆动运动，我们使用了计算流体动力学（CFD）。在我们的模型中，摆锤从静止开始，在作用于摆锤质量的重力加速度作用下开始摆动。浸没边界（IB）框架用于耦合摆的运动及其浸没的流体。科学家和工程师可以使用IB来研究物体及其所含流体的相互作用，也就是说，你可以探索流体如何影响物体，反之亦然。
浸没边界法是由Courant数学研究所的数学生理学家Charles Peskin开发的[28,29,30]. 尽管IB是在20世纪70年代发明的，但它至今仍广泛用于研究流体-结构相互作用问题。此后，许多数学家、工程师和科学家改进了原始算法，试图在不显著增加计算费用和所需时间的情况下提高其准确性[31,32,33,34,35,36,37,38]. 由于其稳健性，IB仍然是研究FSI问题的主要数值框架[39,40].
它以前被用于研究心脏流体动力学等问题[41,42,43,44]水上运动[45,46,47,48,49]昆虫飞行[50,51,52]约会和关系[39]. 有关IB方法的更多详细信息，请参阅附录B.
在本节的其余部分中，我们将介绍FSI钟摆的实现IB2d型框架，即计算几何、几何和流体参数以及模型假设。

2.1. 模型几何图形

图3介绍了摆模型的计算几何。特别地，图3a说明了建模思想-半径的bob第页)由（质量的）中心点质量组成米)和外中性荧光壳层。它被拴在一个特定的固定位置，一段距离L（左）离开。钟摆浸没在密度均匀的粘性、不可压缩流体中 ρ ，和动态粘度， μ 注意，摆锤内部和外部的流体在其性质上是均匀的。我们定义了摆的角位移， θ ，为与垂直虚线的角度。重力作用于中心质量点；由于摆锤的其余几何结构是中性的，所以摆锤的所有加速度都是由这个单一的引力相互作用引起的。然而，由于摆锤的结构特性，由于流体在摆锤通过时的阻力，中性浮球壳将承受流体阻力。
由于我们希望改变摆锤的半径和其中心点的质量，我们考虑了下列参数表1对于我们的FSI钟摆模型。显式半径，第页和质量，米被研究的是 第页 ∈ { 0.001 , 0.0025 , 0.005 , 0.0075 , 0.01 , 0.0125 , 0.015 , 0.0175 , 0.02 , 0.0225 , 0.025 }   米 和 米 ∈ { 2 × 10 2 , 5 × 10 2 , 1 × 10 三 , 2 × 10 三 , 5 × 10 三 , 1 × 10 4 }   公斤 分别为。初始角位移， θ 0 ，曾经 负极 π 2 + π 5 = 负极 三 π 10 弧度。我们并没有改变流体的性质，也并没有改变其密度和粘度。请注意，我们模拟中的运动粘度为 ν = μ ρ = 10 负极 5   米 2 / 秒 .一些具有运动粘度的常见液体 10 负极 5   米 2 / 秒 是室温下的硫酸，或是在~100–130华氏度下的各种油（椰子油、SAE机油、花生油、鲸鱼油等）[53]. 运动粘度， ν ，测量流体在重力作用下流动的内部阻力。

2.2. 模型构造

图3b提供了计算几何的更详细概述。特别是，它提供了有关如何使用 我 B类 纤维模型，用于模拟构成几何体的离散点（即拉格朗日点）之间所需的材料特性[39]. 单个质量点系在固定点上，即距离L（左）离开，通过虚拟弹簧。使用目标点模型。目标点可以用来保持拉格朗日点几乎是刚性的。单个体量点使用大质量点将单个拉格朗日点系到群众，抑制其运动[54]. 请注意，目标点和质量点模型使用类似弹簧的数学公式来实现其所需的效果，请参见[39].
中性浮球壳由等间距的拉格朗日点组成，通过虚拟弹簧连接与相邻点相连。此外，每个拉格朗日点都通过虚拟弹簧进一步与摆锤中心的质量点相连。模型中的所有虚拟弹簧连接都使用僵硬的具有特定弹簧静止长度的弹簧，以防止几何体改变形状，即尝试确保拉格朗日点与其他点保持特定距离。圆形壳体中拉格朗日点的数量随半径变化，参见表2注意，由于标准浸没边界框架中拉格朗日结构和流体的耦合性质，我们更容易用这种方式近似建模刚性结构。为了解决每个拉格朗日点在流体和其他外力（如重力）推动下，由于施加的刚性，只能以受限方式移动的问题，需要采取额外的步骤。请参见[46,55]有关带刚体的浸没边界公式的更多信息。
纤维模型使用各种不同的变形力定律来模拟材料属性。为了建模虚拟（胡克）弹簧，变形力计算如下：，
如果 秒 第页 第页 = k个 秒 第页 第页 1 负极 R（右） L（左） ( t吨 ) | | X（X） A类 ( t吨 ) 负极 X（X） B类 ( t吨 ) | | · x个 A类 ( t吨 ) 负极 x个 B类 ( t吨 ) 年 A类 ( t吨 ) 负极 年 B类 ( t吨 )
哪里 k个 秒 第页 第页 是弹簧刚度， R（右） L（左） ( t吨 ) 是弹簧的静止长度，以及 X（X） A类 = 〈 x个 A类 , 年 A类 〉 和 X（X） B类 = 〈 x个 B类 , 年 B类 〉 是由弹簧栓系的拉格朗日节点。请注意，在我们的模型中，静止长度与时间无关，因此 R（右） L（左） ( t吨 ) = R（右） L（左） 如前所述，弹簧刚度较大，以确保计算几何体的拉伸或压缩最小。弹簧刚度用于将质量点系在固定铰链点上，摆锤相互指向，质量点表示为 k个 秒 第页 第页 L（左） 和 k个 秒 第页 第页 B类 分别是。
在强制执行首选位置的简单情况下，边界点通过弹簧连接到目标点。其相应的变形力方程描述了拉格朗日坐标系中边界施加到流体上的力，如下所示 如果 t吨 一 第页 克 e（电子） t吨 并且被明确地写为，
如果 t吨 一 第页 克 e（电子） t吨 = k个 t吨 一 第页 克 e（电子） t吨 Y（Y） A类 ( t吨 ) 负极 X（X） A类 ( t吨 ) ,
哪里 k个 t吨 一 第页 克 e（电子） t吨 是刚度系数，以及 Y（Y） A类 ( t吨 ) 是目标点的规定拉格朗日位置。在所有模拟中，通过施加与实际拉格朗日点位置与其首选目标位置之间的距离成比例的力，铰链点几乎保持刚性。使用大值 k个 t吨 一 第页 克 e（电子） t吨 有助于减少实际位置和首选位置之间的微小偏差。
使用Kim等人的质量点方法对人造质量进行建模[54]. 它类似于目标点。 Z轴 A类 给出了大量的点，具有关联的质量密度 M（M） A类 请注意，这些点与目标点类似，不会与流体直接交互。 X（X） A类 ( t吨 ) 给出与流体相互作用的中性-浮子拉格朗日边界点的笛卡尔坐标。与目标点类似，如果一个拉格朗日点偏离其质量点，一个恢复力会将其驱使回一起，如下面的数学描述所示
如果 M（M） 一 秒 秒 = k个 米 一 秒 秒 ( Z轴 A类 ( t吨 ) 负极 X（X） A类 ( t吨 ) )
M（M） A类 ⏴============================================================================= 2 Z轴 A类 ( t吨 ) ⏴============================================================================= t吨 2 = 负极 如果 M（M） 一 秒 秒 负极 M（M） A类 克 年 ^ ,
哪里 k个 米 一 秒 秒 是刚度系数 k个 M（M） » 1 , M（M） A类 是质量点的质量，克是垂直方向重力引起的加速度， 年 ^ 、和 Z轴 A类 ( t吨 ) 是拉格朗日点的质量点的位置， X（X） A类 ( t吨 ) ，当时已连接到t吨.
所有数值刚度参数见表3。刚度被选择为尽可能高，同时保持数值解算器的稳定性和保真度。每个模拟的钟摆都有长度 0.2   米 并沉浸在一个正方形的计算域中 ( L（左） x个 , L（左） 年 ) = ( 1   米 , 1   米 ) ，网格分辨率为 1024 × 1024 即。， d日 x个 = d日 年 = L（左） x个 N个 x个 = L（左） 年 N个 年 = 0.0009765625   米 .组成圆形摆锤的点均匀间隔，间隔距离为 d日 秒 = d日 x个 2 注意，在选择拉格朗日点间距时，这是浸没边界文献中的标准约定， d日 秒 .用于避免泄漏边界[30]. 因此，除非由于数值误差，否则流体不允许流入或流出摆锤。此外，请注意，沿圆的相邻节点是一个距离第页从摆锤中心的重物点开始，摆锤被系住了L（左）从固定铰链目标点开始。特定点之间的每个弹簧连接使用的弹簧静止长度等于相应的距离，以便在摆锤摆动时保持几何形状。时间步长为 d日 t吨 = 2.5 × 10 负极 5   秒 习惯于及时前进。
在运行模拟时，我们每 0.005   秒 模拟时间：
  • 拉格朗日点的位置
  • 每个拉格朗日点上的力（水平/垂直和法向/切向力）
  • 流体速度
  • 流体涡度
  • 力从拉格朗日网格传播到欧拉网格
然后我们使用了开源软件VisIt[56]由劳伦斯·利弗莫尔国家实验室创建和维护，用于可视化，请参见图4中的数据分析包软件IB2d型[39]用于数据分析。图4提供了质量和半径为 米 = 5 × 10 2   公斤 和 第页 = 0.0175   米 分别在一个快照中。第3.4节进一步详细探讨了潜在的流体动力学，包括钟摆第一次摆动的时间演变，见图19。

3.结果

使用浸没边界法的开源实现IB2d，我们模拟了浸没在流体中的圆形摆锤在重力影响下的运动。在这篇以教育为重点的论文中，我们探讨了摆锤的角位移和速度，以及作用在摆锤上阻止其运动的力。在此基础上，我们量化了振荡幅度和速度阻尼的衰减。这是针对各种摆锤质量以及半径（尺寸）进行的。我们还探讨了摆锤的运动对浸入液体的影响。最后，我们比较了阻尼物理摆的简化ODE模型和我们的FSI模型。我们将结果分为以下五个小节：
  • 摆锤的角位移
  • 摆锤的速度
  • 作用在摆锤上的力
  • 摆锤对流体的影响
  • 简化ODE模型与FSI模型的比较

3.1. 摆锤的角位移

根据建议第1节，由于钟摆浸没在流体环境中，其振幅将随时间衰减。图5为不同半径的摆锤和 米 = 1 × 10 三   公斤 注意，所有模拟都是相互独立运行的，拉格朗日位置数据在后处理期间被覆盖。
此外，摆锤的大小和质量都会影响其动力学。图6说明了具有相同大小和形状摆锤的摆锤由于质量不同可能会经历明显不同的振动模式。特别是，根据质量的不同，摆锤可能会出现三种阻尼情况中的任何一种（欠阻尼、过阻尼或临界阻尼）。请参见图A1对于对应的情况，对不同半径的特定质量进行测试。观察到一致的动态。
接下来，我们计算了各种质量的每个振动周期中的最大振幅。振幅呈指数衰减，参见图7.图7表示各种质量的位移振幅与峰值数（半摆次数）的关系 第页 = 0.005   米 数据显示振幅对数和峰值数之间存在线性关系，表明指数衰减，尽管从第一个峰值开始直线似乎更适合，而不是从初始位移开始。请注意图8显示三种不同质量的连续峰值之间的时间稳步增加( 米 = 2 × 10 2 , 1 × 10 三 、和 5 × 10 三   公斤 )用于各种半径。随着质量的增加，峰值之间的时间减少。此外，通常随着波动次数的增加，峰值出现的时间变得更加一致。我们还注意到，每次模拟开始到第一个峰值之间的时间通常与数据不符。第3.2节,第3.3节和第3.5节还将更详细地探讨这一观察结果。
根据这些数据，我们计算了振荡的近似阻尼周期，参见图9a、 b。图9b提供了一张彩色地图，其中包含来自图9a.如前所述，随着质量增加，近似周期减小。此外，随着半径的增加，周期也会增加。注意，当质量足够大时（例如 米 = 1 × 10 4   公斤 )不同半径之间的周期变化不显著；然而，振荡幅度仍呈指数衰减（参见图A2). 此外，对于非常小的半径，作为质量的函数，周期中似乎存在非单调趋势。周期是通过前5次完整振荡中每隔一个峰值之间的时间平均来计算的。
接下来，我们将探讨在流体环境中，摆锤的质量和半径的变化如何影响摆锤的速度。

3.2. 摆锤速度鲍勃

回忆一下第3.1节我们观察到角位移峰值随时间呈指数衰减。这表明摆锤的速度天生也在减慢。图10详细说明摆锤的速度与摆动次数（半个完整的振荡周期）。所示数据适用于以下情况 第页 = 0.015   米 适合各种人群。在每次摆动中，钟摆都会加速到最大速度，然后减速。当摆锤从垂直方向经过0位移点时，最大值大约出现在每次摆动的一半。请注意，当钟摆从一个方向摆动到另一个方向时，其实际速度必须为零；由于采样时间点的时间分辨率，我们的数据没有反映这一点。
此外，来自图10b、 从模拟开始，速度峰值似乎不会随时间呈指数衰减。经过几次摆动后，速度峰值似乎满足速度对数与时间之间的线性关系；然而，从第一次摆动到第二次摆动，峰值速度显著降低，参见图11.图11说明在大多数情况下，从第二次摆动开始，峰值速度近似呈指数衰减；然而，第一次和第二次摆动之间的衰减明显大于其后的连续峰值。图A3给出了相同质量的摆锤速度在不同半径下随时间衰减的对应数据。数据中也观察到类似的趋势。
接下来，我们希望量化由于钟摆浸没在运动粘度流体中而产生的阻尼量 ν = μ / ρ = 10 负极 5   米 2 / 秒 . 为此，我们通过能量守恒计算了流体环境中摆锤空穴的理论速度。我们设置了摆锤在时间零点时的初始势能，并计算了摆锤通过0位移时的运动能量，即。，
1 2 米 v（v） N个 如果 2 = 米 克 小时 0   ⇒   v（v） N个 如果 = 2 克 小时 0 ,
哪里 v（v） N个 如果 是流体环境外摆锤的速度，以及 小时 0 是摆锤开始摆动之前的初始高度。对于我们的初始设置， 小时 0 = L（左） ( 1 负极 余弦 ( π / 2 负极 π / 5 ) ) ，因为摆锤从初始角度释放 π / 5 水平弧度。
然后，我们将速比定义为： S公司 R（右） = v（v） / v（v） N个 如果 速度阻尼比为： S公司 D类 R（右） = 1 负极 S公司 R（右） = 1 负极 v（v） / v（v） N个 如果 .如果 v（v） = v（v） N个 如果 , S公司 D类 R（右） ≈ 0 表明只有较小的阻尼效应。图12给出了速度阻尼比的百分比。对于这种特殊的流体环境，即使是高质量和小半径的情况也会导致 S公司 D类 R（右） 的 88 % 也就是说，浸没在液体中的摆锤正在移动～ 88 % 比其流体-孔隙对应物慢。随着半径的增加 S公司 D类 R（右） 增加。请注意，较小的质量在 S公司 R（右） .随着质量的增加， S公司 D类 R（右） 在给定半径下减小。
最后，我们探讨了摆锤速度与其角位移之间的相空间。图13a显示以下情况的数据 第页 = 0.001   米 对于超过3个数量级的质量谱。如之前所有数据所示，轨迹最终收敛到零位移和零速度。有趣的是，所有的轨迹都坍塌到一个近似抛物线封顶的圆锥上。最后一个循环适用于中的所有情况图13b.在其他半径的情况下可以看到类似的拓扑结构（参见图A5)超过了各种各样的群众。此外，在固定质量和探索各种半径的轨迹时，也会出现类似的拓扑结构（请参见图A4).

3.3、。摆锤上的力Bob

我们观察到，液体浸没摆在角位移和速度上经历指数衰减。如中所述第1节，这是由于摆锤上的流体阻力造成的。在本节中，我们将探讨此阻力。我们想强调的是，我们的数值实验并没有规定任何特定形式的阻力先验的或任何超过重力作用在摆锤上的力。
首先我们选择了三个质量块， 米 = 5 × 10 2 , 1 × 10 三 、和 2 × 10 三   公斤 ，并研究了作用在摆上的阻力随时间变化的各种半径。该数据如所示图14阻力是通过计算摆锤摆动时垂直于摆臂方向的力来计算的。在每个采样时间点计算法向单位矢量，并使用与摆锤摆动运动相反的方向上的矢量投影计算阻力。
图14a–c表明阻力随着时间的推移呈指数衰减。阻力对数与时间之间的线性关系进一步证实了这一点图14d–f。随着半径的增加，圆圈的表面（周长）也会增加，因此对于特定质量，摆锤体上的阻力也会增加。因此，摆锤上的阻力取决于其几何形状（形状和大小），如中所述第1节此外，随着质量的增加，摆锤上的总阻力也会增加。这也可以在对应的情况中看到，其中选择了3个半径( 第页 = 0.005 , 0.015 、和 0.025   米 )质量也各不相同图A6.
接下来，我们探索了摆锤上的阻力与摆锤角位移的相空间。该数据见图15与速度与位移的相位图类似，力-位移轨迹都坍塌到一个独特的指数衰减包络线上。半径更小(图15a、， 第页 = 0.005   米 )对应于较大的角位移和较大的初始阻力谱，对应于3个数量级以上的各种质量。如果半径较大(图15c、， 第页 = 0.025   米 )相对而言，角位移较小，对于相同的质量变化，初始阻力的范围较小。
最后，我们希望比较所考虑的所有半径和质量情况下的力信息。我们为每一项选择的比较指标是阻力系数；召回 C类 D类 方程式中的项(7). 为了证明我们使用方程式的合理性(7)，我们验证了摆模拟落在适当的雷诺数范围内，即。， R（右） e（电子） > 1 回忆雷诺数， R（右） e（电子） ，定义为
R（右） e（电子） = ρ L（左） 五 μ ,
哪里 ρ 和 μ 是流体的密度和动态粘度，以及L（左）和五分别是特征长度和速度标度。我们选择了L（左）是摆臂的长度，但不是选择五为了成为一个常数，我们在每种情况下都使用了摆锤的时变速度。注意，这个速度本质上是摆锤本身半径的函数，参见图A3在里面附录C.图16a说明了 米 = 2 × 10 三   公斤 雷诺数峰值大于1。此外，其中 R（右） e（电子） 下降，即在每次摆动的开始和结束时，速度接近于零。因此，我们假设瑞利勋爵推导的阻力定律足以满足我们的目的( 如果 D类 ∼ 五 2 ，参见方程式(7)). 注意，随着钟摆继续摆动， R（右） e（电子） ( t吨 ) 在任何情况下都会减少。最终会出现一个政权的转变，瑞利勋爵的阻力定律开始失效，人们必须考虑斯托克斯阻力定律( 如果 D类 ∼ 五 ，参见方程式(4))何时 R（右） e（电子） < 1 此外，我们计算了所有质量和半径的摆锤第一次摆动的时间平均雷诺数，见图16b.通常，随着摆锤质量的增加，平均值 R（右） e（电子） 增加。另一方面，随着半径的增加 R（右） e（电子） 减少。
计算公式时(7)，我们还需要描述A类圆摆的横截面积，以及 如果 D类 ，摆锤上的阻力。我们定义A类为圆的周长，即。， A类 = 2 π 第页 ，对于每个给定半径，第页在先前计算了摆锤的速度和物体上的阻力之后，我们可以求解与时间相关的阻力系数 C类 D类 在每个采样时间点使用公式(7).图17a、 b给出 C类 D类 ( t吨 ) 对于以下情况，分别在第一次摆动（半个摆动周期）和4次摆动（2个完整摆动周期） 米 = 1 × 10 三 和各种半径。请注意 C类 D类 峰值对应于摆锤改变方向，从而达到接近零的速度。此外，由于钟摆持续减速，与时间相关的阻力系数将随时间增加。
为了比较不同质量和半径的所有模拟，我们平均了与时间相关的阻力系数， C类 D类 ( t吨 ) ，如中所示图17c、 d。图17d使用来自图17c.半径较大的摆往往具有较大的阻力系数，质量较大的摆锤也具有较大的拖曳系数。请注意，形状（圆形）和大小（半径）相同的摆锤可能会根据质量的变化产生不同的阻力系数第3.2节我们已经观察到质量的变化会引起速度的变化，这也是计算速度所必需的 C类 D类 首先。该系统在许多动力学特性上高度耦合！
最后，我们强调了阻力系数之间的关系， C类 D类 和雷诺数， R（右） e（电子） ，英寸图18.对于给定质量（质量在图中由特定形状表示），作为平均值 R（右） e（电子） 增加， C类 D类 减少。由于系统是高度耦合的，对于给定的质量 R（右） e（电子） 仅随摆锤半径的减小而增加（半径由颜色图表示）。另一方面，对于给定半径，随着质量的增加，平均值 C类 D类 和 R（右） e（电子） 也普遍增加。总体下降趋势 C类 D类 随着增加 R（右） e（电子） 在许多流体动力学现象中很常见，不仅在物理实验中，例如流经刚性物体的流体[57,58,59]也适用于生物学，例如微小昆虫的飞行[50,51]，甚至是棒球等运动[60]，美式足球[61]，或足球（soccer）[62].

3.4. 摆锤鲍勃对流体的影响

除了在第3.1节,第3.2节和第3.3节主要关注拉格朗日结构本身——摆，CFD（FSI）模拟为我们提供了分析底层流体如何对摆动的摆作出反应的机会。此外，我们能够可视化流体动力学并观察流体速度场的演变， u个 ( x个 , t吨 ) ，速度大小， | u个 ( x个 , t吨 ) | 和涡度( ∇ × u个 ( x个 , t吨 ) )，请参阅图19，用于定性分析。
图19显示了由于质量摆锤的摆动运动而产生的流体动力学， 米 = 5 × 10 2   公斤 和半径， 第页 = 0.0175   米 第一次挥杆时。当摆锤摆动时，在摆锤的正后方有一个快速移动的流体袋，直到其通过零角位移，如速度场和速度幅值图所示。注意，流线显示在速度场图上，轮廓也显示在速度图的大小上。流线说明了流动中瞬时点处无质量示踪粒子的路径，而等高线给出了一条数量（此处为速度大小）具有恒定值的线。注意，快速流动的流体袋的方向是朝向摆锤；因此，直接在移动的波波头后面的物体获得了流体动力学的益处。这种现象通常称为制图并在许多运动中进行了研究，例如滑冰[63]，正在运行[64,65]，游泳[66]，或骑自行车[67]以及生物运动[68,69,70,71,72].
如涡度图所示，在快速流动流体的区域内，有两个相互作用的、反向旋转的旋涡。当漩涡完全从摆锤上脱落时，即一旦摆锤摆动过零位移，漩涡对继续垂直向下移动，而不是向上和向右移动。这些可视化是使用原始 . v（v） t吨 k个 -FSI模拟期间使用开源软件VisIt生成的数据[56]. 我们想强调的是，人们无法从降阶ODE模型方程中获得流体动力学知识(三)独自一人。
此外，由于FSI模拟，我们能够进一步分析流体数据，并确定流体混合程度不同的区域。在数据后处理过程中，我们可以计算有限时间李亚普诺夫指数（FTLE），该指数可以用来表征两个无限小封闭流体滴的轨迹中的分离速度。FTLE中的Maxima（称为山脊)已用于确定拉格朗日相干结构（LCS），LCS用于确定流体中不同的流动结构[73,74,75,76]. LCS是一种工具，可以将流体的复杂动力学划分为不同的区域，以更好地了解流体的传输特性[77,78,79]. 在本文中，我们计算了前向时间FTLE场，其最大脊给出了与排斥流体轨迹区域相对应的LCS，而低值则产生了吸引区域[76]. 此数据显示在图19也。我们在这里的目的并不是强调流体混合度量，而是指出，通过CFD，我们能够研究系统的深层动力学，即使是像阻尼摆那样研究得很好的系统。
此外，我们希望指出，由此产生的流体动力学是多种多样的。并不是每一个摆锤都会像 ( 米 , 第页 ) = ( 5 × 10 2   公斤 , 0.0175   米 ) （如所示图19).图20说明了在以下情况下旋涡形成和脱落的差异 米 = 5 × 10 2   公斤 第一次挥杆时的各种半径。尤其是在较小半径的情况下，形成的漩涡的整体尺寸和大小较小；然而，一旦脱落，涡旋动力学就不同了。这将在摆锤后面产生不同的牵引力。在较大半径的情况下( 第页 > 0.015   米 )，旋涡在脱落时垂直向下移动，而在较小的情况下，它们有显著不同： 第页 = 0.010   米 在这种情况下，涡流板与摆锤一起运动 第页 = 0.005   米 两组涡流对在摆锤的两侧移动。因此，修改钟摆的尺寸会导致底层流体的不同动力学，即使所有钟摆都沿同一圆弧摆动；然而，它们的速度不同。
最后，进一步了解 第页 = 0.010   米 外壳（用于 米 = 5 × 10 2   公斤 )这表明，当钟摆摆动时，它会通过漩涡尾迹摆动回来，看图21有人建议，摆动通过其涡流尾迹的行为可能是摆锤上流体阻力增加的机制[25]. 然而，如果一个适当旋转的旋涡在适当的时间与摆锤相互作用，旋涡也可以提高摆锤的速度，参见 t吨 = 1   秒 在里面图21。红色的漩涡逆时针旋转，可能会使鲍勃的速度提高，因为它正朝着同一方向移动。系统内存在复杂的交织动力学。图22提供了描述这些复杂交互的附加快照序列。它显示了一个摆锤( 米 = 1 × 10 4   公斤 , 第页 = 0.005   米 ) 在第一个振荡周期的回旋期间，通过其自身的涡尾迹摆动。这种复杂的相互作用机制尚未得到充分探索，值得科学界进一步关注。

3.5. 数值比较与验证

最后，在本节中，我们将比较并验证规范阻尼物理摆方程与我们的流体-结构相互作用（FSI）模型。回想阻尼物理摆（方程式(三))由提供
d日 2 θ d日 t吨 2 + b条 我 d日 θ d日 t吨 + 米 克 L（左） 我 罪 θ = 0 .
我们的FSI模型没有假设任何关于此简化常微分方程（ODE）模型存在的知识。相反，它把一个球形（圆形）的摆锤放在一个流动的环境中，把它拴在一个固定的位置，在重力的影响下，它摆动。这是模拟物理实验，但执行了在二氧化硅中，而不是在实验室环境中。
比较方程式(13)和我们的FSI模型，我们首先匹配参数值。对于FSI模型中考虑的每个半径和质量，我们能够使用线性最小二乘框架计算角位移振幅峰值的指数衰减，以通过角位移峰值随时间的对数拟合一条线（线性回归），参见图23a作为示例。每条线的坡度为 γ = 负极 b条 2 我 对于特定的质量和半径。因此，对于参数 b条 / 我 在方程式中(13)，我们将每个斜率相乘 γ 通过 负极 2 即。，
b条 / 我 = 负极 2 γ .
请注意，术语 米 克 L（左） 我 是摆锤的近似自然（无阻尼）角频率平方，即。，
ω N个 2 = 米 克 L（左） 我 .
注意，这不是真正的自然无阻尼角频率，因为我们没有调用小角度近似，即。， 罪 θ ≈ θ 对于小型 θ [9]. 此外，由于存在流体，摆锤不在无阻尼设置中，因此我们无法直接计算 ω N个 从我们的数值实验中。然而，我们使用了摆的周期，如之前在第3.1节、和 γ 计算 ω N个 2 为了清楚无阻尼情况，我们定义 T型 D类 和 ω D类 到FSI实验中摆锤的阻尼周期和角频率。回忆一下 ω D类 和 T型 D类 ,
ω D类 = 2 π T型 D类 ,
以及两者之间的关系 ω N个 , ω D类 、和 γ ,
ω D类 2 = ω N个 2 负极 γ 2 .
因此，使用方程式(15)–(17)，我们可以计算自然（无阻尼）角频率，
ω N个 2 = 米 克 L（左） 我 = 4 π 2 T型 D类 2 + γ 2 .
使用方程式(14)和(18)根据FSI模拟计算，我们找到了简化ODE模型的适当参数值。图23b–f提供了FSI和ODE模型在不同摆锤半径和质量下随时间变化的角位移的比较。为了进行比较，ODE模型在FSI模型的第五个峰值处初始化，其解通过时间向前和向后传播来计算。此外，我们还绘制了指数衰减图，使用第5个峰值振幅作为系数，并以类似的方式绘制了从第5个峰值开始的前后时间。
我们注意到，只有在几次振荡之后，ODE模型才与我们的FSI模型一致。如果我们从FSI摆的原始位置及时向前传播ODE模型，则角位移不一致，参见图24此外，如果我们使用第一峰值振幅（初始角位移）作为指数衰减的系数，FSI模型似乎与其自身的衰减率不一致。然而，衰变率是一致的，如图23但FSI模型直到几次振荡后才开始遵循这种衰减。因此，衰变率， γ = 负极 b条 2 我 从第三个峰值开始计算，而不是从初始位移开始计算。我们选择了第三个峰值而不是第二个峰值，因为从那时起线性关系更为普遍图11在里面第3.2节峰值速度的指数衰减直到第二次摆动才开始。
总的来说，对于不同尺寸的摆锤半径以及质量谱，经过几次振荡后，简化的ODE模型与FSI模型一致；然而，第一次挥杆时的动力有很大不同（参见图24). 这可能是由于摆锤上的流体阻力定律不同，在摆锤进入阻力可以建模为与其速度成线性比例的状态之前。
最后，我们计算了阻尼参数，b条它本身是摆锤质量和半径的函数。为了计算这一点，我们首先使用方程找到了每种情况下的有效惯性矩(18)例如。，
我 = 米 克 L（左） 4 π 2 T型 D类 2 + γ 2 ,
然后计算
b条 = 负极 2 γ 我 .
注意，我们选择计算有效惯性矩，我，对于此处的每个模拟。我们的FSI摆锤几何形状不是一个固体结构，而是在其中心有一个奇异的质量源，一个由连接在一起的中性浮点数组成的壳，从IB公式来看，其壳内包含流体。这种流体与钟摆浸入的反向流体环境具有相同的特性。此外，作为附加质量原理说明当物体通过流体系统加速（或减速）时，惯性被添加到流体系统中[21]. 因此，适当的惯性矩，我，在ODE模型中使用以匹配FSI模型是非常重要的。
阻尼参数，b条，随着特定半径质量的增加而增加，请参见图25此外，对于给定质量，随着半径的增加，b条也增加了。虽然系统似乎对质量变化更为敏感，但回想一下，质量在两个数量级的数值上变化，而半径则大致在一个数量级上变化。

4.讨论和结论

采用二维浸没边界模拟，模拟了在粘性、不可压缩流体环境中重力影响下圆形摆锤的摆动运动。此外，据作者所知，这是第一次流体-结构相互作用（FSI）模拟，探索了普通摆锤系统的运动，也提供了开源的补充。将从摆锤运动中收集的角位移数据与大多数STEM学生熟悉的降阶阻尼ODE模型进行直接比较。一般来说，ODE模型和FSI模型之间的振荡动力学一致（参见第3.5节). 然而，前几次挥杆的最大角位移和速度与之后的速度之间的衰减率存在差异。这些观察结果背后的机制尚未完全理解。似乎有有趣的动力学需要进一步研究，包括摆锤的质量和半径、摆锤产生的涡旋尾迹、这些涡旋之间的相互作用以及摆锤本身，以及在大振幅振荡期间摆锤上产生的阻力。
此外，一旦摆锤在较大的初始角位移后摆动了几次，ODE模型的线性比例速度阻尼项，即斯托克斯阻力定律，是合适的。在第一次初始摆动过程中，摆锤上的阻力增加，这可能符合瑞利阻力定律和/或附加质量原理[24]和/或其他涉及涡旋脱落的复杂阻力机制[23].
此外，我们能够确定近似阻尼参数，b条，它符合FSI模型中的ODE模型。阻尼参数，b条，与摆锤的质量和半径有关（参见第3.5节). 此外，通过FSI模拟，我们能够量化阻力系数， C类 D类 ，随着摆锤质量和半径的增加而增加（参见第3.3节). 在这一点上，我们还说明了摆的摆动周期是摆锤质量和半径的函数（参见第3.1节).
除了摆锤结构本身的动力学之外，使用FSI模型可以让我们窥探底层流体的动力学结果（见第3.4节)，否则我们无法单独使用reduced-ODE模型来实现这一点。虽然本研究的目的是探索FSI摆模型的动力学，但该模型本质上没有假设任何特定的阻力定律先验的，并将结果与ODE模型进行比较，该框架可用于进一步探索新的科学前沿，以揭示流体阻力的增强贡献，无论是通过你自己的涡旋尾迹，正如Mathai等人2019所建议的那样[25]，Bolster等人建议的涡流脱落，2010年[23]或附加质量，如Bandi等人所建议，2013年[24]. 振荡振幅、摆锤的几何形状和质量以及流体标尺之间仍有复杂的关系需要解密。上述研究使用钟摆进行了物理实验，并使用了复杂的可视化技术，即贝克电解技术[80]或粒子图像测速（PIV）[81,82]可视化潜在的流体动力学。
此外，使用该FSI框架，可以将多个摆耦合在一起，研究由此产生的复杂动力学和/或研究摆锤摆动时各种几何物体的运动。我们已经看到，摆锤的大小影响着潜在的流体动力学，正如在第3.4节; 然而，人们尚未探索形状如何影响流体动力学或鲍勃本身的运动。
虽然学生对流体的第一次短暂探索可能是通过涉及钟摆的阻尼简谐运动的概念，但我们希望这份手稿为学生们在流体力学入门课程中提供以下背景：
  • 与学生之前可能见过流体阻力定律的地方有关，即斯托克斯阻力定律和摆运动。此外，它还向学生们说明，著名的物理定律是通过像钟摆一样“基本”的系统发现的。
  • 在使用降阶ODE模型对系统进行建模和尝试在更高程度上对系统的所有方面进行计算建模之间可能出现的差异。我们希望这能向学生们表明，简化模型很有价值，因为它们通常更容易求解，同时（希望）捕捉系统的大部分动力学。然而，降阶模型和计算模型之间出现的差异表明，存在明显的缺点——降阶模型中没有捕捉到任何动力学，例如涡旋尾迹或牵伸，这可能对理解整个系统特别有趣或重要。
  • 类似地，系统的完整动力学丰富性只能通过研究其显式流体力学来探索，即使在一个看似“简单”的系统中，就像浸没在流体中的单摆一样。此外，即使要研究涉及流体和浸入其中的物体的系统，也需要复杂的实验技术或计算专业知识。这项工作表明，计算机可以成为执行科学的强大工具。不仅如此，编程知识在当今时代备受追捧[83,84].
  • 观察到，即使是在一些入门课程中经常学习的系统，如钟摆，也可能仍然存在科学家和工程师积极追求的开放的、令人兴奋的研究问题。
总之，钟摆可能是一种古老的、历史悠久的装置，已经研究了数千年；然而，在幕后，还有许多隐藏的、复杂的动态有待发现。

补充资料

以下内容可在线获取，网址为https://www.mdpi.com/2311-5521/5/2/48/s1.

作者贡献

概念化，M.M.和N.A.B。；方法与软件，N.A.B。；验证，N.A.B。；形式分析、调查和数据处理，M.M.和N.A.B。；书面原稿编制，N.A.B。；写作-评论与编辑，M.M.和N.A.B。；可视化、M.M.和N.A.B。；资助收购，N.A.B.所有作者都已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

计算资源由NSF OAC#1826915和NSF OAC#1828163提供。对N.A.B.的支持由TCNJ学术活动支持（SOSA）拨款、TCNJ数学和统计系以及TCNJ科学院提供。

致谢

作者谨感谢克里斯蒂娜·巴蒂斯塔、罗伯特·布斯、凯伦·克拉克、贾娜·盖弗茨、克里斯蒂娜·阿姆雷特、亚历山大·胡佛、劳拉·米勒、马修·瑞祖哈拉、阿尔文德·桑塔纳克里什南、艾米莉·斯莱辛格、爱德华·沃斯卡尼安和林赛·沃尔德罗的评论和讨论。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

缩写

本手稿中使用了以下缩写：
计算流体力学计算流体动力学
金融服务机构流体-结构相互作用
重新雷诺数
IB公司浸边界法
ODE公司常微分方程

附录A：讲师资源

教学资源：
相关的补充文件包含与论文相关的幻灯片、电影和开源代码。它包括以下内容：
  • 钟摆_教室_补充.pptx/.pdf：可在课堂上使用的演示文稿；讲述报纸故事的幻灯片。请注意 . 第页 第页 t吨 x个 文件在中嵌入了电影 . 米 第页 4 格式。
  • 电影：包含电影的目录( . 米 第页 4 格式）。
  • 请注意，点质量摆的开源流体-结构相互作用模型可以在以下位置找到：https://github.com/nickabattista/IB2d在子目录中：
    IBM2d→matIB2d→Examples→Examples_Education→Pendulum。
  • 使用的可视化软件：VisIt(https://visit.llnl.gov网址/)（第2.12.3节）

附录B浸没边界法

浸没边界法[30]用于模拟重力加速度下摆的运动，参见第2节虽然IB能够求解涉及柔性或粘性结构的完全耦合流体-结构相互作用系统，但这里我们使用它来模拟浸没在不可压缩粘性流体中的摆锤的刚性边界。流体运动由Navier-Stokes方程控制，如下所示
ρ ⏴============================================================================= u个 ( x个 , t吨 ) ⏴============================================================================= t吨 + u个 ( x个 , t吨 ) · ∇ u个 ( x个 , t吨 ) = 负极 ∇ 第页 ( x个 , t吨 ) + μ Δ u个 ( x个 , t吨 ) + （f） ( x个 , t吨 )
∇ · u个 ( x个 , t吨 ) = 0 ,
哪里 u个 ( x个 , t吨 ) = ( u个 ( x个 , t吨 ) , v（v） ( x个 , t吨 ) ) 是流体速度， 第页 ( x个 , t吨 ) 是压力， （f） ( x个 , t吨 ) 是单位体积的力（面积 2 D类 )通过浸没边界应用于流体，即摆。自变量是位置， x个 = ( x个 , 年 ) ，和时间，t吨.方程式(A1类)和(A2类)分别是流体的守恒定律，即动量守恒和质量守恒。注意，方程式(A2类)被称为不可压缩性条件。
流体和浸入式结构物之间的相互作用方程如下所示
（f） ( x个 , t吨 ) = ∫ 如果 ( 第页 , t吨 ) δ ( x个 负极 X（X） ( 第页 , t吨 ) ) d日 第页
U型 ( X（X） ( 第页 , t吨 ) , t吨 ) = ⏴============================================================================= X（X） ( 第页 , t吨 ) ⏴============================================================================= t吨 = ∫ u个 ( x个 , t吨 ) δ ( x个 负极 X（X） ( 第页 , t吨 ) ) d日 x个 ,
哪里 X（X） ( 第页 , t吨 ) 给出了时间的笛卡尔坐标t吨拉格朗日参数标记的物质点第页, 如果 ( 第页 , t吨 ) 是边界弹性变形施加在流体上的单位面积力，作为拉格朗日位置的函数，第页和时间，t吨.方程式(A3号)通过增量核积分变换，将浸没边界的力施加到流体网格上。方程式(A4（A4）)将边界的速度设置为等于局部流体速度。
如中所建议第2.2节，变形力方程，如果（r，t）特定于正在探索的系统。对于这个摆锤模型，它采用以下形式
如果 ( 第页 , t吨 ) = 如果 秒 第页 第页 + 如果 t吨 一 第页 克 e（电子） t吨 + 如果 M（M） 一 秒 秒 ,
这是由弹簧、目标点和质量点变形引起的力的总和，这些变形与用一个或多个模型特征建模的每个拉格朗日点有关。

IB算法

在我们的摆模型中，我们在方形区域上施加了周期性边界条件。求解方程式(A1类)–(A4（A4）)我们需要根据之前的时间步长数据更新速度、压力、边界位置和作用于边界的力n个.IB通常通过以下步骤进行此操作[30,39]:
第1步：计算力密度， 如果 n个 从浸没边界的当前边界形状n个, X（X） n个 .
第二步：使用公式(A3号)将力从拉格朗日边界传播到欧拉（流体）网格以进行计算 （f） n个
第三步：求解Navier-Stokes方程，A1类和A2类，从而更新 u个 n个 + 1 和 第页 n个 + 1 从 u个 n个 , 第页 n个 、和 （f） n个 .
第4步：更新拉格朗日点位置， X（X） n个 + 1 使用局部流体速度， U型 n个 + 1 ，计算自 u个 n个 + 1 和(A4（A4）).
我们很快注意到，为了近似方程中的积分(A3号)和(A4（A4）)，使用了离散化（和正则化）的delta函数。我们选择使用中描述的delta函数[30]即。， δ 小时 ( x个 ) ,
δ 小时 ( x个 ) = 1 小时 三 ϕ x个 小时 ϕ 年 小时 ϕ z（z） 小时 ,
哪里 ϕ ( 第页 ) 定义为
ϕ ( 第页 ) = 1 8 ( 三 负极 2 | 第页 | + 1 + 4 | 第页 | 负极 4 第页 2 ) , 0 ≤ | 第页 | < 1 1 8 ( 5 负极 2 | 第页 | + 负极 7 + 12 | 第页 | 负极 4 第页 2 ) ,   1 ≤ | 第页 | < 2 0   2 ≤ | 第页 | .

附录C附加摆锤数据

在本附录中，我们提供了以下数据的补充数据：第3节例如，如果我们提供的图形包含特定半径的各种质量（如图6)，在这里我们将提供相反的一种半径，用于质量的特殊情况（如图A1（见下文）。提供这些数字是为了进一步明确所讨论和分析的比较。
首先，我们提供了质量相同但半径不同的钟摆随时间（以秒为单位）的角位移（以弧度为单位）图A1该数据清楚地表明，具有相同质量的摆锤在不同半径下可以经历不同的振荡模式。此外，通过增加质量数量级 2 × 10 2   公斤 到 2 × 10 三   公斤 到 1 × 10 4   公斤 可能会导致摆锤经历不同的振动状态，无论是欠阻尼还是过阻尼。
液体05 00048 g0a1 550
图A1。描述质量相同但半径不同的钟摆的角位移（弧度）与时间的关系。(一–c（c）)给出特定质量的数据 米 = 1 × 10 4   公斤 ,   2 × 10 三   公斤 ，或 2 × 10 2   公斤 和各种半径。
图A1。描述具有相同质量但不同半径的摆的角位移（弧度）与时间（s）的关系。(一–c（c）)给出特定质量的数据，或者 米 = 1 × 10 4   公斤 ,   2 × 10 三   公斤 ，或 2 × 10 2   公斤 和各种半径。
液体05 00048 g0a1
接下来，我们提供了摆所达到的高度（以米为单位），作为角位移峰值数的函数 米 = 1 × 10 4   公斤 和各种半径图A2这说明随着半径的增加，高度也会降低。不仅高度会随着半径的增加而降低，摆的线速度也会降低，如图A3我们的模拟表明，对于给定的质量，较小的摆锤通常比较大的摆锤移动得更快。在这两种情况下，速度和高度都呈指数衰减，如图A2b和图A3b.提供这些数据是为了表明，随着摆锤尺寸的增加，作用在摆锤上的阻力必须更大，以降低其速度，从而使其无法达到与其他较小的摆锤相同的高度（角位移）。
液体05 00048 g0a2 550
图A2。(一)在下列情况下，当摆锤继续摆动时，摆锤所达到的高度（m）的衰减曲线图 米 = 1 × 10 4   公斤 用于各种半径。峰值振幅呈指数衰减，如振幅对数与峰值数之间的线性关系所示(b条).
图A2。(一)在下列情况下，当摆锤继续摆动时，摆锤摆锤达到的高度（m）衰减曲线图 米 = 1 × 10 4   公斤 用于各种半径。峰值振幅呈指数衰减，如振幅对数与峰值数之间的线性关系所示(b条).
液体05 00048 g0a2
液体05 00048 g0a3 550
图A3。(一)在以下情况下，描述摆锤线速度与非量纲时间的曲线图，作为摆动次数（半个完整位移周期） 米 = 1 × 10 三   公斤 用于各种半径。摆锤与垂直方向的角位移为零且峰值速度呈指数衰减时，摆锤摆动中间的速度峰值对应于(b条).
图A3。(一)在以下情况下，描述摆锤线速度与非量纲时间的曲线图，作为摆动次数（半个完整位移周期） 米 = 1 × 10 三   公斤 用于各种半径。摆锤与垂直方向的角位移为零且峰值速度呈指数衰减时，摆锤摆动中间的速度峰值对应于(b条).
液体05 00048 g0a3
此外，我们还提供了更详细的线性速度相空间探索( 米 / 秒 )相对于角位移（弧度）图A4和图A5.图A4提供了以下情况下线性速度与角位移的相空间 米 = 5 × 10 三   公斤 和各种半径，而图A5选择四个半径( 第页 = 0.001   米 , 第页 = 0.005   米 , 第页 = 0.0015   米 、和 第页 = 0.025   米 )观察到类似的拓扑结构，其中数据折叠到抛物线封顶的圆锥上。这是直观的，因为角位移和速度的峰值都随着时间的推移而降低；然而，特别有趣的是，锥角在所有情况下都近似守恒。
液体05 00048 g0a4 550
图A4。(一)摆锤线速度与角位移（弧度）的相空间，在以下情况下 米 = 5 × 10 三   公斤 (b条)仔细查看每种情况下最后一个模拟循环的相空间。
图A4。(一)摆锤线速度与角位移（弧度）的相空间，在以下情况下 米 = 5 × 10 三   公斤 (b条)仔细查看每种情况下最后一个模拟循环的相空间。
液体05 00048 g0a4
液体05 00048 g0a5 550
图A5。各种质量情况下摆锤线速度与角位移（弧度）的相空间：(一) 第页 = 0.001   米 , (b条) 第页 = 0.005   米 , (c（c）) 第页 = 0.015   米 、和(d日) 第页 = 0.025   米 .
图A5。各种质量情况下摆锤线速度与角位移（弧度）的相空间：(一) 第页 = 0.001   米 , (b条) 第页 = 0.005   米 , (c（c）) 第页 = 0.015   米 、和(d日) 第页 = 0.025   米 .
液体05 00048 g0a5
最后，我们提供了描述阻力的数据(N个)3种不同半径的时间( 第页 = 0.015   米 , 第页 = 0.020   米 、和 第页 = 0.025   米 )超过了各种各样的群众。与相比图14我们注意到，对于相同半径但不同质量的物体，阻力开始与时间重叠。具体来说，与较大质量相对应的阻力衰减得更快。这也可以从中推测图17c、 d，表明在特定半径的更大质量情况下，平均阻力系数增加。
液体05 00048 g0a6 550
图A6。各种质量的阻力（N）随时间变化（以秒为单位）(一,d日) 第页 = 0.015   米 , (b条,e（电子）) 第页 = 0.020   米 、和(c（c）,（f）) 第页 = 0.025   米 。半对数数据见(d日–（f）)强调阻力对数与时间之间的线性关系。这种线性关系表明阻力随时间呈指数衰减。
图A6。各种质量的阻力（N）随时间变化（以秒为单位）(一,d日) 第页 = 0.015   米 , (b条,e（电子）) 第页 = 0.020   米 、和(c（c）,（f）) 第页 = 0.025   米 。半对数数据见(d日–（f）)强调阻力对数与时间之间的线性关系。这种线性关系表明阻力随时间呈指数衰减。
液体05 00048 g0a6

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液体05 00048 g001 550
图1。(一)长摆L（左）半径为圆形的摆锤，第页和质量，米(b条)不同半径的各种重力摆随时间的角位移（以弧度表示）。无量纲时间是根据具有半径的情况的周期数给出的，第页.
图1。(一)长摆L（左）半径为圆形的摆锤，第页和质量，米(b条)不同半径的各种重力摆随时间的角位移（以弧度表示）。无量纲时间是根据具有半径的情况的周期数给出的，第页.
液体05 00048 g001
液体05 00048 g002 550
图2。在以下情况下阻尼物理摆相对于无量纲时间的角位移(一)恒定半径和可变阻尼，b条、和(b条)常数b条和各种半径。
图2。在以下情况下阻尼物理摆相对于无量纲时间的角位移(一)恒定半径和可变阻尼，b条、和(b条)常数b条和各种半径。
液体05 00048 g002
液体05 00048 g003 550
图3。(一)半径为圆形摆锤的浸没摆模型第页在粘性的、不可压缩的流体中。流体的密度和粘度为 ρ 和 μ 分别为。钟摆有长度L（左）鲍勃有质量米，集中在其中心。(b条)说明离散拉格朗日网格的纤维模型构造的计算几何结构。
图3。(一)半径为圆形摆锤的浸没摆模型第页在粘性的、不可压缩的流体中。流体的密度和粘度为 ρ 和 μ 分别为。钟摆有长度L（左）鲍勃有质量米，集中在其中心。(b条)计算几何说明了离散拉格朗日网格的纤维模型构造。
液体05 00048 g003
液体05 00048 g004 550
图4。带有质量的摆的单个时刻的快照， 米 = 5 × 10 2   公斤 和半径， 第页 = 0.0175   米 ，提供在模拟时间达到的时间步长期间存储的一些数据 t吨 = 0.70   秒 即拉格朗日点（摆）的位置、速度矢量场、速度大小和涡度。请注意，未显示从拉格朗日网格（摆）向欧拉网格（流体）传递力的数据。通过有限时间李亚普诺夫指数（FTLE）对拉格朗日相干结构（LCS）进行了说明，尽管它们是在数据收集后的后处理阶段进行计算的。
图4。带有质量的摆的单个时刻的快照， 米 = 5 × 10 2   公斤 和半径， 第页 = 0.0175   米 ，提供在达到模拟时间的时间步长期间存储的一些数据 t吨 = 0.70   秒 ，即拉格朗日点（摆锤）的位置、速度矢量场、速度大小和涡度。请注意，未显示从拉格朗日网格（摆）向欧拉网格（流体）传递力的数据。通过有限时间李亚普诺夫指数（FTLE）对拉格朗日相干结构（LCS）进行了说明，尽管它们是在数据收集后的后处理阶段进行计算的。
液体05 00048 g004
液体05 00048 g005 550
图5。在以下情况下，随时间变化的多个摆锤（不同半径）角位移快照 米 = 1 × 10 三   公斤 .
图5。在以下情况下，随时间变化的多个摆锤（不同半径）角位移快照 米 = 1 × 10 三   公斤 .
液体05 00048 g005
液体05 00048 g006 550
图6。描述具有相同半径但不同质量的摆的角位移（弧度）与时间的关系。(一–c（c）)给出特定半径的数据 第页 = 0.005   米 , 0.015   米 ，或 0.025   米 分别为每个中质量的4个数量级。
图6。描述具有相同半径但不同质量的摆的角位移（弧度）与时间的关系。(一–c（c）)给出特定半径的数据 第页 = 0.005   米 , 0.015   米 ，或 0.025   米 分别为每个中质量的4个数量级。
液体05 00048 g006
液体05 00048 g007 550
图7。(一)在下列情况下，当摆锤继续摆动时，摆锤所达到的高度（m）的衰减曲线图 第页 = 0.005   米 用于质量谱。峰值振幅呈指数衰减，如振幅对数与峰值数之间的线性关系所示(b条).
图7。(一)在下列情况下，当摆锤继续摆动时，摆锤所达到的高度（m）的衰减曲线图 第页 = 0.005   米 用于质量谱。峰值振幅呈指数衰减，如振幅对数与峰值数之间的线性关系所示(b条).
液体05 00048 g007
液体05 00048 g008 550
图8。图示角位移峰值时间相对于摆锤半径的第1至第6个峰值的曲线图(一–c（c）)以及峰值之间的时间差(d日–（f）)三种不同质量的摆锤半径：(一,d日) 米 = 2 × 10 2   公斤 , (b条,e（电子）) 米 = 1 × 10 三   公斤 、和(c（c）,（f）) 米 = 5 × 10 三   公斤 .
图8。图示角位移峰值时间相对于摆锤半径的第1至第6个峰值的曲线图(一–c（c）)以及峰值之间的时间差(d日–（f）)三种不同质量的摆锤半径：(一,d日) 米 = 2 × 10 2   公斤 , (b条,e（电子）) 米 = 1 × 10 三   公斤 、和(c（c）,（f）) 米 = 5 × 10 三   公斤 .
液体05 00048 g008
液体05 00048 g009 550
图9。(一)对于各种质量，作为摆锤半径的函数给出的周期。(b条)显示周期与摆锤半径和质量的函数关系的等高线图。最大周期出现在小质量和大摆锤上。
图9。(一)对于各种质量，周期是摆锤半径的函数。(b条)显示周期作为摆锤半径和质量函数的等高线图。最大周期出现在小质量和大摆锤上。
液体05 00048 g009
液体05 00048 g010 550
图10。(一)在以下情况下，描述摆锤线速度与非量纲时间的曲线图，作为摆动次数（半个完整位移周期） 第页 = 0.015   米 以及各种各样的群众。速度在每次摆动的中心附近达到峰值。这对应于摆锤与垂直方向的角位移约为零。在大多数情况下，从第二次或第三次摆动开始，峰值速度开始呈指数衰减。这可以从峰值速度和摆动之间的线性关系中看出(b条).
图10。(一)在以下情况下，描述摆锤线速度与非量纲时间的曲线图，作为摆动次数（半个完整位移周期） 第页 = 0.015   米 以及各种各样的群众。速度在每次摆动的中心附近达到峰值。这对应于摆锤与垂直方向的角位移约为零。在大多数情况下，从第二次或第三次摆动开始，峰值速度开始呈指数衰减。这可以从峰值速度和摆动之间的线性关系中看出(b条).
液体05 00048 g010
液体05 00048 g011 550
图11。图示指数衰减出现在从第二次摆动开始的峰值速度中。第一次和第二次摆动之间的峰值速度衰减明显大于随后的连续摆动。
图11。图示指数衰减出现在从第二次摆动开始的峰值速度中。第一次和第二次摆动之间的峰值速度衰减明显大于随后的连续摆动。
液体05 00048 g011
液体05 00048 g012 550
图12。与流体中的模拟情况和粘性流体环境外的理论值相比，当摆锤在第一次摆动时达到0度角位移时，比较摆锤速度时，速度下降的百分比。
图12。与流体中的模拟情况和粘性流体环境外的理论值相比，当摆锤在第一次摆动时达到0度角位移时，比较摆锤速度时，速度下降的百分比。
液体05 00048 g012
液体05 00048 g013 550
图13。(一)在以下情况下，各种质量的摆锤线速度与角位移（弧度）的相空间 第页 = 0.001   米 (b条)仔细查看每种情况下最后一个模拟循环的相空间。
图13。(一)在以下情况下，各种质量的摆锤线速度与角位移（弧度）的相空间 第页 = 0.001   米 (b条)仔细查看每种情况下最后一个模拟循环的相空间。
液体05 00048 g013
液体05 00048 g014 550
图14。以下情况下多半径的阻力（N）随时间变化（以秒为单位）(一,d日) 米 = 5 × 10 2   公斤 , (b条,e（电子）) 米 = 1 × 10 三   公斤 、和(c（c）,（f）) 米 = 5 × 10 三   公斤 。半对数数据见(d日–（f）)强调阻力对数与时间之间的线性关系。这种线性关系表明阻力随时间呈指数衰减。
图14。以下情况下多半径的阻力（N）随时间变化（以秒为单位）(一,d日) 米 = 5 × 10 2   公斤 , (b条,e（电子）) 米 = 1 × 10 三   公斤 、和(c（c）,（f）) 米 = 5 × 10 三   公斤 。半对数数据见(d日–（f）)强调阻力对数与时间之间的线性关系。这种线性关系表明阻力随时间呈指数衰减。
液体05 00048 g014
液体05 00048 g015 550
图15。在以下情况下，各种质量的阻力（N）与角位移（弧度）的相空间(一) 第页 = 0.005   米 , (b条) 第页 = 0.015   米 、和(c（c）) 第页 = 0.025   米 特定半径每种情况下的数据似乎重叠，并表明角位移峰值呈指数衰减（参见图7)阻力也呈指数衰减。
图15。在以下情况下，各种质量的阻力（N）与角位移（弧度）的相空间(一) 第页 = 0.005   米 , (b条) 第页 = 0.015   米 、和(c（c）) 第页 = 0.025   米 特定半径每种情况下的数据似乎重叠，并表明角位移峰值呈指数衰减（参见图7)阻力也呈指数衰减。
液体05 00048 g015
液体05 00048 g016 550
图16。(一)回复与时间 米 = 2 × 10 三   公斤 和(b条)描述不同质量和半径的第一次摆动期间的时间平均雷诺数的彩色地图。注意，随着时间的推移，随着摆慢，平均雷诺数将减少。
图16。(一)回复与时间 米 = 2 × 10 三   公斤 和(b条)描述不同质量和半径的第一次摆动期间的时间平均雷诺数的彩色地图。注意，随着时间的推移，随着摆慢，平均雷诺数将减少。
液体05 00048 g016
液体05 00048 g017 550
图17。阻力系数， C类 D类 ，在第一个钟摆第一次摆动时(一)和前4次摆动(b条)对于各种半径的情况 米 = 1 e（电子） 三   公斤 注意，当摆锤在摆动结束时达到接近零速度时，阻力系数最大。(c（c）)所考虑的所有质量和半径情况下第一次摆动的时间平均阻力系数。(d日)第一次挥杆时的时间平均阻力系数的等高线图(c（c）)作为摆锤质量和半径的函数。通常，较大质量和尺寸的摆锤阻力系数较高。
图17。阻力系数， C类 D类 ，在第一个钟摆第一次摆动时(一)和前4次摆动(b条)对于各种半径的情况 米 = 1 e（电子） 三   公斤 注意，当摆锤在摆动结束时达到接近零速度时，阻力系数最大。(c（c）)所考虑的所有质量和半径情况下第一次摆动的时间平均阻力系数。(d日)第一次摆动的时间平均阻力系数等值线图(c（c）)作为摆锤质量和半径的函数。通常，较大质量和尺寸的摆锤阻力系数较高。
液体05 00048 g017
液体05 00048 g018 550
图18。平均阻力系数， C类 D类 ，与各种质量和半径下的平均雷诺数。平均值是在摆锤第一次摆动时计算的。
图18。平均阻力系数， C类 D类 ，与各种质量和半径下的平均雷诺数。平均值是在摆锤第一次摆动时计算的。
液体05 00048 g018
液体05 00048 g019 550
图19。彩色地图（及其轮廓）显示了流体涡度、速度大小和有限时间李雅普诺夫指数（FTLE）的时间演化，以及在以下情况下由摆锤第一次摆动产生的速度场（及其流线） 米 = 5 × 10 2   公斤 和 第页 = 0.0175   米 .
图19。彩色地图（及其轮廓）显示了流体涡度、速度大小和有限时间李雅普诺夫指数（FTLE）的时间演化，以及在以下情况下由摆锤第一次摆动产生的速度场（及其流线） 米 = 5 × 10 2   公斤 和 第页 = 0.0175   米 .
液体05 00048 g019
液体05 00048 g020 550
图20。不同半径摆锤在质量为 米 = 5 × 10 2   公斤 .
图20。不同半径摆锤在质量为 米 = 5 × 10 2   公斤 .
液体05 00048 g020
液体05 00048 g021 550
图21。壳体的涡动力学( 米 , 第页 ) = ( 5 × 10 2   公斤 , 0.0175   米 )在第一个 2   秒 振荡。
图21。案例的涡流动力学( 米 , 第页 ) = ( 5 × 10 2   公斤 , 0.0175   米 )在第一个 2   秒 振荡。
液体05 00048 g021
液体05 00048 g022 550
图22。壳体的涡动力学( 米 , 第页 ) = ( 1 × 10 4   公斤 , 0.005   米 )在第一个振荡周期内的回旋。
图22。壳体的涡动力学( 米 , 第页 ) = ( 1 × 10 4   公斤 , 0.005   米 )在第一个振荡周期内的回旋。
液体05 00048 g022
液体05 00048 g023 550
图23。(一)最小二乘斜率（线性回归）拟合角位移随时间变化的峰值，以计算指数衰减， γ = 负极 b条 2 我 ，适用于 米 = 5 × 10 三 kg箱。(b条–（f）)比较不同质量和半径的FSI和ODE模型随时间的角位移。
图23。(一)最小二乘斜率（线性回归）拟合角位移随时间变化的峰值，以计算指数衰减， γ = 负极 b条 2 我 ，适用于 米 = 5 × 10 三 kg箱。(b条–（f）)比较不同质量和半径的FSI和ODE模型随时间的角位移。
液体05 00048 g023
液体05 00048 g024 550
图24。描述ODE模型从FSI摆的原始角位移而不是第五个峰值开始时的动力学 ( 米 , 第页 ) = ( 5 × 10 2   公斤 , 0.005   米 ) 和 ( 米 , 第页 ) = ( 5 × 10 三   公斤 , 0.015   米 ) 的(一,b条)分别是。指数衰减的可视化也提供了系数 A类 0 原始角位移，或 A类 5 ，第5个峰值的位移。
图24。描述ODE模型从FSI摆的原始角位移而不是第五个峰值开始时的动力学 ( 米 , 第页 ) = ( 5 × 10 2   公斤 , 0.005   米 ) 和 ( 米 , 第页 ) = ( 5 × 10 三   公斤 , 0.015   米 ) 的(一,b条)分别是。还提供了指数衰减的可视化，其中系数为 A类 0 原始角位移，或 A类 5 ，第5个峰值的位移。
液体05 00048 g024
液体05 00048 g025 550
图25。阻尼参数值，b条作为摆锤质量和半径的函数。
图25。阻尼参数值，b条作为摆锤质量和半径的函数。
液体05 00048 g025
表
表1。摆锤研究中使用的几何和流体参数表。
表1。摆锤研究中使用的几何和流体参数表。
参数描述价值
L（左）摆锤长度0.2   米
第页摆锤鲍勃半径 第页 ∈ [ 0.001 , 0.025 ]   米
米质量 米 ∈ [ 2 × 10 2 , 1 × 10 4 ]   公斤
ρ 流体密度1000 公斤 / 米 三
μ 流体（动态）粘度0.01 公斤 / ( 米 · 秒 )
克重力加速度9.81 米 / 秒 2
θ 0 初始角位移 负极 三 π 10 弧度
表
表2。表中提供了特定半径圆壳中拉格朗日点的数量，第页.
表2。表中提供了特定半径圆壳中拉格朗日点的数量，第页.
半径( 米 )0.0010.00250.0050.00750.010.01250.0150.01750.020.02250.025
#滞后。Shell中的点12326496128160194226258290320
表
表3。摆锤研究中使用的数值时间、空间和光纤模型参数表。
表3。摆锤研究中使用的数值时间、空间和光纤模型参数表。
参数描述价值
d日 t吨 时间步长 2.5 × 10 负极 5   秒
L（左） x个 × L（左） 年 网格大小 1   米 × 1   米
( N个 x个 , N个 年 ) 栅格分辨率(1024, 1024)
d日 x个 = d日 年 空间步长 L（左） x个 / N个 x个 = L（左） 年 / N个 年 = 0.0009765625   米
d日 秒 拉格朗日点间距∼ L（左） x个 2 N个 x个
k个 秒 第页 第页 L（左） 弹簧刚度系数（质量到铰链） 1.25 × 10 8 公斤 · 米 / 秒 2
k个 秒 第页 第页 B类 弹簧刚度系数（摆锤Bob） 2.5 × 10 8 公斤 · 米 / 秒 2
k个 t吨 一 第页 克 e（电子） t吨 目标点刚度系数 5 × 10 7 公斤 · 米 / 秒 2
k个 米 一 秒 秒 体量点刚度系数 2.5 × 10 6 公斤 · 米 / 秒 2

分享和引用

MDPI和ACS样式

Mongelli，M。；北卡罗来纳州巴蒂斯塔。美丽的摆动：钟摆、流体、力和计算机。流体 2020,5, 48.https://doi.org/10.3390/fluids5020048

AMA风格

Mongelli M，巴蒂斯塔NA。美丽的摆动：钟摆、流体、力和计算机。流体. 2020; 5(2):48.https://doi.org/10.3390/fluids5020048

芝加哥/图拉比安风格

Mongelli、Michael和Nicholas A.Battista。2020.“美丽的摇摆：钟摆、流体、力和计算机”流体5号，第2号：48。https://doi.org/10.3390/fluids5020048

文章度量标准

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