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标题: 通过连续化实现增量最大化
摘要: 我们考虑寻找基数约束最大化问题的增量解决方案的问题,该问题不仅捕获固定基数的解决方案,还描述了如何随着基数界限的增加逐渐增加解决方案。 我们的目标是找到一个增量解决方案,该解决方案可以同时保证与所有基数的最优解决方案相比具有良好的竞争力。 中心挑战是在可能的情况下描述最大化问题,并确定可以达到的最佳竞争比率。 单调和可解释目标的竞争比率的下限为2.18$,上限为$\varphi+1,约2.618$,[Bernstein等人,Math.Prog.,2022],其中涵盖了广泛的最大化问题。 我们引入了一种连续化技术,并确定了一种最佳增量算法,该算法有力地证明了$\varphi+1$是最可能的竞争比率。 利用这种连续化,我们通过研究一个特殊的递推关系,得到了一个改进的下界$2.246$,该递推关系的特征多项式具有恰好超出下界的复根。 基于最优连续算法和缩放方法,我们还提供了一个1.772美元的竞争随机算法。 根据姚明的原则,我们用1.447$的随机下限来补充这一点。