Distances in Probability Space and the Statistical Complexity Setup

Kowalski, Andres M.; Martín, Maria Teresa; Plastino, Angelo; Rosso, Osvaldo A.; Casas, Montserrat

doi:10.3390/e13061055

开放式访问第条

概率空间中的距离与统计复杂性设置

¹

阿根廷拉普拉塔国立大学（UNLP）费西卡学院（Facultad de Ciencias Exactas），C.C.7271900拉普拉塔

²

阿根廷布宜诺斯艾利斯拉普拉塔1900年Calle 526 entre 10 y 11 Científicas调查委员会（CICPBA）

^三

阿根廷布宜诺斯艾利斯1917年利瓦达维亚国家调查委员会（CONICET）

⁴

佛罗里达州米纳斯基拉斯联邦大学考试研究所费西卡部。António Carlos，6627，Pampulha校区，31270-901 Belo Horizonte，MG，巴西

⁵

阿根廷布宜诺斯艾利斯市奥托诺马市巴贝隆二世布宜诺斯艾大学科学与自然学院恰库洛研究所混沌与生物小组，1428

⁶

西班牙马略卡岛帕尔马07122巴利阿里群岛大学IFISC-CSIC

^*

应向其寄送信件的作者。

熵 2011,13(6), 1055-1075;https://doi.org/10.3390/e13061055

收到的意见：2011年4月11日/接受日期：2011年5月27日/发布日期：2011年6月3日

（本文属于特刊信息与统计物理中的距离第二卷)

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版本注释

摘要

:

统计复杂性度量（SCM）由两个成分组成：（i）熵和（ii）概率空间中的距离。因此，SCM可以同时量化所研究系统中的随机性和相关结构。在这篇综述中，我们讨论了SCM结构背后的重要主题，即.，（a）概率度量空间的良好选择，以及（b）如何评估最佳距离选择，在本文中称为“不平衡”，用字母表示

问

.

问

事实上，SCM的关键成分是以相关距离来衡量的

天

由于输出数据由时间序列组成，我们还讨论了从时间序列中提取概率分布的最佳方法P（P）作为一个例子，我们展示了这些问题是如何影响量子力学经典极限的描述的。

关键词：

广义统计复杂性;不平衡;信息论;概率分布的选择;半经典理论;量子混沌

PACS系统：

05.45.Tp（时间序列分析）；03.65.Sq（半经典理论与应用）；05.45.Mt（量子混沌；半经典方法）

1.统计复杂性度量

在这篇综述中，我们讨论了概率空间中的距离作为统计复杂性度量的组成部分，在描述量子经典（QC）跃迁的动力学中所起的作用。我们选择了一个非常著名的模型作为试验场，多年来，该模型的物理特性一直受到人们的关注。QC转换的细节已经在一系列出版物中进行了阐述，其中解决了相关的运动方程[1,2,三,4]. 我们的统计摘要包括参考文献[5,6,7]. 我们在此回顾这三项工作，以确定统计因素在描述动态特征时的有用性。为什么这很重要？因为（i）通常，统计方法比求解运动方程更容易实现，（ii）在许多情况下，它们提供了处理其他棘手问题的唯一方法。

1.1. 概念的含义

复杂性意味着一种事物的状态，人们在面对它时很容易理解；然而，在物理学中，尽管复杂性的定量表征受到了相当大的关注，但对于复杂性的正确定义并没有普遍的共识。在过去的二十年中，人们提出了几种复杂性度量及其评估方法，这些度量涵盖了复杂系统的各个方面，并基于数据压缩算法、最佳可预测性、递归图、符号分析、小波分析等[8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18]. P.Grassberger在定义复杂性方面做出了重要贡献[19]与系统动力学产生的模式有关。最复杂的情况不是香农信息最多的情况S公司（随机结构）或最低S公司（有序结构）。因此，在格拉斯伯格（Grassberger）的观点中，复杂性由有序与无序、规则性与随机性的混合表示（有关图形示例，请参见[10])。

我们可以从排除那些当然不复杂的过程开始，比如那些表现出周期性运动的过程。此外，一个纯粹的随机过程也不能被认为是复杂的，尽管它具有不规则和不可预测的特性，因为它不包含任何非平凡的模式结构。复杂性的特征通常是由相对简单的系统产生的复杂动力学的矛盾情况。显然，如果系统本身已经足够复杂，并且由许多不同的部分组成，那么它显然可以支持相当复杂的动力学，但可能不会出现典型的特征模式[20]. 因此，一个复杂的系统不一定会产生复杂的输出。在前面的上下文中，我们将“复杂性”理解为一个与隐藏在动力学中的模式化结构相关的概念，它是从一个本身可能比它生成的动力学简单得多的系统中产生的[20]. “统计复杂性”于是成为隐藏“顺序”的一种指标。

1.2. 信息措施

信息度量

我

主要可以看作是表征给定概率分布的一个量。

我 [P（P）]

被视为与概率分布所描述的物理过程相关的不确定性的度量

P（P） = {{第页}_{j个}, j个 = 1, \cdot, N个}

，带有N个正在研究的系统的可能状态数。从现在开始，我们假设对表示系统状态的PDF的唯一限制是

\sum_{j个 = 1}^{N个} {第页}_{j个} = 1

（微符号表示）。如果

我 [P（P）] = 我_{米 我 n个} = 0

我们可以肯定地预测N个可能的结果实际上会发生。在这种情况下，我们对概率分布所描述的潜在过程的了解是最大的。另一方面，如果

我 [P（P）] = 我 [{P（P）}_{e（电子）}] \equiv 我_{米 一 x个}

;

{P（P）}_{e（电子）} = {{第页}_{我} = 1 / N个; \forall 我}

,

{P（P）}_{e（电子）}

均匀分布。这两种极端情况（i）最大预见（“完美秩序”）和（ii）在某种意义上，最大无知（或最大“随机性”）可以被视为“微不足道”的无知。我们为给定的概率分布定义P（P）及其相关信息测度

我 [P（P）]

，一定程度的“无序”

H（H）

时尚

H（H） [P（P）] = 我 [P（P）] / 我_{米 一 x个}

(1)

我们这样做了

0 \leq H（H） \leq 1

.

遵循Shannon Kinchin范式，我们定义

我

就熵而言。特别是，在目前的工作中，我们仅限于统计力学的规范公式（玻尔兹曼-吉布斯公式）。然而，扩展到其他熵公式，如Renyi公式和Tsallis公式，无需过度努力（参见即,18,21])。因此，对于

P（P） \equiv {{第页}_{我}, 我 = 1, \cdot, N个}

离散分布，我们定义无序

H（H）

时尚

H（H） [P（P）] = S公司 [P（P）] / S公司 [{P（P）}_{e（电子）}]

(2)

是

S公司 [P（P）]

表示Shannon的对数熵，由

S公司 [P（P）] = - \sum_{j个 = 1}^{N个} {第页}_{j个} 在 ({第页}_{j个})

(3)

和

S公司 [{P（P）}_{e（电子）}] = 在 N个

.

1.3. 距离和统计复杂性度量

统计复杂性度量（SCM）不能仅从“无序”或“信息”的角度来定义。一个合适的SCM需要使用一些距离

天

给定的P（P）均匀分布

{P（P）}_{e（电子）}

系统的可访问状态[11,16,17]. 这促使引入一种特殊的距离形式，即所谓的“非均衡距离”

问 [P（P）] = 问_{0} \cdot 天 [P（P）, {P（P）}_{e（电子）}]

(4)

哪里

问_{0}

是归一化常数(

0 \leq 问 \leq 1

)其值等于距离最大可能值的倒数

天 [P（P）, {P（P）}_{e（电子）}]

。当P（P），说吧

{第页}_{米}

，等于1，其余分量等于零。非均衡距离

问

将反映系统的“架构”，如果在可访问的状态中存在“特权”或“更可能”的状态，则与零不同。

因此，我们为最初由López-Ruiz、Mancini和Calbet（LMC）介绍的SCM采用了以下功能产品形式[11]

C类 [P（P）] = H（H） [P（P）] \cdot 问 [P（P）]

(5)

根据我们对系统的统计描述，这个数量反映了在给定的“尺度”下，系统中存储的信息量与其不平衡（可访问状态的观察部分之间的概率层次的度量）之间存在的微妙相互作用[11]. 特别是，正如我们将在这项工作中显示的那样，复杂动力学可以用这种SCM来表征，其中有几个状态共存，即混沌、稳定岛，甚至既非混沌也非周期的曲线。

至于度量及其诱导距离

天

套房

问

根据定义，人们面临着各种各样的选择。这几种距离形式为SCM提供了多种可能性。最近，为了避免这种多重性，仅使用熵来描述每个细胞（或状态）的复杂行为的熵描述符(

S公司

)，其最大值(

{S公司}_{米 一 x个}

)和最小值(

{S公司}_{米 我 n个}

)已引入[22]. 这项工作主要集中于表征二值和灰度模式的多尺度复杂性。这种熵描述符也可用于重建微观结构细节[23].

对于

{P（P）}_{我} \equiv {{第页}_{1}^{(我)}, \cdot, {第页}_{N个}^{(我)}}

，带有

我 = 1, 2

离散概率分布，我们将这里的考虑限制为[18,21]:

（a）: 欧几里德范数 $天_{E类}$ 在里面 ${R（右）}^{N个}$ [11]:
这是距离的“自然”选择（最简单的选择） $天$ .我们有

$天_{E类} [{P（P）}_{1}, {P（P）}_{2}] = {∥ {P（P）}_{1} - {P（P）}_{2} ∥}_{E类}^{2} = \sum_{j个 = 1}^{N个} {\{{第页}_{j个}^{(1)} - {第页}_{j个}^{(2)}\}}^{2}$

（6）

这是López-Ruiz、Mancini和Calbet（LMC-复杂性度量）提出的复杂性度量的非均衡形式[11])。伍特斯在一次富有启发性的交流中批评了这种直截了当的距离定义[24]因为，在使用欧几里德范数时，人们忽略了这样一个事实，即我们处理的是概率分布的空间，因此忽略了分布的随机性P（P）.
（b）: 伍特斯距离 $天_{W公司}$ [16,24]:
“统计距离”的概念起源于量子力学背景。人们主要用它来区分给定量子态的不同制备，更一般地说，是为了确定两个这样的态之间的差异程度。伴随的考虑是固有的统计性质，该概念可以应用于“任何”概率空间[24]. 这个距离概念的主要思想是充分考虑任何有限样本固有的统计波动。由于相关的统计误差，各种可能结果的观察发生频率通常与实际概率有所不同，结果是，在给定的固定试验次数中，如果实际概率之间的差异小于典型波动的大小，则两种准备是无法区分的[24].

$天_{W公司} [{P（P）}_{1}, {P（P）}_{2}] = {余弦}^{- 1} \{\sum_{j个 = 1}^{N个} {({第页}_{j个}^{(1)})}^{1 / 2} \cdot {({第页}_{j个}^{(2)})}^{1 / 2}\}$

(7)

跟随Basseville[25]从熵的泛函出发，可以建立两个散度类。第一类包括定义为相对熵的发散，而第二类涉及定义为熵差的发散。我们有几种可能性。

（c）: Kullbak-Leibler相对熵 $天_{K}$ [18,26]:
相对熵 ${P（P）}_{1}$ 关于 ${P（P）}_{2}$ 与香农测度相关联的是相对Kullbak-Leibler香农熵，在离散情况下，该熵为

$天_{K} [{P（P）}_{1}, {P（P）}_{2}] = K [{P（P）}_{1} | {P（P）}_{2}] = \sum_{j个 = 1}^{N个} {第页}_{j个}^{(1)} 日志 (\frac{{第页}_{j个}^{(1)}}{{第页}_{j个}^{(2)}})$

(8)

现在考虑概率分布P（P）和均匀分布 ${P（P）}_{e（电子）}$ 。这两个分布之间的距离，以Kullback-Leiber Shannon项表示，将为

$天_{K} [P（P）, {P（P）}_{e（电子）}] = K [P（P） | {P（P）}_{e（电子）}] = S公司 [{P（P）}_{e（电子）}] - S公司 [P（P）]$

(9)
（d）: 延森发散 $天_{J}$ [17,18]:
一般来说，熵差 $S公司 [{P（P）}_{1}] - S公司 [{P（P）}_{2}]$ 不定义信息增益（或散度），因为差异不一定是正定的。还需要其他东西。Jensen散度是一个重要的例子，它是Kullback-Leibler相对熵的对称版本，根据Shannon熵可以写为：

$\begin{matrix} 天_{J} [{P（P）}_{1}, {P（P）}_{2}] & = & J_{S公司} [{P（P）}_{1}, {P（P）}_{2}] = {K [{P（P）}_{1} | {P（P）}_{2}] + K [{P（P）}_{2} | {P（P）}_{1}]} / 2 \\ = & S公司 [\frac{{P（P）}_{1} + {P（P）}_{2}}{2}] - S公司 [{P（P）}_{1}] / 2 - S公司 [{P（P）}_{2}] / 2 \end{matrix}$

(10)

Jensen-Shannon发散验证了以下属性

$\begin{matrix} (我) & J_{S公司} [{P（P）}_{1}, {P（P）}_{2}] & \geq 0 \end{matrix}$

(11)

$\begin{matrix} (ii（ii）) & J_{S公司} [{P（P）}_{1}, {P（P）}_{2}] & = J_{S公司} [{P（P）}_{2}, {P（P）}_{1}] \end{matrix}$

（12）

$\begin{matrix} (三) & J_{S公司} [{P（P）}_{1}, {P（P）}_{2}] & = 0 ́ {P（P）}_{2} = {P（P）}_{1} \end{matrix}$

(13)

此外，它的平方根满足三角形不等式

$(iv（四）) {(J_{S公司} [{P（P）}_{1}, {P（P）}_{2}])}^{1 / 2} + {(J_{S公司} [{P（P）}_{2}, {P（P）}_{三}])}^{1 / 2} = {(J_{S公司} [{P（P）}_{1}, {P（P）}_{三}])}^{1 / 2}$

（14）

这意味着Jensen-Shannon散度的平方根是一个度量[27]. 还要注意，它是根据熵定义的，因此，它是热力学意义上的一个广泛的量。因此，相应的统计复杂性也将是一个密集的数量。

在LMC功能产品形式的基础上，我们获得了刚刚列举的四种不同不平衡中每一种的SCM系列，即：，

{C类}^{(ν)} [P（P）] = H（H） [P（P）] \cdot 问_{ν} [P（P）]

(15)

索引

ν = E类, W公司, K, J

告诉我们，非平衡距离将使用适当的距离度量进行评估（分别是欧几里德、伍特斯、库尔贝克-莱布勒和詹森-萨农）。

值得注意的是

ν = K

SCM系列成为

{C类}^{(K)} [P（P）] = H（H） [P（P）] \cdot 问_{K} [P（P）] = H（H） [P（P）] \cdot (1 - H（H） [P（P）])

(16)

这就是Shiner、Davison和Landsberg提出的广义函数形式[13]对于SCM。有人可能会提出异议，认为这种供应链管理只是熵的简单函数。因此，它可能不包含相对于秩序度量的新信息。这种反对意见在[28,29,30].

我们强调，这个家庭的其余成员

{C类}^{(ν}

(

ν = E类, W公司, J

)不是简单的熵函数，因为它们取决于两个不同的概率分布，一个与所分析的系统相关，P（P），以及均匀分布

{P（P）}_{e（电子）}

此外，已经证明，对于给定的

H（H）

值，则存在一系列可能的SCM值，从最小值开始

{C类}_{米 我 n个}

达到最大值

{C类}_{米 一 x个}

.评估

{C类}^{(ν)}

因此，根据相关概率分布的特性产生新的信息。获取边界的一般过程

{C类}_{米 我 n个}

和

{C类}_{米 一 x个}

对应于广义

{C类}^{(ν)} = H（H） \cdot 问_{ν}

-家庭被赋予[31]. 因此，很明显，通过评估统计复杂性，可以提供与物理系统组件之间的相关性结构相关的重要附加信息。

1.4. 时间演变

在统计力学中，人们通常对具有初始、任意和离散概率分布的孤立系统感兴趣。我们将向均衡发展描述为压倒一切的目标。在平衡状态下，我们可以认为，在不失一般性的情况下，这种状态是由均匀分布给出的

{P（P）}_{e（电子）}

为了研究供应链管理的时间演变

C类

与时间相对t吨然后可以使用。但是，正如我们所知，热力学第二定律指出，在孤立系统中，熵随时间单调增长(

d日 H（H） / d日 t吨 \geq 0

) [32]. 这意味着

H（H）

可以看作是时间的箭头，因此研究SCM时间演变的等效方法是绘制

C类

与

H（H）

这样，归一化熵轴就代替了时间轴。这种图表

H（H） \times C类

还用于研究由某些特征参数修改引起的系统动力学变化（例如，参见[11,18,21,33]以及其中的参考文献）。

1.5的规定。其他问题

如前所述，如果

ν = E类

我们恢复了López-Ruiz、Mancini和Calbet（LMC）最初给出的统计复杂性度量定义[11]. 克拉奇菲尔德及其同事指出了这一点[12]LMC指标被我们下面列出的一些麻烦特征所破坏：

(1): 它既不是一个密集的量，也不是一个广泛的量。
(2): 对于所有一维、有限范围的系统，它在热力学极限下呈指数级消失。

上述作者强烈主张，合理的供应链管理应该

(3): 能够区分不同程度的周期性；
(4): 只为统一周期而消失。

最后，考虑到LMC度量充分捕获基本动力学方面的能力，也遇到了一些困难[34].

广义SCM的产品功能形式使其无法克服上述第二个缺陷。在以前的工作中，我们已经表明，在对非平衡距离的定义进行了一些适当的更改后，可以利用Wootters距离[16]或詹森的分歧[17]，可以获得广义SCM，即：

（i）: 能够掌握动力学的基本细节(即、混乱、间歇等）
（ii）: 能够区分不同程度的周期性，以及
（iii）: 如果使用Jensen散度，则为密集量。

2.选择PDF的方法

评估先前的信息量词（熵和广义统计复杂性度量）的一个重要点是正确确定潜在的概率分布函数（PDF）P（P），与给定的动力系统或时间序列相关

S公司 (t吨) = {{x个}_{t吨}; t吨 = 1, \cdot, M（M）}

这一经常被忽视的问题作为概率分布值得认真考虑P（P）样本空间Ω是密不可分的。

为了正确选择概率空间，已经提出了许多方案

(Ω, P（P）)

我们可以提到：（a）频率计数[35]（b）基于振幅统计的程序（直方图）[36]，（c）二进制符号动力学[37]，（d）傅里叶分析[38]和（e）小波变换[39]. 它们的适用性取决于数据的特定特征，例如平稳性、时间序列的长度、参数的变化、噪声污染程度、，等。在所有这些情况下，可以以某种方式捕获动力学的全局方面，但不同的方法在辨别所有相关物理细节的能力上并不相同。还必须承认，上述技术是在相当地特别的fashion和不是直接从所研究系统的动力学特性导出的这可以充分实现，例如，通过使用Bandt-Pompe方法[14].

在目前的工作中，我们使用两种不同的方法来捕获与量子力学经典极限（CLQM）相关的动力学的不同方面，CLQM在这里扮演测试模型的角色。第一种方法被广泛使用并计算P（P）使用振幅直方图。第二种是基于Bandt-Pompe符号化动力学。其主要思想是表明在相应的PDF结构中包含时间因果关系对于准确描述所研究的动力学的重要性。为什么选择量子力学的经典极限来解释这些考虑？因为在这方面，我们将采用一个物理上非常著名的模型（例如，见[三,40,41]，以及其中的参考文献），以便能够非常清楚地描述方法学效果。之前的这类工作是使用逻辑图作为测试设备进行的[21].

2.1. 基于直方图的PDF

为了通过振幅统计提取PDF，间隔

[一, b条]

（与一和b条是时间序列的最小值和最大值

S公司 (t吨) = {{x个}_{t吨}; t吨 = 1, \cdot, M（M）}

)首先被划分为一个有限数

{N个}_{b条 我 n个}

非重叠子区间

{A类}_{我}

:

[一, b条] = ⋃_{我 = 1}^{{N个}_{b条 我 n个}} {A类}_{我}

和

{A类}_{我} ⋂ {A类}_{j个} = \emptyset, \forall 我 \neq j个

然后，根据每个子区间内时间序列值的相对频率，使用通常的直方图方法。

应该清楚的是，生成的PDF缺少关于时间顺序（时间因果关系）的任何信息。我们这里仅有的信息是

{x个}_{t吨} -

允许在给定bin中分配包含的值，忽略它们的时间位置（即子索引我). 请注意N个在方程式中(三)至(16)等于

{N个}_{b条 我 n个}

。让我们还指出，考虑明智选择的最佳值是相关的

{N个}_{b条 我 n个}

（请参见即、德米科等。[36])。

2.2. 基于Bandt和Pompe方法的PDF

使用Bandt和Pompe[14]概率分布的评估方法P（P）与正在研究的时间序列（动力系统）相关，首先要考虑相关的天-有望“揭示”给定一维时间序列序数结构的相关细节的维空间

S公司 (t吨) = {{x个}_{t吨}; t吨 = 1, \cdot, M（M）}

具有嵌入尺寸

天 > 1

和时间延迟τ。在以下内容中

τ = 1

[14]. 我们对顺序的“序数模式”感兴趣天[14,42]由生成

(秒) \mapsto ({x个}_{秒 - (天 - 1)}, {x个}_{秒 - (天 - 2)}, \cdot, {x个}_{秒 - 1}, {x个}_{秒})

(17)

每次分配给秒这个天-时间值的维向量

秒, 秒 - 1, \cdot, 秒 - (天 - 1)

显然，越大

天 -

值，将有关过去的更多信息合并到我们的向量中。通过与时间相关的“序数模式”

(秒)

我们是指排列

π = ({第页}_{天 - 1}, {第页}_{天 - 2}, \cdot, {第页}_{1}, {第页}_{0})

属于

[天 - 1, 天 - 2, \cdot, 1, 0]

由定义

{x个}_{秒 - {第页}_{天 - 1}} \leq {x个}_{秒 - {第页}_{天 - 2}} \leq \cdot \leq {x个}_{秒 - {第页}_{1}} \leq {x个}_{秒 - {第页}_{0}}

(18)

为了获得唯一的结果，我们设置

{第页}_{我} < {第页}_{我 - 1}

如果

{x个}_{秒 - {第页}_{我}} = {x个}_{秒 - {第页}_{我 - 1}}

。如果

{x个}_{t吨}

具有连续分布，因此相等的值非常罕见。

因此，对于所有

天!

可能的排列π订单的天，它们的相关相对频率可以自然地通过在时间序列中找到该特定顺序序列的次数除以序列总数来计算。概率分布

P（P） = {第页 (π)}

由定义

第页 (π) = \frac{♯ {秒 | 秒 \leq M（M） - 天 + 1; (秒), 有 类型 π}}{M（M） - 天 + 1}

（19）

在这个表达式中，符号Ş代表“数字”。

这个过程可以用一个简单的例子来更好地说明；让我们假设我们从时间序列开始

{1, 三, 5, 4, 2, 5, \cdot}

，并设置嵌入维度

天 = 4

在这种情况下，状态空间被划分为

4!

考虑分区和24个互斥置换符号。第一个四维向量是

(1, 三, 5, 4)

.根据方程式(17)这个向量对应于

({x个}_{秒 - 三}, {x个}_{秒 - 2}, {x个}_{秒 - 1}, {x个}_{秒})

.遵循方程式(18)我们发现了

{x个}_{秒 - 三} \leq {x个}_{秒 - 2} \leq x个_{秒} \leq {x个}_{秒 - 1}

然后，使我们能够满足方程的序数模式(18)将是

[三, 2, 0, 1]

。第二个四维向量是

(三, 5, 4, 2)

、和

[0, 三, 1, 2]

将是它的相关排列，等等。对于Bandt和Pompe PDF的计算，我们遵循Keller和Sinn描述的非常快速的算法[42]其中，不同的顺序模式按字典顺序生成。

Bandt-Pompe方法不仅限于代表低维动力系统的时间序列，而且可以应用于任何类型的时间序列（规则、混沌、噪声或基于现实），具有非常弱的平稳假设（对于

k个 = 天

，概率

{x个}_{t吨} < {x个}_{t吨 + k个}

不应依赖t吨[14])。它还假设有足够的数据可用于正确的嵌入过程。当然，嵌入维度天在评估适当的概率分布中起着重要作用，因为天确定可访问状态的数量

天!

此外，它还规定了最小可接受长度

M（M） ≫ 天!

提取可靠统计数据所需的时间序列。

用PDF直方图或PDF Bandt和Pompe评估的熵和复杂性度量之间的主要区别在于，与基于PDF直方表的量词不同，获得的a la Bandt与Pompe量词对于数据的严格单调失真是不变的。对于经验性自然时间序列，这一点非常重要(即，沉积数据通过一个未知的非线性函数与降雨量相关[43])。然而，由于其不变性，基于Bandt和Pompe视角的量词，当应用于给定数据中严格单调的任何其他数据序列时，将产生相同的结果。因此，一般来说，基于排名数字的顺序数据处理工具将产生比使用基于度量属性的工具获得的结果更有用的数据分析结果。

3.量子力学的经典极限（一种特殊的半经典模型）

自20世纪80年代初Zeh、Zurek和Habib等人引入消相干概念以来[44,45,46]量子力学中经典世界的出现一直是人们感兴趣的话题。很明显，从半经典的角度可以获得很多量子洞察力。有几种方法可用（WKB、Born-Oppenheimer方法、，等。). 博尼利亚和几内亚的模型[40]，库珀等. [41]，科瓦尔斯基等. [三]考虑两个相互作用的系统：一个是经典系统，另一个是量子系统。当两个系统之一的量子效应与另一个系统的量子效应相比可以忽略不计时，这就有意义了。例子包括布洛赫方程、两能级系统与腔内电磁场的相互作用、集体核运动、，等。我们处理一个特殊的二体系统，它代表强外场对产生带电介子对的零模贡献[三,41]其哈密顿量为

\hat{H（H）} = \frac{1}{2} (\frac{{\hat{第页}}^{2}}{米_{q个}} + \frac{{P（P）}_{A类}^{2}}{米_{c（c） 我}} + 米_{q个} ω^{2} {\hat{x个}}^{2})

(20)

哪里（i）

\hat{x个}

和

\hat{第页}

是量子算符，（ii） A类和

{P（P）}_{A类}

经典正则共轭变量和（iii）

ω^{2} = {ω_{q个}}^{2} + {e（电子）}^{2} {A类}^{2}

是引入非线性的相互作用项，

ω_{q个}

成为一种频率。数量

米_{q个}

和

米_{c（c） 我}

是分别对应于量子系统和经典系统的质量。如所示[三]，在处理方程式时(20)我们面临一个自治的非线性耦合方程组

\begin{matrix} \frac{d日 〈 {\hat{x个}}^{2} 〉}{d日 t吨} & = & \frac{〈 \hat{L（左）} 〉}{米_{q个}} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{d日 〈 {\hat{第页}}^{2} 〉}{d日 t吨} & = & - 米_{q个} ω^{2} 〈 \hat{L（左）} 〉 \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{d日 〈 \hat{L（左）} 〉}{d日 t吨} & = & 2 (\frac{〈 {\hat{第页}}^{2} 〉}{米_{q个}} - 米_{q个} ω^{2} 〈 {\hat{x个}}^{2} 〉) \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{d日 A类}{d日 t吨} & = & \frac{{P（P）}_{A类}}{米_{c（c） 我}} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{d日 {P（P）}_{A类}}{d日 t吨} & = & - {e（电子）}^{2} 米_{q个} A类 〈 {\hat{x个}}^{2} 〉 \end{matrix}

(21)

在这里

\hat{L（左）} = \hat{x个} \hat{第页} + \hat{第页} \hat{x个}

.方程组(21)紧接着埃伦菲斯特的关系[1]. 为了研究经典极限，我们还需要考虑哈密顿方程的经典对应项(20),即,

H（H） = \frac{1}{2} (\frac{{第页}^{2}}{米_{q个}} + \frac{{P（P）}_{A类}^{2}}{米_{c（c） 我}} + 米_{q个} ω^{2} {x个}^{2})

(22)

其中所有变量都是经典的。借助汉密尔顿方程，人们可以找到经典版本的方程(21). 这些方程式在形式上与方程式相同(21)用经典变量适当替换量子平均值后，即,

〈 {\hat{x个}}^{2} 〉 \Rightarrow {x个}^{2}

,

〈 {\hat{第页}}^{2} 〉 \Rightarrow {第页}^{2}

和

〈 \hat{L（左）} 〉 \Rightarrow L（左） = 2 x个 第页

经典极限是通过让“相对能量”

{E类}_{第页} = \frac{E类}{我^{1 / 2} ω_{q个}} \to \infty

(23)

(

{E类}_{第页} \geq 1

)，其中E类是系统的总能量我是前面介绍的方程组（方程(21))，与不确定性原理有关

我 = 〈 {\hat{x个}}^{2} 〉 〈 {\hat{第页}}^{2} 〉 - \frac{{〈 \hat{L（左）} 〉}^{2}}{4} \geq \frac{ℏ^{2}}{4}

（24）

经典计算我产量

我 = {x个}^{2} {第页}^{2} - {L（左）}^{2} / 4 \equiv 0

因此，我使用经典变量求值时消失A类和

{P（P）}_{A类}

，对于所有人t吨,即,

我 (A类, {P（P）}_{A类}) = 0

这一事实表明了我们方法论的自我一致性。方程极限中经典结果与量子结果之间收敛程度的度量(23)由规范给出

N个

向量的

Δ u个 = u个 - {u个}_{c（c） 我}

[1],

{N个}_{Δ u个} = | u个 - {u个}_{c（c） 我} |

(25)

其中三个分量矢量

u个 = (〈 {\hat{x个}}^{2} 〉, 〈 {\hat{第页}}^{2} 〉, 〈 \hat{L（左）} 〉)

是方程定义的系统解的“量子”部分(21)和

{u个}_{c（c） 我} = ({x个}^{2}, {第页}^{2}, L（左）)

它的经典对应物。

对该模型进行了详细研究[三]. 这篇参考文献的主要结果与我们的讨论有关，可以简洁地详细如下：在绘制不同的动力学量作为

{E类}_{第页}

（当它从团结发展到∞)，有人发现一个特殊值的系统动力学突变

{E类}_{第页}

,表示为

{E类}_{第页}^{c（c） 我} = 21.55

从该值开始，相关动力学开始收敛到经典动力学。因此可以断言

{E类}_{第页}^{c（c） 我}

为我们提供了指示器量子经典“边界”的存在。区域

{E类}_{第页} < {E类}_{第页}^{c（c） 我}

对应于半量子体系[三]. 反过来，这个政权的特点是二不同的分区。其中一个几乎是纯量子的，其中微观量子振子只受到经典振子的轻微扰动，而另一部分则表现出过渡性质（半量子）。这两个子区域之间的边界可以通过相对能量值来很好地表征

{E类}_{第页}^{P（P）} = 三 . 32

这一点的一个重要特征在于

{E类}_{第页} \geq {E类}_{第页}^{P（P）}

,总是会发现混乱.混沌轨道的相对数量（相对于轨道总数）随着

{E类}_{第页}

并趋于统一

{E类}_{第页} \to \infty

[三].

因此，作为

{E类}_{第页}

生长自

{E类}_{第页} = 1

（“纯量子实例”）到

{E类}_{第页} \to \infty

（经典情况），一系列重要的形态变化检测到，尤其是在过渡区(

{E类}_{第页}^{P（P）} \leq {E类}_{第页} \leq {E类}_{第页}^{c（c） 我}

). 伴随轨道具有不易用方程描述的特征(25)，这是一个全球的（信号）振幅收敛程度的度量。人们需要的是一种统计性质包括熵和统计复杂性的概念[5,6,7].

4.结果和讨论

我们在这里展示了我们的结果，这些结果在很大程度上提供了关于使用Wooters或Jensen-Shannon距离测量的信息。我们的数据点是(21)，我们从中提取

〈 {x个}^{2} 〉

和（经典）值

{x个}^{2}

当时t吨（对于固定

{E类}_{第页}

). 我们还进行了这些计算，提取了数量

〈 {第页}^{2} 〉

–

{第页}^{2}

与

〈 L（左） 〉

–L（左），从而获得与下文报告的结果完全类似的结果。我们将处理

2^{12}

每个轨道的数据点。

在获得数值结果时，我们选择了

米_{q个} = 米_{c（c） 我} = ω_{q个} = e（电子） = 1

用于系统参数。作为处理方程式所需的初始条件(21)我们拿走了

E类 = 0.6

,即，我们修复了E类然后变化我从而获得我们不同的

{E类}_{第页}

-值。此外，我们设置

〈 L（左） 〉 (0) = L（左） (0) = 0

,

A类 (0) = 0

（在量子和经典例子中）。

〈 {x个}^{2} 〉 (0)

取间隔中的值

{x个}^{2} (0) < 〈 {x个}^{2} 〉 (0) \leq 0.502

，带有

{x个}^{2} (0) = 0.012

.

图1显示“信号振幅与。时间”图，每个图对应一个固定的

{E类}_{第页}

-价值。在纵轴上绘制一幅图

〈 {\hat{x个}}^{2} 〉

.作为

{E类}_{第页}

生长自

{E类}_{第页} = 1

（“纯量子实例”）到

{E类}_{第页} \to \infty

（经典情况），检测到一系列显著的形态学变化。实际上，可以说有三种类型的图形：（a）从

E类 = 1

直到

{E类}_{第页} ≃ 三 . 32

，有规律的振荡行为。（b）参数值介于

{E类}_{第页} ≃ 三 . 32

和

{E类}_{第页} ≃ 11.0

无明显优势形态，多种方案共存。在振幅和频率上，“随机性”和无序性占主导地位。对于

{E类}_{第页} > 11.0

准周期运动开始在很小的时间内被检测到，其特征是峰谷的重复，给人以“波”的印象。（c）对于

{E类}_{第页} > 21.55

山谷变得更加明显，因此“波峰”的数量减少了。当一个人到达

{E类}_{第页} ≃ 80

，只有一个峰变得明显。在右下角，我们绘制了经典信号与。时间。当然，经典信号来自经典哈密顿量。重要的是要注意图1那个特别的

{E类}_{第页}

-价值

{E类}_{第页} ≃ 三 . 32

与该特定值一致

{E类}_{第页}^{P（P）}

参见上文。同样，这里的值

{E类}_{第页} = 21.55

对应于

{E类}_{第页}^{c（c） 我}

.

与参数的相关性

{E类}_{第页}

与量子力学（CLQM）动力学经典极限相关的数据相对应的归一化香农熵和广义统计复杂性量词(图1)使用振幅直方图和上一节中描述的Bandt-Pompe方法进行评估。对于PDF直方图，我们首先将相应的时间序列映射到区间

[0, 1]

我们认为

{N个}_{b条 我 n个} = 512

在这种形式下，我们避免了由于不同的信号幅度范围而导致的箱子大小的变化，并且我们的所有数值都变得兼容。对于PDF Bandt和Pompe评估，模式长度（嵌入维度）

天 = 5

已选定。当我们处理向量时，其分量至少为

M（M） = 5000

每个轨道的数据点，条件

M（M） ≫ 天!

非常满意。我们按惯例延期

τ = 1

[14]. 有关选举的其他论据和细节

天 = 5

，咨询[7].

图1。信号与。时间图表。第1-9小节：系统解决方案(21)（半量子信号），代表固定值

{E类}_{第页}

.子图10：系统经典对应项的解(21)（经典，

我 = 0

). 我们拿走了

米_{q个} = 米_{c（c） 我} = ω_{q个} = e（电子） = 1

.初始条件：

E类 = 0.6

,

〈 L（左） 〉 (0) = L（左） (0) = 0,

和

A类 (0) = 0

。最左上方的图对应于“纯量子”信号。在右下角，我们绘制了经典信号与。时间。其余是中间情况。所有数量都是无量纲的。

图1。信号与。时间图表。子图1-9：系统解决方案(21)（半量子信号），代表固定值

{E类}_{第页}

.子图10：系统经典对应项的解(21)（经典，

我 = 0

). 我们拿走了

米_{q个} = 米_{c（c） 我} = ω_{q个} = e（电子） = 1

.初始条件：

E类 = 0.6

,

〈 L（左） 〉 (0) = L（左） (0) = 0,

和

A类 (0) = 0

。最左上方的图对应于“纯量子”信号。在右下角，我们绘制了经典信号与。时间。其余是中间情况。所有数量都是无量纲的。

在图2,图3和图4我们描述了熵和统计复杂性与。

{E类}_{第页}

在一个大

{E类}_{第页}

变异范围。同样在这些数字中，我们认为这很特别

{E类}_{第页}

范围允许轻松可视化我们流程的所有区域，即。、量子、过渡和经典，分别由分隔，

{E类}_{第页}^{P（P）}

和

{E类}_{第页}^{c（c） 我}

.

由于动力学具有准周期特性，我们预计量子区的熵要小于经典区（表现出混沌动力学）和过渡区（复杂动力学，其中存在多个状态，即混沌、稳定岛和既非混沌也非周期的均匀曲线）的熵。因此，很明显，过渡区的熵应该小于经典区的熵。同样，过渡区的统计复杂性应最大。我们还预计这两个信息量词将在很大程度上趋于经典

{E类}_{第页}

值(即，对应的量词值，使用从经典版本的方程式中获得的数据进行计算(21)).

在图2a、 b我们绘制归一化香农熵， $H（H）$ ，用于PDF直方图和PDF Bandt和Pompe。中的通知图2这两种定义往往会导致不同的最终结果 ${E类}_{第页}$ 值。这些是经典结果，即，使用从方程的经典版本获得的数据计算的相应熵值(21). 另请注意图2PDF直方图的熵不清楚区分在过渡部门和经典部门之间。Bandt和Pompe熵区分三个加工区，并根据上述物理标准正确排列熵尺寸(图2b），即，可以说是恰当的代表我们的三个地区。
图3a和图4a、 c展示了这样一个事实：所有复杂性定义都趋向于大 ${E类}_{第页}$ 使用从经典版本方程式中获得的数据计算的预期经典结果的值(21).
LMC统计复杂性， ${C类}^{(E类)}$ (图3b）在PDF直方图版本中，无法区分过渡区和经典区，也无法正确表示经典扇区。此外，LMC的PDF Bandt和Pompe版本未能恰当地描述量子区域（参见图3b） ●●●●。
基于Wooters距离的MPR统计复杂性(图4b）会区分在其两个PDF版本的三个区域中。对于PDF直方图，最大复杂度为 ${E类}_{第页}^{c（c）我}$ 它的量子扇区表示受到这样一个事实的破坏，即检测到它内部的复杂性值大于过渡区内遇到的复杂性值(图4b） ●●●●。对于PDF Bandt和Pompe版本，相关表示适用于所有区域格罗索模式对的。然而，人们可以预期，经典区域的复杂性不应与过渡区域的复杂性如此相似。请注意，此经典区域的复杂性略小于在 ${E类}_{第页}^{M（M）} = 8.09$ (图4b） ●●●●。
MPR（Jensen Shannon）统计复杂性(图4c、 d）与MPR（Wootters）类似(图4a、 b），以及区分尽管PDF直方图中的量子表示与MPR（Wootters）对应项一样失败，但在两个PDF版本的三个典型区域中表现得非常好(图4b）这是一个通过Bandt和Pompe PDF处理改进的方面。因此，符号MPR（Jensen-Shannon）统计复杂性表现出最佳的总体性能(图4d） ●●●●。

符号MPR（Jensen–Shannon）的统计复杂性在应该达到的地方达到了最大（请参见[47,48]以及其中的参考），即，位于过渡区内。此外，它在量子区和经典区也表现出类似的小值。更重要的是，这些值明显小于过渡区的值。当然，复杂性不能在量子区域消失，因为我们在那里处理频率叠加（非周期动力学），或者在经典区域，因为相关运动的混沌特性（显然，混沌和随机在这方面不是等价的概念）。因此，我们发现符号MPR（Jensen-Shannon距离）版本优化了对应于半经典模型的量子经典跃迁的描述第3节.

图2。绘制了两种PDF类型的归一化香农熵：“直方图”和Bandt和Pompe与。

{E类}_{第页}

（a）趋同古典。（b） PDF直方图的熵不清楚区分在过渡区和古典区之间，而班特区和庞培区区分并适当地代表我们的三个地区。

图2。绘制了两种PDF类型的归一化香农熵：“直方图”和Bandt和Pompe与。

{E类}_{第页}

（a）趋同古典。（b） PDF直方图的熵不清楚区分在过渡区和古典区之间，而班特区和庞培区区分并适当地代表我们的三个地区。

图3。直方图和Bandt-Pompe PDF的LMC统计复杂性与。

{E类}_{第页}

LMC统计复杂性既没有在其直方图PDF版本中区分过渡区和经典区，也不能正确表示经典扇区（参见（b））。此外，LMC的PDF Bandt和Pompe版本未能恰当地描述量子区域。

图3。直方图和Bandt-Pompe PDF的LMC统计复杂性与。

{E类}_{第页}

LMC统计复杂性既没有在其直方图PDF版本中区分过渡区和经典区，也不能正确表示经典扇区（参见（b））。此外，LMC的PDF Bandt和Pompe版本未能恰当地描述量子区域。

图4。（a） –（b）MPR统计复杂性（Wooters）与。

{E类}_{第页}

，其中一个区分两个PDF版本的三个区域（参见（b））。PDF直方图、MPR统计复杂性无法描述量子区域，请参见（b）。PDF Bandt-Pompe处理适用于所有区域，格罗索模式对的。（c） –（d）MPR（Jensen-Shannon）统计复杂性与。

{E类}_{第页}

.一个区分这两个PDF版本的三个典型区域。PDF直方图中的量子表示与对应的MPR（Wootters）一样失败（参见（d））。

图4。（a） –（b）MPR统计复杂性（Wooters）与。

{E类}_{第页}

，其中一个区分两个PDF版本的三个区域（参见（b））。PDF直方图、MPR统计复杂性无法描述量子区域，请参见（b）。PDF Bandt-Pompe处理适用于所有区域，格罗索模式正确。（c） –（d）MPR（Jensen-Shannon）统计复杂性与。

{E类}_{第页}

.一个区分这两个PDF版本的三个典型区域。PDF直方图中的量子表示与对应的MPR（Wootters）一样失败（参见（d））。

最后，我们在中显示图5这个

H（H） \times C类

-PDF评估平面（直方图和Bandt-Pompe），以及考虑中的三个统计复杂性定义实例，即。、LMC、MPR（Wootters）和MPR（Jensen-Shannon）。这两条连续曲线分别表示最大值，

{C类}_{米 一 x个}

、和最小值

{C类}_{米 我 n个}

，统计复杂性值评估如中所述[31]对应的N个（自由度）。

在PDF直方图中，我们观察到图5a–c表示量子区的熵大于经典区的熵。因此，对于增加参数值

{E类}_{第页}

，中的曲线

H（H） \times C类

-平面对熵增长的反应不同。这种行为在所有三个不同的SCM定义选项中都存在，因此成为PDF直方图的一个特征。量子区和过渡区占据图的右侧。注意信号点的位置

{E类}_{第页}^{P（P）}

,

{E类}_{第页}^{M（M）}

年

{E类}_{第页}^{c（c） 我}

参考相关的复杂度图。LMC复杂度的小变化范围(图3)使整个相关曲线几乎完全附加到最小复杂性界限，这当然限制了可视化行为方面的可能性。这不是MPR Wooters和MPR Jensen–Shannon的情况(图4)，使事物变得更容易可视化，从而区分由

{E类}_{第页}^{M（M）}

。在PDF Bandt和Pompe场景中，图5d–f，平面轨迹

H（H） \times C类

随着熵的增长，这是“自然”的，与前面的情况一样，信号点的位置反转也不会被检测到。

图5。使用PDF直方图的熵复杂度平面(

{N个}_{b条 我 n个} = 512

)对于：（a）LMC统计复杂性，（b）MPR统计复杂性与Wootters距离，（c）MPR统计学复杂性与Jensen-Shannon距离。PDF Bandt和Pompe情况下的熵复杂度平面(

天 = 5

)对于：（d）LMC统计复杂性，（e）MPR统计复杂性与Wooters距离，（f）MPR统计学复杂性与Jensen-Shannon距离。我们还显示了相应统计复杂性（连续曲线）和信号点（虚线）的最大和最小可能值。

图5。使用PDF直方图的熵复杂度平面(

{N个}_{b条 我 n个} = 512

)，对于：（a）LMC统计复杂度，（b）具有Wootters距离的MPR统计复杂度，（c）具有Jensen Shannon距离的MPR统计复杂度。PDF Bandt和Pompe情况下的熵复杂度平面(

天 = 5

)对于：（d）LMC统计复杂性，（e）MPR统计复杂性与Wooters距离，（f）MPR统计学复杂性与Jensen-Shannon距离。我们还显示了相应统计复杂性（连续曲线）和信号点（虚线）的最大和最小可能值。

5.结论

在这项工作中，我们分析了统计复杂性度量必须满足的条件，以便通过引用一个基础物理非常著名的示例来适当地描述时间序列。我们所说的是特殊半经典系统的经典量子前沿（见方程(20)) [三,41]. 我们已经看到，这一特征的关键因素是：

选择合适的非平衡距离形式 $问$ .
选择适当的概率分布函数（PDF）。

我们的物理学展示了三个典型的区域，量子区、过渡区和经典区，分别由，

{E类}_{第页}^{P（P）}

和

{E类}_{第页}^{c（c） 我}

具有准周期动力学（量子区）、混沌动力学（经典区）和过渡区。在过渡区，检测到（1）混沌动力学区与（2）其他具有更复杂性质（既不是混沌也不是周期性）的扇区共存。这种共存现象的存在对统计量词的质量提出了严格要求。因此，人们预计量子区的熵（由于动力学的准周期性质）要小于经典区（表现出混沌动力学）和过渡区（复杂动力学，其中共存混沌、稳定岛和既非混沌也非周期的曲线）的熵。因此，很明显，过渡区的熵应该比经典区的熵小。同样，过渡区的统计复杂性应大于其他区域（参见[47,48]以及其中的参考）。我们还希望这两个信息量词将趋同于经典，并希望他们能够区分在不同的工艺区之间。

事实证明，Bandt和Pompe的PDF是选择概率分布的最佳选项（参见图2关于熵）。如果决定论是一个需要考虑的重要特征，那么Bandt和Pompe处方比其他选择具有优势。由于统计复杂性，这种选择本身是不够的。

距离选择也很关键。在这种情况下，请看图2,图3和图4用于说明与欧几里德距离或伍特斯距离相关的缺陷。我们确实需要Jensen-Shannon的(图4).

确认

A.M.Kowalski得到阿根廷CIC的支持。OAR感谢阿根廷CONICET和巴西CAPES PVE奖学金的部分支持。M.Casas由西班牙科学与创新部（FIS208-00781项目）和联邦储备委员会基金（欧盟）资助。

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芝加哥/图拉比安风格

科瓦尔斯基、安德烈斯·M、玛丽亚·特蕾莎·马汀、安吉洛·普拉斯蒂诺、奥斯瓦尔多·罗索和蒙特塞拉特·卡萨斯。2011.“概率空间中的距离和统计复杂性设置”熵13，编号6:1055-1075。https://doi.org/10.3390/e13061055

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