On a Local Fractional Wave Equation under Fixed Entropy Arising in Fractal Hydrodynamics

Zhang, Yu; Baleanu, Dumitru; Yang, Xiaojun

doi:10.3390/e16126254

开放式访问第条

分形流体力学中固定熵下的局部分数波方程

通过

于章

¹,

杜米特鲁·巴利亚努

^2,3

和

杨晓军

^4,*

¹

华北水利电力大学数学与信息科学学院，郑州450000

²

土耳其安卡拉坎卡亚大学艺术与科学学院数学与计算机科学系TR-06530

^三

罗马尼亚布加勒斯特-马古雷空间科学研究所077125

⁴

中国矿业大学数学与力学系，徐州221008

^*

信件应寄给的作者。

熵 2014,16(12), 6254-6262;https://doi.org/10.3390/e16126254

收到的提交文件：2014年10月20日/修订日期：2014年11月20日/接受日期：2014年11月24日/发布日期：2014年11月28日

（本条属于本节复杂性)

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摘要

:

本文基于固定熵，讨论了分形流中的绝热状态方程。利用分形流体力学中压力和密度的非微分扰动，得到了速度势的局部分数阶波动方程。

关键词：

波动方程;熵;分形;局部分数向量演算;流体动力学

1.简介

经典波动方程[1]是声学、引力、化学、地球物理、电磁学和流体力学领域中一个重要的偏微分方程。有一些物理波类型，例如声波、化学波、电磁波、引力波、地震波、交通流波和水波。声波在介质中传播的描述已被广泛研究；参见示例[2,三]. 化学波理论是在年发展起来的[4,5]. Rice报道了电磁波[6]和史密斯等。[7]. 引力波的数学模型可以在[8,9]，地球物理学中的地震波理论在[10,11]. 分析了交通流的运动波[12–14]，中报告了水波中的波传播分析[15–17].

最近，分数阶微积分理论在物理和工程领域成功地找到了许多应用[18,19]. 利用分数波动方程描述了具有可微项的振动弦的波动方程的一些关键特性；参见[20–24]以及其中的参考文献。考虑分形介质的场方程来描述流体动力学[25]，电磁[26]和磁流体力学[27]非整数维空间的流动行为和广义Navier–Stokes方程[28]; 另请参见[29–31].

参考文献首次提出了定义在康托集上的分形介质连续介质力学框架[32,33]. 与前者不同，局部分数向量演算用于研究数学物理中产生的偏微分方程[34–37]. 为了回顾这个主题，我们让读者参考结果[38–41]. 应用局部分数波动方程，给出了具有不可微项的振动弦波动方程的分形特征[42–44]浅水表面的分形波[45]. 本文的目的是研究流体力学中产生的固定熵下的线性和非线性波动方程。本文的结构如下。第二节介绍了局部分数向量演算的基本理论。第三节介绍了流体力学中的局部分数阶线性波动方程。第四节提出了局部分数阶非线性波动方程。最后，第5节是主要结论。

2.局部分数向量演算

在本节中，局部分数向量导数和积分的一些定义[26–28]介绍了手稿中出现的。

尺度函数的局部分数梯度φ是[36]以下为：

\nabla^{α} φ = \underset{d日 {V（V）}^{(γ)} \to 0}{林} (\frac{1}{d日 {V（V）}^{(γ)}} \underset{{S公司}^{(β)}}{∯} φ d日 {S公司}^{(β)}),

(1)

哪里S公司⁽^β⁾是其边界分形曲面V（V）是一个小的分形体P（P），局部分数曲面积分由下式给出[34–37]以下为：

\int \int u个 ({第页}_{P（P）}) d日 {S公司}^{(β)} = \underset{N个 \to \infty}{林} \sum_{P（P） = 1}^{N个} u个 ({第页}_{P（P）}) {n个}_{P（P）} Δ {S公司}_{第页}^{(β)},

（2）

具有N个具有单位法向局部分数向量的面积元n个_P（P）,

Δ {S公司}_{P（P）}^{(β)} \to 0

作为N→∞对于

γ = \frac{三}{2} β = 三 α

.

向量函数u的局部分数散度通过以下公式定义[36]以下为：

\nabla^{α} • u个 = \underset{d日 {V（V）}^{(γ)} \to 0}{林} (\frac{1}{d日 {V（V）}^{(γ)}} \underset{{S公司}^{(β)}}{∯} u个 • d日 {S公司}^{(β)}),

(3)

其中局部分数曲面积分由下式给出[34–36]以下为：

\int \int u个 ({第页}_{P（P）}) \cdot d日 {S公司}^{(β)} = \underset{N个 \to \infty}{林} \sum_{P（P） = 1}^{N个} u个 ({第页}_{P（P）}) \cdot {n个}_{P（P）} Δ {S公司}_{P（P）}^{(β)},

(4)

具有N个具有单位法向局部分数向量的面积元n个_P（P）,

Δ {S公司}_{P（P）}^{(β)} \to 0

作为N→∞对于

γ = \frac{三}{2} β = 三 α

.

3.局部分数阶线性波动方程

在本节中，我们讨论了固定熵下的局部分数线性波动方程。让我们考虑在理想流体中产生的流体动力学方程。

分形流的质量守恒方程[36,37]以下为：

\frac{\partial^{α} ρ}{\partial {t吨}^{α}} + \nabla^{α} \cdot σ = 0,

（5）

其中分形密度表示ρ(x、吨)分形通量表示σ(x、 t吨) =ρ(x、 t吨)υ(x、 t吨).

康托集上的柯西流动方程建议如下：[37]

ρ \frac{天^{α} v（v）}{天 {t吨}^{α}} = - \nabla^{α} 第页 (ρ) + ρ b条,

(6)

哪里

\frac{天^{α} υ}{天 {t吨}^{α}} = \frac{\partial^{α} υ}{\partial {t吨}^{α}} + υ \cdot \nabla^{α} υ

.

发件人(6)，正在生成b条=0和+^αυ=0，流体力学中出现的线性局部分数欧拉方程建议如下：

ρ \frac{\partial^{α} υ}{\partial {t吨}^{α}} + \nabla^{α} 第页 (ρ) = 0

(7)

我们给出了流体动力学压力和密度的小扰动，即，

第页 = {第页}_{0} + \tilde{第页},

(8)

ρ = ρ_{0} + \tilde{ρ} .

(9)

使用（5）,(7),(8)和(9)，我们得到：

\frac{\partial^{α} \tilde{ρ}}{\partial {t吨}^{α}} + \nabla^{一} \cdot σ = 0,

(10)

和

ρ_{0} \frac{\partial^{α} υ}{\partial {t吨}^{α}} + \nabla^{一} \tilde{第页} (ρ) = 0,

(11)

其中分形流中的绝热状态方程如下所示：

第页 (第页, t吨) = {第页}_{0} + \frac{{\tilde{ρ}}^{α} (第页, t吨)}{Γ (1 + α)} {[\frac{\partial^{α} 第页}{\partial ρ^{α}}]}_{秒} + O（运行） (ρ^{α}),

(12)

具有恒定熵秒.

定义数量：

{c（c）}^{2} = {[\frac{\partial^{α} 第页}{\partial ρ^{α}}]}_{秒},

(13)

然后从(12)，我们有：

第页 (第页, t吨) = {第页}_{0} + \frac{{\tilde{ρ}}^{α} (第页, t吨)}{Γ (1 + α)} {c（c）}^{2} + O（运行） (ρ^{α}) .

(14)

因此，分形流中的线性方程如下：

\frac{\partial^{α} \tilde{ρ}}{\partial {t吨}^{α}} + ρ_{0} \nabla^{α} \cdot υ = 0,

(15)

ρ_{0} \frac{\partial^{α} υ}{\partial {t吨}^{α}} + \nabla^{α} \tilde{第页} (ρ) = 0,

(16)

\tilde{第页} = \tilde{ρ} {c（c）}^{2}

(17)

以下(15)和(16)，我们得到：

\frac{\partial^{α}}{\partial {t吨}^{α}} (\frac{\partial^{α} \tilde{ρ}}{\partial {t吨}^{α}} + ρ_{0} \nabla^{α} \cdot υ) = \nabla^{α} \cdot (ρ_{0} \frac{\partial^{α} υ}{\partial {t吨}^{α}} + \nabla^{α} \tilde{第页} (ρ)),

(18)

这将导致：

\frac{\partial^{2 α} \tilde{ρ}}{\partial {t吨}^{2 α}} = \nabla^{2 α} \tilde{第页} (ρ),

(19)

其中+²^α= ∇^α·∇^α[36,37].

正在提交(17)进入之内(19)给出了局部分数阶波动方程：

\nabla^{2 α} \tilde{第页} (ρ) - \frac{1}{{c（c）}^{2}} \frac{\partial^{2 α} \tilde{第页}}{\partial {t吨}^{2 α}} = 0

(20)

如果密度ρ不独立于t吨，则我们得到局部分数波方程：

ρ \nabla^{α} \cdot (\frac{1}{ρ} \nabla^{α} 第页) - \frac{1}{{c（c）}^{2}} \frac{\partial^{2 α} 第页}{\partial {t吨}^{2 α}} = 0

(21)

颗粒速度的局部分数波方程也建议如下：

\frac{1}{ρ} \nabla^{α} ({c（c）}^{2} ρ \nabla^{α} \cdot υ) - \frac{\partial^{2 α} υ}{\partial {t吨}^{2 α}} = 0,

（22）

或

\nabla^{α} ({c（c）}^{2} \nabla^{α} \cdot υ) - \frac{\partial^{2 α} υ}{\partial {t吨}^{2 α}} = 0

（23）

定义局部分数速度势：

υ = \nabla^{α} φ .

(24)

正在提交(24)进入之内（23），我们得到：

\nabla^{α} ({c（c）}^{2} \nabla^{2 α} φ - \frac{\partial^{2 α} φ}{\partial {t吨}^{2 α}}) = 0,

(25)

它简化为速度势的局部分数波方程：

{c（c）}^{2} \nabla^{2 α} φ - \frac{\partial^{2 α} φ}{\partial {t吨}^{2 α}} = 0

（26）

对于一端固定的半无限分形弦，一维情况下的局部分数线性波动方程可以写成[43,44]以下为：

\frac{\partial^{2 α} φ}{\partial {x个}^{2 α}} - \frac{\partial^{2 α} φ}{\partial {t吨}^{2 α}} = 0,

(27)

初始值条件：

φ (0, t吨) = γ (t吨), \frac{\partial^{α} φ}{\partial {t吨}^{α}} = κ (t吨),

(28)

以及边值条件：

u个 (x个, 0) = （f） (x个), \frac{\partial^{α} u个 (x个, 0)}{\partial {x个}^{α}} = 克 (x个) .

(29)

4.局部分数阶非线性波动方程

在这一节中，我们提出了分形流体力学中产生的固定熵下的局部分数阶非线性波动方程。

鉴于(6)，正在生成b条=0，局部分数欧拉方程表示为：

ρ \frac{\partial^{α} υ}{\partial {t吨}^{α}} + \nabla^{α} 第页 (ρ) + ρ υ \cdot \nabla^{α} υ = 0

(30)

绝热状态方程如下：

\begin{array}{l} 第页 (第页, t吨) \\ = {第页}_{0} + \frac{{\tilde{ρ}}^{α} (第页, t吨)}{Γ (1 + α)} {[\frac{\partial^{α} 第页}{\partial ρ^{α}}]}_{秒} + \frac{{\tilde{ρ}}^{2 α} (第页, t吨)}{Γ (1 + 2 α)} {[\frac{\partial^{2 α} 第页}{\partial ρ^{2 α}}]}_{秒} + O（运行） (ρ^{2 α}) \\ = {第页}_{0} + \frac{{\tilde{ρ}}^{α} (第页, t吨)}{Γ (1 + α)} {c（c）}^{2} + \frac{2 c（c） {\tilde{ρ}}^{2 α} (第页, t吨)}{Γ (1 + 2 α)} {[\frac{\partial^{α} c（c）}{\partial ρ^{α}}]}_{秒} + O（运行） (ρ^{2 α}) \\ \approx {第页}_{0} + \frac{{\tilde{ρ}}^{α}}{Γ (1 + α)} {c（c）}^{2}, \end{array}

(31)

哪里秒是固定熵，分形声音在理想流体中的速度为：

c（c） = \sqrt{{[\frac{\partial^{α} 第页}{\partial ρ^{α}}]}_{秒}} .

(32)

发件人(6)和(30)，我们得到：

\frac{\partial^{α}}{\partial {t吨}^{α}} [\frac{\partial^{α} \tilde{ρ}}{\partial {t吨}^{α}} + \nabla^{α} \cdot (ρ υ)] = \nabla^{α} \cdot (ρ \frac{\partial^{α} υ}{\partial {t吨}^{α}} + \nabla^{α} 第页 (ρ) + ρ υ \cdot \nabla^{α} υ),

(33)

这是指：

\frac{\partial^{2 α} \tilde{ρ}}{\partial {t吨}^{2 α}} + \nabla^{α} \cdot [\frac{\partial^{α} (ρ υ)}{\partial {t吨}^{α}}] = \nabla^{α} \cdot (ρ \frac{\partial^{α} υ}{\partial {t吨}^{α}} + \nabla^{α} 第页 (ρ) + ρ υ \cdot \nabla^{α} υ),

(34)

利用(34)，我们提供：

\frac{\partial^{2 α} \tilde{ρ}}{\partial {t吨}^{2 α}} + \nabla^{α} \cdot (\frac{ρ \partial^{α} υ}{\partial {t吨}^{α}} + \frac{υ \partial^{α} ρ}{\partial {t吨}^{α}}) = \nabla^{α} \cdot (ρ \frac{\partial^{α} υ}{\partial {t吨}^{α}} + \nabla^{α} 第页 (ρ) + ρ υ \cdot \nabla^{α} υ),

(35)

这导致：

\frac{\partial^{2 α} \tilde{ρ}}{\partial {t吨}^{2 α}} + \nabla^{α} \cdot [\frac{υ \partial^{α} ρ}{\partial {t吨}^{α}}] = \nabla^{α} \cdot (\nabla^{α} 第页 (ρ) + ρ υ \cdot \nabla^{α} υ) .

(36)

设置：

\nabla^{α} \cdot [\frac{υ \partial^{α} ρ}{\partial {t吨}^{α}}] = 0,

(37)

从(36)，我们得到：

\frac{\partial^{2 α} \tilde{ρ}}{\partial {t吨}^{2 α}} = \nabla^{α} \cdot (\nabla^{α} 第页 (ρ) + ρ υ \cdot \nabla^{α} υ) .

（38）

鉴于（5），我们写（38）作为：

\frac{\partial^{2 α} \tilde{ρ}}{\partial {t吨}^{2 α}} = \nabla^{2}^{α} 第页 + \nabla^{2}^{α} (ρ υ \cdot υ) .

(39)

使用(31)，我们有：

\nabla^{2}^{α} 第页 = \nabla^{2}^{α} ({第页}_{0} + \frac{{\tilde{ρ}}^{α}}{Γ (1 + α)} {c（c）}^{2}),

(40)

这将导致：

\nabla^{2}^{α} 第页 = \nabla^{2}^{α} (\frac{{c（c）}^{2}}{Γ (1 + α)} {\tilde{ρ}}^{α}) .

(41)

鉴于(39)，我们写道：

\nabla^{2}^{α} (ρ υ \cdot υ) \approx \frac{1}{ρ_{0}} \nabla^{2}^{α} {c（c）}^{2} ({\tilde{ρ}}^{2 α}) .

(42)

发件人(39)，我们得到：

\frac{\partial^{2 α} \tilde{ρ}}{\partial {t吨}^{2 α}} = \nabla^{2 α} (\frac{{c（c）}^{2}}{Γ (1 + α)} {\tilde{ρ}}^{α}) + \frac{1}{ρ_{0}} \nabla^{2 α} {c（c）}^{2} ({\tilde{ρ}}^{2 α}),

(43)

制作

ϕ = \frac{{\tilde{ρ}}^{α}}{ρ_{0}}

，来自(39)，我们有：

ρ_{0} \frac{\partial^{2 α} ϕ}{\partial {t吨}^{2 α}} = ρ_{0} \nabla^{2 α} {c（c）}^{2} (\frac{ϕ}{Γ (1 + α)} + ϕ^{2}),

(44)

它简化为局部分数阶非线性波动方程：

\frac{\partial^{2 α} ϕ}{\partial {t吨}^{2 α}} = \nabla^{2 α} {c（c）}^{2} (\frac{ϕ}{Γ (1 + α)} + ϕ^{2}) .

(45)

如果分形维数α那么是1(45)可以写为：[46]

\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial {t吨}^{2}} = \nabla^{2} {c（c）}^{2} (ϕ + ϕ^{2}) .

(46)

局部分数阶非线性波动方程(45)可以写为：

\frac{\partial^{2 α} ϕ}{\partial {t吨}^{2 α}} = η \nabla^{2 α} ϕ + μ ϕ \nabla^{2 α} ϕ,

(47)

哪里

η = \frac{{c（c）}^{2}}{Γ (1 + α)}

和μ= 2c（c）².

以下(47)，我们得到了一维情况下的局部分数阶非线性波动方程：

\frac{\partial^{2 α} ϕ}{\partial {t吨}^{2 α}} = η \frac{\partial^{2 α} ϕ}{\partial {x个}^{2 α}} + μ ϕ \frac{\partial^{2 α} ϕ}{\partial {x个}^{2 α}}

(48)

根据初始边界值条件：

ϕ (0, t吨) = γ (t吨), \frac{\partial^{α} ϕ}{\partial {t吨}^{α}} = κ (t吨),

(49)

ϕ (x个, 0) = （f） (x个), \frac{\partial^{α} ϕ (x个, 0)}{\partial {x个}^{α}} = 克 (x个) .

(50)

5.结论

本文利用分形流体力学中压力和密度的非微分扰动，通过局部分数向量演算，导出了流体力学中的线性和非线性波动方程；得到了定熵下速度势的局部分数阶线性和非线性波动方程，并讨论了一维情况下的局部分数线性和非线性波方程。

致谢

作者谨感谢裁判的宝贵意见和评论。

作者贡献

所有作者对这部作品的计算和解释贡献均等。所有作者都已阅读并批准了最终手稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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Zhang，Y。；巴利亚努，D。；X·杨。分形流体力学中固定熵下的局部分数阶波动方程。熵 2014,16, 6254-6262.https://doi.org/10.3390/e16126254

AMA风格

张毅，巴利亚努D，杨欣。分形流体力学中固定熵下的局部分数阶波动方程。熵. 2014; 16(12):6254-6262.https://doi.org/10.3390/e16126254

芝加哥/图拉宾风格

张，余，杜米特鲁·巴利亚努，杨晓军。2014.“分形流体动力学中产生的固定熵下的局部分数波方程”熵第16页，第12页：6254-6262。https://doi.org/10.3390/e16126254

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分形流体力学中固定熵下的局部分数波方程

摘要

1.简介

2.局部分数向量演算

3.局部分数阶线性波动方程

4.局部分数阶非线性波动方程

5.结论

致谢

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