数学>代数几何
职务: 张量子秩中的一个缺口
摘要: 张量的子秩是张量可以“对角化”多少的度量。 该参数由Strassen引入,用于研究代数复杂性理论中的快速矩阵乘法算法,与许多中心张量参数(如切片秩、分区秩、解析秩、几何秩、g-稳定秩)以及组合学、计算机科学和量子信息论中的问题密切相关。 Strassen(J.Reine Angew.Math.,1988)证明了在张量积下取大幂时,子秩中存在缺口:要么所有幂的子秩至多是一,要么它作为严格大于一的常数的幂增长。 在本文中,我们精确地确定了任何阶张量的这个常数。 此外,对于三阶张量,我们证明了可能的增长率存在第二个差距。 我们的结果加强了科斯塔和达赖(J.Comb.Theory,Ser.A,2021)最近的工作,他们证明了切片等级的类似差距。 我们关于子秩的定理具有更广泛的应用,因为它不仅对切片秩,而且对任何“归一化单调”都意味着这种间隙。 为了证明主要结果,我们刻画了张量在其轨道闭合中具有非常结构化张量(W张量)的情况。 我们的方法包括格拉斯曼人的退化,这可能是独立的兴趣。